北京市汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中考试高二年级数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中考试高二年级数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.经过点且倾斜角为的直线的方程是（

）A. B.

C. D.2.已知{}是公差不为零的等差数列,且+=,则=()A. B. C.9 D.53.已知直线l经过点A（1，1，2），B（0，1，0），平面α的一个法向量为=（-2，0，-4），则（）A.l∥α B.l⊥α

C.l⊂α D.l与α相交，但不垂直4.近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为（）A. B. C. D.5.设向量，，则与，共面的向量的坐标可以是（

）A. B. C. D.6.如图，棱长为1的正方体中，（

）

A.0 B.1 C. D.27.已知过原点且倾斜角为的直线与直线x+y-4=0交于点P,则当在[,]上变化时,点P的轨迹长度为(

)A. B.2 C.3 D.28.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则“a4＞a3”是“对于任意n∈N*且n≠3，Sn＞S3”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（

）A.1 B. C. D.10.设为坐标原点，若对于圆上的任意两点，均有，则的最大值为（

）A. B. C.2 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.若直线与平行，则

.12.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若-S1、S2、a3成等差数列，则数列{an}的公比为

.13.已知圆和存在公共点，则的范围是

14.甲、乙两人独立地破译某个密码，若两人独立译出密码的概率都是0.6，则密码被破译的概率为

．15.在空间直角坐标系O-xyz中，已知过坐标原点O的平面α的一个法向量是=（0，0，-1），点P（3，-4，5）到平面α的距离为

．16.已知无穷数列的各项都是正数，前项和为，，给出下面四个结论：①；②存在，，；③；④存在，使得，，．其中，全部正确结论的序号为

．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知直线l1：y=1与直线l2：y=kx-2交于点A，点A关于坐标原点的对称点为C，点B在直线l1上，点D在直线l2上．

（1）当k=1时，求C点的坐标；

（2）当四边形ABCD为菱形时，求k的值．18.(本小题14分)已知等差数列中，．数列的前项和为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列，求的前项和．19.(本小题14分)某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：

高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明）20.(本小题14分)如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点F为的中点．(1)已知点G为线段的中点，求证：CF//平面；(2)若，直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为已知，使四棱锥唯一确定，求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）二面角的余弦值．条件①：平面；条件②：；条件③：平面平面．21.(本小题14分)正实数构成的集合，定义.当集合中恰有个元素时，称集合A具有性质.(1)判断集合，是否具有性质；(2)若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值：(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等比数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值?若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】

12.【答案】3或-1

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】5

16.【答案】①③④

17.【答案】解：（1）当k=1时，直线l2：y=x-2，又直线l1：y=1，

∴可得A为（3，1），∴C为（-3，-1）；

（2）联立，可得A（，1），

设D（t,kt-2），又四边形ABCD为菱形，

∴B（-t,2-kt），且kOA•kOD=-1，又B在直线l1：y=1上，

∴，解得k=，

∴k的值为．

18.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，由，所以，所以，解得，所以，所以；由，当时，，解得，当时，由，得，所以，即，所以数列是以为公比，为首项的等比数列，所以；（2）由（1）得，所以，所以所以的前项和为：.

19.【答案】（1）从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为，因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为．（2）设事件：抽取的高一学生选择去B地，事件：抽取的高二学生选择去B地，事件：抽取的高三学生选择去B地，事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，，事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地．从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的100名学生中高二年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的100名学生中高三年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；因为，所以．所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为．（3）在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的平均数为，则调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的平均数为，则调查结果为不满意的学生人数的方差为，则.

20.【答案】解：(1)证明：取的中点，连接，，，；因为分别为的中点，所以，平面，平面，所以平面，又因为分别为的中点，四边形为平行四边形，所以且，则四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）选择条件①和③（ⅰ）因为平面，所以即为直线与平面所成的角，由题意可知：，又，所以.因为平面平面，且平面平面，因为平面，所以，所以平面，平面，所以,则四边形为矩形，因为，所以，设点到平面的距离为，由平面可知：，在中，，因为为的中点，所以，所以，，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离也就是直线到平面的距离.因为，即，也即，所以故直线到平面的距离为.（ⅱ）由（ⅰ）可知：，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则有，也即，令，则；则有，也即，令，则，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.

21.【答案】（1）具有性质；不具有性质.若，则，恰有个元素，所以具有性质；若，，有5个元素，，不具有性质.（2）当中的元素个数时，因为中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为构成等比数列，则，其中互不相同.于是这与具有性质，中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当中的元素个数恰有3个时，取时满足条件，所以集合中的元素个数最大值为3.（3）因为，不妨设，所以.（1）当时，构成等比数列，所以，即，其中互不相同.这与中恰有个元素，即任取中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同