微积分（上册）（第3版）课件第 3 章 导数与微分

一、导数概念的引出二、导数的定义五、函数的可导性与连续性的关系六、小结四、导数的几何意义第一节导数的概念三、求导举例一、导数概念的引出1.变速直线运动的瞬时速度问题2.切线问题播放割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置如图,

如果割线M0M绕点M0旋转而趋向极限位置M0T,直线M0T就称为曲线C在点M0处的切线.极限位置即二、导数的定义定义1.函数在一点处的导数其它形式即★关于导数的说明：★2.右导数:2.单侧导数1.左导数:左导数和右导数统称为单侧导数.根据函数在一点极限存在的充要条件,不难得到函数在一点可导的充要条件:★题型解题思路3.导函数注意:

在上式中虽然x可以取区间I内的任何数值,但在取极限的过程中,x是常量,∆x是变量.步骤:例1解三、求导举例例2解更一般地例如,例3解类似地可得到例4解特别地,当a=e时,有例5解特别地,当a=e时,有例6解四、导数的几何意义切线MT方程为法线MN方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为五、函数的可导性与连续性之间的关系定理1可导函数都是连续函数.证连续函数不一定可导.0例如,注意:该定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π例8解六、小结1.导数的实质:增量比的极限,即瞬时变化率;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.可导的函数一定连续,但连续的函数不一定可导;5.求导数最基本的方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在.一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则三、复合函数求导法则第二节求导法则四、初等函数的导数五、小结一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1证(1)证(2)、(3)略.从而有所以即推论例1解下面看一些例子.例2解例3解例4解同理有例5解同理可得例6解二、反函数的求导法则定理2即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证于是有例7解同理可得三、复合函数求导法则定理3即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.证推广因此,复合函数求导法则也称为链锁规则.例8解例9解例10解例11解例12解例13解例14解一般幂指函数y=[u(x)]v(x),且u(x),v(x)均可导,u(x)>0,均可以用类似的办法求导.例15解四、初等函数的导数1.常数和基本初等函数的导数公式2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)3.反函数的求导法则

利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.注意:初等函数的导数仍为初等函数.4.复合函数的求导法则例16解例17解例18解五、小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链锁规则）;已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.一、高阶导数的定义二、高阶导数的求导法则三、小结第三节高阶导数一、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.定义记作三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数,二、高阶导数的求法法则例1解1.直接法

由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2解例3解例4解例5解注意:

求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(可用数学归纳法证明)例6解例7解同理可得例8解2.高阶导数的运算法则(2)称为莱布尼茨公式.例9解3.间接法常用高阶导数公式

利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例10解例11解三、小结

高阶导数的定义及物理意义;

高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);

n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.一、隐函数的导数三、小结二、由参数方程所确定的函数的导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数我们前面研究的函数都具有y=f(x)的形式定义:有些隐函数是容易显化的,如x+2y=1;有些则很困难甚至是不可能的,例如隐函数的显化问题:当隐函数不易显化或不能显化时如何求导?隐函数求导法则:先假设隐函数存在并且可导,我们可以直接对方程两边求导,求导时把y看作是x的函数,使用复合函数求导法则,所得结果一定是含有y’的表达式,从中解出y’,即为所求.例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解将y视为关于x的函数,在两端对x求导,得将上式两端再对x求导,得★对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——对数求导法适用范围:例4解等式两边取对数得例5解等式两边取对数,得等式两边再对x求导,得一般地二、由参数方程所确定的函数的导数在平面解析几何中我们知道,以原点为中心,a为长半轴,b为短半轴的椭圆可由参数方程表示.并且可将参数t从方程中消去,可得例如消去参数问题:消去参数困难或无法消参如何求导?一般地,有由复合函数及反函数的求导法则得在求二阶导数时,一般是将求得的一阶导数的表达式直接对t求导,再除以φ`(t),而不直接引用上面推导出来的公式.例6证明星形线在任何点的切线

被坐标轴所截得的线段为定长.

解过点M的切线斜率为

星形线在点M的切线方程为

令y=0

,得切线在x轴上的截距为

令x=0

,得切线在y轴上的截距为

所以切线被坐标轴所截得的线段长度为由M点的任意性,故命题得证.例7摆线的参数方程是

解例8解三、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则.一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的计算

五、小结第五节微分四、微分在近似计算中的应用一、微分的概念1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题

这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?2.定义(微分的实质)由定义知:3.可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解利用微商来计算某些函数的导数是很方便的.例如,若函数是由参数方程所确定,当φ(t),ψ(t)都可导,且φ’(t)≠0时,有这就是上节介绍的由参数方程所确定的函数的求导公式.二、微分的几何意义MNT）几何意义:(如图)P三、微分的计算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则结论：一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法则例2解或利用微分形式不变性,将x2+3x看做中间变量,例3解例4解方程两端分别求微分,有即解出dy,得四、微分在近似计算中的应用常用近似公式证明解例5例6解五、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★

近似计算的基本公式★一、边际分析二、经济学中常见的边际函数五、小结三、弹性分析第六节导数在经济分析中的意义四、经济学中常见的弹性函数一、边际分析定义1例1解1.边际成本1)边际成本2)平均边际成本：二、经济学中常见的边际函数解生产10个单位产品时的总成本为平均成本为它表示当产量为10个单位时,再增加一个单位,成本需要再增加5个单位(或产量减少一个单位,成本将减少5个单位).2.边际收益定义：解3.边际利润定义：边际利润表示：若已经生产了Q单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．上述结果表明当生产量为每天10吨时，再增加一吨，利润将增加150元，每天20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每天25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为每天35吨时，再增加一吨，利润将减少100元．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.解4.边际需求定义解它的经济意义是当价格为4时，价格上涨(或下降)1个单位，需求量将减少(或增加)8个单位.例51.弹性的定义三、弹性分析定义弹性函数的定义例6解2常见函数的弹性函数（a,b,

为常数）3弹性的四则运算1.需求弹性

需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度.设需求函数Q=f(P)在点P可导,则需求弹性可以用公式表示为注四、

经济学中常见的弹性函数因为需求量与价格的变化总沿着相反的方向，需求的价格弹性算出来总是负值，为了讨论方便，取其绝对值。另外，在实际应用中，也常用符号和分别表示两点间的需求弹性和某点处的需求弹性。2.供给弹性例7解需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系

当需求价格弹性大于1时，降价增加销售收入；当需求价格弹性小于1