2026学年杭州一模数学试题·变式训练（含解析）

2026学年杭州一模数学试题·变式训练数学变式训练（母题19道+变式57道，共76题）使用说明：1.本题库对原卷19道题逐题配置3个同源变式，编号“m-n”表示母题m的第n个变式。2.变式保持母题的考查知识点与解题主线，只改变数据、设问角度或图形位置。一、选择题变式：母题1~8各配3个变式（共24道变式，每小题5分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题1】已知i为虚数单位，若zi+2=2iA.8 B.4 C.22 D.1-1.已知i为虚数单位，若z(1+iA.1 B.2 C.2 D.21-2.已知复数z满足(1−i)zA.−2 B.2 C.1 D.−11-3.已知i为虚数单位，复数z=1+A.105 B.C.102 D.【母题2】设随机变量X~N(2,σ2)A.1 B.2 C.3 D.42-1.设随机变量X~N(2,σ2)A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.22-2.设随机变量X~N(1,σ2)A.0.15 B.0.35 C.0.7 D.0.852-3.某次考试的成绩X服从正态分布N(85,σ2)A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【母题3】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0<xA.−4 B.4 C.6 D.−63-1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0A.3 B.−3 C.1 D.−13-2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0A.−1 B.1 C.0 D.−23-3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0A.0 B.2 C.−2 D.1【母题4】已知数列{an}满足a1A.2n−1 B.2n C.24-1.已知数列{an}满足a1A.3n−1+1 B.3n−1 4-2.已知数列{an}满足a1A.n2−n+1 B.n2+4-3.已知数列{an}满足a1A.n·2n−1 B.2n−1【母题5】已知曲线y=ax−ln(x+1)在点A.2 B.3 C.4 D.65-1.曲线y=xlnA.y=x−1 B.y=x 5-2.曲线y=x2A.y=3x−2 B.y=2x−15-3.若曲线y=lnx+ax在xA.2 B.3 C.1 D.4【母题6】中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究。在一定条件下，系统的熵S(t)随时间t的变化规律为S(t)=Se+(S0−SA.减小，且减速越来越慢 B.减小，且减速越来越快C.增大，且增速越来越快 D.增大，且增速越来越慢6-1.某放射性物质的质量M随时间t（单位：年）的变化规律为M(t)=M0e−A.减小，且减少得越来越慢 B.减小，且减少得越来越快C.增大，且增长得越来越慢 D.增大，且增长得越来越快6-2.某药物在血液中的浓度C与时间t（单位：h）满足C(t)=C0(t2−4A.一直减小 B.一直增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小6-3.某地冬季某天的气温T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足T(t)=20−8A.升高，且升温越来越慢 B.升高，且升温越来越快C.降低，且降温越来越慢 D.降低，且降温越来越快【母题7】如图，A,B,C是曲线y=sin2x与y=sin(2A.2π3 C.π3 D.7-1.已知A,B,C是曲线y=sinA.2π B.C.22π 7-2.已知A,B,C是曲线y=sin2x与y=sin(2A.2π3 C.π3 D.7-3.已知A,B,C是曲线y=sinA.3π B.C.2π D.【母题8】已知圆C1:(x−1)2+y2=1，C2A.±35 C.±24 8-1.已知圆C1:(x−1)2+y2=1，A.±23 C.±13 8-2.已知圆C1:(x−1)2+y2=1，A.±68 C.±24 8-3.直线l:y=kx与圆C:(x−2)A.±77 C.±22 二、多项选择题变式：母题9~11各配3个变式（共9道变式，每小题6分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题9】为研究光照时间x（单位：h）与某植物产量y（单位：t/hm2）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10h，植物平均产量为5.2t/hmA.aB.变量x和y正相关C.光照时间每增加1h，植物产量约增加D.当x=11时，y的预测值为9-1.已知一组数据(xi,yiA.a^=0.8 B.变量x与C.样本点(4,5.6)处的残差为0 D.当x=9时，y的预测值为9-2.已知某组数据的经验回归方程为y^A.变量x与y负相关B.样本中心可以是(1,2.4)C.当x每增加1个单位时，y平均减少0.8个单位D.当x=5时，y的预测值为9-3.关于一元线性回归分析，下列说法正确的是A.经验回归直线一定经过样本中心点(B.残差平方和越小，模型的拟合效果越好C.样本相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强D.决定系数R2【母题10】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,A.|AB|B.存在点P，使得∠C.若PA⟂PB，则直线PA与C有两个交点D.若点P在x轴上，则∠10-1.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过F的直线l与A.|AB|B.若AB的中点到y轴的距离为3，则|C.以AB为直径的圆与y轴相切D.若l的倾斜角为45∘，则10-2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,A.存在点P，使得∠APB=90∘C.若P(−1,0)，则∠APF=∠BPF 10-3.已知抛物线y2=2px

