1.4　用一元二次方程解决问题(1) 课件 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程1.4用一元二次方程解决问题(1)2026-2027学年苏科版数学九年级上册学习目标1.通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型.2.会用列一元二次方程的方法解决几何问题.3.经历用方程解决实际问题的过程，知道解应用问题的一般步骤和关键所在.情境引入根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式：(1)一个矩形的面积为35

cm2，长比宽多2

cm，求这个矩形的长与宽；(2)把一块面积为54

cm2的长方形纸片的一边剪下5

cm，另一边剪下2

cm，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长；(3)一个直角三角形的斜边长是17

cm，两直角边之差为7

cm，求较短直角边长；(4)两数之差是2，平方和是52，求此两数；(5)小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的衬衫，已知每件衬衫的钱数恰好是衬衫总件数的6倍还少5元，试求小明母亲买回衬衫的件数；(6)已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.用一元二次方程解决几何问题问题在劳动实践中，九年级(1)班想用长22

m的篱笆围成面积是30

m2的矩形菜园，九年级(2)班想用同样长的篱笆围成面积是32

m2的矩形菜园，他们可以做到吗？提示设篱笆围成的矩形的一边为xm，则邻边为(11-x)m，若要围成面积是30

m2的矩形菜园，则x(11-x)=30.即x2-11x+30=0.解这个方程，得x1=5，x2=6.当一边为5

m时，邻边为11-5=6(m)；当一边为6

m时，邻边为11-6=5(m).所以可以围成面积是30

m2的矩形菜园.若要围成面积是32

m2的矩形菜园，则x(11-x)=32，化简，得x2-11x+32=0.由b2-4ac=(-11)2-4×1×32=-7<0，可得此方程没有实数根.所以不能围成面积是32

m2的矩形菜园.例

(课本P25例1)如图，要在一幅长80

cm，宽50

cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5

400

cm2，金色纸边的宽应为多少厘米？解设纸边的宽为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽为(50+2x)cm.根据题意，得(80+2x)(50+2x)=5

400，化简，得x2+65x-350=0.解这个方程，得x1=5，x2=-70(不合题意，舍去).即金色纸边的宽应为5

cm.反思感悟列一元二次方程解决问题的一般步骤：步骤主要内容①审审清题意，明确已知量、未知量，找出相等关系②设设未知数有直接设和间接设(有时设辅助未知数)，写好单位名称③列把相等关系中各个量转化成代数式，从而列出方程(两边单位统一)④解根据方程的特点，选择适当的解法，求出未知数的值(x=a)⑤验既要检验是否满足原方程，又要检验在实际问题中是否有意义⑥答写出实际问题的答案(注意单位)跟踪训练如图，有一块矩形硬纸板，长50

cm，宽30

cm.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去的正方形边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为600

cm2？解设剪去的正方形边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(50-2x)cm，宽为(30-2x)cm，高为xcm，依题意，得2×[(50-2x)+(30-2x)]x=600，整理，得x2-20x+75=0，解得x1=5，x2=15，当x=15时，30-2x=0，不符合题意，舍去.即当剪去的正方形边长为5

cm时，所得长方体盒子的侧面积为600

cm2.课堂小结用一元二次方程解决问题的一般步骤：①审，②设，③列，④解，⑤验，⑥答.

√随堂演练解析

设矩形的一边长为x米，则另一边长为(15-x)米，根据题意可列方程为x(15-x)=50.2.小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是42

cm，宽是30

cm的矩形剪纸.小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是1

440

cm2，设留白部分的宽度是xcm，则可列方程是A.(42+x)(30+x)=1

440

B.(42+2x)(30+x)=1

440C.(42+2x)(30+2x)=1

440

D.(42-2x)(30-2x)=1

440√随堂演练解析

设留白部分的宽度是x

cm，塑封后整幅图的长为(42+2x)cm，宽为(30+2x)cm，则(42+2x)(30+2x)=1

440.3.一块长方形菜地的面积是150

m2，若长减少5

m，则菜地为正方形，则原菜地的长为

m.随堂演练解析

∵长减少5

m，菜地就变成正方形，∴设原菜地的长为x

m，则宽为(x-5)m，根据题意得x(x-5)=150，解得x=-10(舍去)或x=15，故原菜地的长为15

m.154.小李要做一个容积是1

500

cm3，高是10

cm，底面的长比宽多5

cm的长方体匣子，则这个匣子底面的长为

cm，宽为

cm.随堂演练解析

设底面宽为x

cm，则长为(x+5)cm，由题意得10x(x+5)=1

500，解得x1=-15(舍去)，x2=10，故底面宽为10

cm，长为15

cm.15105.用一根长12

cm的铁丝围成一个斜边长为5

cm的直角三角形，则这个直角三角形较短的直角边长为

cm.随堂演练解析

设一条直角边长为x

cm，则另一条直角边长为(12-5-x)cm，根据勾股定理得x2+(12-5-x)2=52，解得x1=4，x2=3，∴两直角边长分别为3

cm和4

cm，这个直角三角形较短的直角边长为3

cm.36.如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为

.随堂演练

随堂演练解析如图，标记各点，∵面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，∴正方形的面积为4，∴正方形的边长为2，由图形可知，DG=EG，DG+CF=GE+BF，DG+FG=DG+CF=AG=2，∴CF=BF，FG=CF，随堂演练

7.如图所示，某学校有一道长为12米的墙，计划用26米长的围栏靠墙围成一个面积为80平方米的矩形草坪ABCD，求AB的长.随堂演练解设矩形草坪AB边的长为x米，则BC边的长为(26-2x)米，根据题意得x(26-2x)=80，整理得x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8，∵26-2x≤12，∴x≥7，∴x=8，即AB的长为8米.迁移拓展1.如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为

.(32-x)(20-x)=540解析如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中空白部分就为草坪了，由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米，由矩形的面积公式可得(32-x)(20-x)=540.迁移拓展2.请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月，我国古代三国时期的数学家赵爽给出了一元二次方程的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程x2+5x-14=0，即x(x+5)=14的方法.首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积可以表示为(x+x+5)2，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14，中间的小正方形面积为52，所以大正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得x=2.迁移拓展任务：(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是

(从序号①②③中选择)；迁移拓展解∵x2-4x-12=0，∴x(x-4)=12.∴应构造面积是(x+x-4)2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x-4)=12，中间的小正方形面积为42，∴大正方形的面积又可表示为4×12+42=64，∴大正方形的边长为8，则x+x-4=8，∴x=6，则正确构图是②.迁移拓展(2)一个长方形的长比宽长2米，且该长方形的面积为15平方米，则长方形的宽为多少？请列出方程并求解；解由题意，设长方形的宽为x米，∴长为(x+2)米.∴x(x+2)=15，解得x=3或x=-5(负值舍去).迁移拓展(3)