(A.p=2 B.点M的坐标为C.抛物线的准线方程为x=−1 D.过焦点且垂直于x轴的弦长为【母题11】若存在实数φ和θ(θ>0)，使得对∀A.aB.当a=1C.当θ=π2时，D.当a=22−0.00111-1.若存在实数φ和θ(θ>0)，使得对∀A.当θ=π时，aB.当θ=2π3C.当a=0时，θ可以取D.当θ=π4时，11-2.若存在实数φ和θ(θ>0)，使得对∀A.当θ=π3时，B.当a=0时，θC.当θ=π6时，D.对任意n∈Z，sin(nθ11-3.若存在实数φ，使得对∀n∈ZA.若θ=2π，则aB.若θ=π，则aC.若θ=2π3D.若θ=π2，则三、填空题变式：母题12~14各配3个变式（共9道变式，每小题5分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题12】已知单位向量a,b,c满足12-1.已知单位向量a,b满足|a12-2.已知|a|=1，|b|=2，12-3.已知单位向量a,b的夹角为60∘【母题13】已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F13-1.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F13-2.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F13-3.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F【母题14】已知e是自然对数的底数，若集合{x∈Z∣x14-1.若集合{x∈Z∣x14-2.已知e是自然对数的底数，若集合{x∈Z∣x14-3.若集合{x∈Z∣x四、解答题变式：母题15~19各配3个变式（共15道变式，共77分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题15】（13分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,（1）求sinB（2）若cos(B−C)=2

15-1.（13分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,（1）求C；（2）若c=2，求△ABC15-2.（13分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为（1）求A；（2）若a=3，b+15-3.（13分）在△ABC中，B=60∘，b=13，△ABC【母题16】（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，（1）求{a（2）记Pn=1证明：当n≥2时，P16-1.（15分）已知数列{an}的前n（1）求{a（2）记Pn=116-2.（15分）已知数列{an}满足a（1）求{a（2）记bn=1an−1，求数列16-3.（15分）已知数列{an}的前n项和为S（1）求{a（2）证明：对任意n∈N∗【母题17】（15分）已知0<a<1，设集合（1）若14,1（2）若(b,c)∈Ea，且b≠17-1.（15分）已知0<a<1，设集合（1）若12,1（2）证明：若(b,c17-2.（15分）已知0<a<1，设集合（1）若14,1（2）设(b,c)∈Ea且b≠c，证明：17-3.（15分）已知0<a<1，设集合（1）若12,1（2）证明：Ea中恰有一个点在直线y【母题18】（17分）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1

（1）求Γ的方程；（2）设点M在第一象限，作ME⟂x轴，垂足为E，连结NE并延长交Γ于点G。（i）证明：MN⟂MG；（ii）记△MNE外接圆面积为S1，△MEG外接圆面积为S2，求

18-1.（17分）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1

（1）求Γ的方程；（2）设点M在第一象限，作ME⟂x轴，垂足为E，连结NE并延长交Γ于点G，证明：MN⟂MG。18-2.（17分）已知椭圆Γ:x24+y22=1，过坐标原点的直线l:y=kx

(k>0)交Γ于（1）证明：MN⟂MG；（2）求|MN18-3.（17分）已知椭圆Γ:x24+y22=1，过坐标原点的直线交Γ于（1）求△MNE面积的最大值；（2）求|MN【母题19】（17分）一个圆形项链有m×n

(m,n∈N（1）现有甲乙两串项链，如图所示，R表示红色，B表示蓝色。请判断它们是否为(4,3)－好分链（给出判断即可，不必说明理由）；（2）证明：对任意给定的n∈N∗（3）对给定的n∈N∗，求所有的正整数m19-1.（17分）一个圆形项链有m×n

(m,n（1）现有甲乙两串项链，如图所示（R表示红色，B表示蓝色），请判断它们是否为(3,4)－好分链（给出判断即可）；（2）证明：对任意n∈N∗，(19-2.（17分）一个圆形项链有m×n

(m,n∈N（1）证明：若(m,n（2）证明：对任意n∈N∗，(19-3.（17分）一个圆形项链有m×n

(m,n∈N（1）判断(3,2)是否为分链数对（给出判断即可）；（2）求所有的正整数m，使得(m2026学年杭州一模数学试题·变式训练数学变式训练（母题19道+变式57道，共76题）（满分150分建议用时120分钟母题对应原卷1~19题）使用说明：1.本题库对原卷19道题逐题配置3个同源变式，编号“m-n”表示母题m的第n个变式。2.变式保持母题的考查知识点与解题主线，只改变数据、设问角度或图形位置。一、选择题变式：母题1~8各配3个变式（共24道变式，每小题5分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题1】已知i为虚数单位，若zi+2=2iA.8 B.4 C.22 D.【考查知识点】复数的四则运算；复数模的计算（1/i=-i）【答案】C【解析】由zi+2=2i得zi=2z=2−2i所以|z|=21-1.已知i为虚数单位，若z(1+iA.1 B.2 C.2 D.2【考查知识点】复数的除法运算（分母实数化）；复数模的计算；模的性质【答案】B【解析】思路：已知z与一个复数的积，先作除法把z解出来，再求模。由z(1+i)=2分母实数化：分子、分母同乘1−iz=其中i2=−1，故分子2i所以|z|=1另解（更快）：两边取模，由|z1z2|=|z11-2.已知复数z满足(1−i)zA.−2 B.2 C.1 D.−1【考查知识点】复数的除法运算；复数的代数形式；实部与虚部的概念【答案】B【解析】思路：先解出z的代数形式，再读虚部。由(1−i)z分子、分母同乘1+iz=分子化简为2+4i−2=4i即z=0+2i，实部为0，虚部为2，选易错点：虚部是i的系数2（实数），写成2i1-3.已知i为虚数单位，复数z=1+A.105 B.C.102 D.【考查知识点】复数模的性质（|z₁/z₂|=|z₁|/|z₂|）；复数的除法【答案】A【解析】思路一（先化简再求模）：分母实数化。z=分子2+3i−1=1+3i所以|z思路二（更快）：用模的性质z1|z|=|1+提醒：分子、分母的模都易求时，优先用思路二。【母题2】设随机变量X~N(2,σ2)A.1 B.2 C.3 D.4【考查知识点】正态分布密度曲线的对称性（关于x=μ对称）【答案】B【解析】正态曲线关于x=2对称，故−1与4a−3−1+(4a−3)2=2，解得2-1.设随机变量X~N(2,σ2)A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.2【考查知识点】正态曲线的对称性；对称区间概率的转化【答案】A【解析】思路：把所求区间通过对称性转化到已知概率的区间上。正态曲线关于x=μ=2对称，而0与4故P(区间(2,4)在对称轴右侧，占右半边概率0.5的一部分，P(2<X<4)=提醒：连续型随机变量在单个点的概率为0，故P(2-2.设随机变量X~N(1,σ2)A.0.15 B.0.35 C.0.7 D.0.85【考查知识点】正态曲线的对称性（关于x=μ对称）【答案】A【解析】思路：只需判断−1与3是否关于μ对称。对称轴x=1，而−1+32=1由正态曲线的对称性，左右两侧对称区间的概率相等：P(X≥3)=提醒：本题不需要知道σ，也不必先求P(2-3.某次考试的成绩X服从正态分布N(85,σ2)A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【考查知识点】正态分布的对称性；实际应用中的概率估计【答案】C【解析】思路：先由对称性求右侧尾部概率，再用1减去两侧尾部。成绩X~N(85,σ2因75+952=85，故75与95关于所以P(中间区间概率P(75<X<95)=1−0.2−0.2=0.6提醒：两侧尾部都要扣，只减一侧会得0.8的错误答案。【母题3】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0<xA.−4 B.4 C.6 D.−6【考查知识点】函数的奇偶性；特殊角的三角函数值【答案】A【解析】因为0<π4≤1又f(x)为奇函数，所以f3-1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0A.3 B.−3 C.1 D.−1【考查知识点】函数的奇偶性；指数运算【答案】A【解析】思路：−2不在已知区间x≥0因f是偶函数，故f(−x)=又2≥0，可代入已知式：f(2)=所以f(−2)=3，选A易错：直接把x=−2代入2x−13-2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0A.−1 B.1 C.0 D.−2【考查知识点】函数的奇偶性；对数运算【答案】A【解析】思路：−1<0不在x>0因f为奇函数，故f(−1)=−而1>0，代入已知式：f(1)=所以f(−1)=−1，选A提醒：log22=1，不要写成0或3-3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0A.0 B.2 C.−2 D.1【考查知识点】函数的奇偶性；由一段解析式求另一段函数值【答案】A【解析】思路：先求f(−1)（在已知区间内），再用奇偶性转到f因−1<0，代入已知式：f(−1)=(−1又f为奇函数，故f(1)=−所以f(1)=0，选A易错：把x=1直接代入x2+x得【母题4】已知数列{an}满足a1A.2n−1 B.2n C.2【考查知识点】由递推关系构造等比数列求通项【答案】D【解析】由an+1=2an所以{an+1}是首项为2、公比为2的等比数列，an+1=检验：a1=1，4-1.已知数列{an}满足a1A.3n−1+1 B.3n−1 【考查知识点】构造等比数列求通项（配凑法）【答案】A【解析】思路：形如an设an+1−与原式an+1=3an故an+1−1=3(an−1)，即相邻两项又a1−1=2−1=1≠0，故{an−1}所以an−1=1×3检验n=1：30+1=2=4-2.已知数列{an}满足a1A.n2−n+1 B.n2+【考查知识点】累加法求通项；等差数列求和【答案】A【解析】思路：递推式给的是差an+1−当n≥2时，把nan各项代入akan由1+2+⋯+(n−1)=n检验n=1：1−1+1=1=a14-3.已知数列{an}满足a1A.n·2n−1 B.2n−1【考查知识点】构造等差数列求通项（两边同除以2^{n+1}）【答案】A【解析】思路：递推式中含2n（随n变化），先两边同除以2an即an故an2n是首项a所以an即an检验n=1：1×20【母题5】已知曲线y=ax−ln(x+1)在点A.2 B.3 C.4 D.6【考查知识点】导数的几何意义（切线斜率）；复合函数求导【答案】B【解析】由y′=a−1又切线方程为y=2x，斜率为2，故a−1=2，a5-1.曲线y=xlnA.y=x−1 B.y=x 【考查知识点】导数的几何意义；切线方程的点斜式【答案】A【解析】思路：切线的斜率等于切点处的导数值。先用积的求导法则：y′在x=1处，斜率k切点纵坐标y=1·ln1=0，即切点为(1,0)由点斜式y−0=1·(x−1)，即y易错：ln1=0，若误算成1就会得到y=5-2.曲线y=x2A.y=3x−2 B.y=2x−1【考查知识点】导数的几何意义；切线方程【答案】A【解析】思路：先用导数求斜率，再用点斜式写方程。先检验点(1,1)在曲线上：12求导：y′=2x由点斜式y−1=3(x−1)，展开得y提醒：题目说的是“在点(1,1)处”，该点就是切点，可直接用，不必另设切点坐标。5-3.若曲线y=lnx+ax在xA.2 B.3 C.1 D.4【考查知识点】导数的几何意义（斜率等于导数值）【答案】A【解析】思路：已知斜率求参数，只需让导数值等于已知斜率。求导：y′在x=1处y由题意1+a=3，解得a=2提醒：本题与切点纵坐标无关，故不需要算y(1)【母题6】中国数学家菲尔兹奖获得者邓煜曾对玻尔兹曼熵进行深入研究。在一定条件下，系统的熵S(t)随时间t的变化规律为S(t)=Se+(S0−SA.减小，且减速越来越慢 B.减小，且减速越来越快C.增大，且增速越来越快 D.增大，且增速越来越慢【考查知识点】指数型函数的单调性；变化率（导数）的符号与大小；数形结合【答案】D【解析】因为S0−Se<0，而e−λt随t增大而减小，所以(S0又S′(t)=−λ(S6-1.某放射性物质的质量M随时间t（单位：年）的变化规律为M(t)=M0e−A.减小，且减少得越来越慢 B.减小，且减少得越来越快C.增大，且增长得越来越慢 D.增大，且增长得越来越快【考查知识点】指数型函数的单调性；变化率与导数的关系【答案】A【解析】思路：分两步——先判断增减，再判断增减的“快慢”。因k>0，e−kt随t增大而减小；又M“快慢”看导数的绝对值：M′其绝对值|M′(故质量减少得越来越慢，选A。提醒：判断快慢看|M′(6-2.某药物在血液中的浓度C与时间t（单位：h）满足C(t)=C0(t2−4A.一直减小 B.一直增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小【考查知识点】二次型函数的单调性；导数的符号与单调区间【答案】A【解析】思路：先判断t2−4t配方：t2−4t故在[0,2]上(t又C0>0，正系数不改变单调性，故C(也可求导验证：C′(t6-3.某地冬季某天的气温T（单位：℃）与时间t（单位：h）满足T(t)=20−8A.升高，且升温越来越慢 B.升高，且升温越来越快C.降低，且降温越来越慢 D.降低，且降温越来越快【考查知识点】指数型函数的单调性；渐近趋势与变化率【答案】A【解析】思路：先看e−0.2因e−0.2t递减，故−8e速度看导数：T′(t故升温越来越慢，且T(t)逐渐趋近上限20提醒：函数递增而趋于常数，说明增速在减小，这是指数型模型的典型特征。【母题7】如图，A,B,C是曲线y=sin2x与y=sin(2A.2π3 C.π3 D.【考查知识点】三角函数的图象与性质（周期、对称性）；三角形面积；形数结合与特殊值检验【答案】C【解析】由sin2x=sin(2x+φ)得相邻两交点横坐标相差π2，且y于是A,C同高且|AC|=π，点BS=即cosφ2=32，φ2=【法二】（检验排除法）由上面推导得S=若|φ|=π若|φ|=π若|φ|=π2，则S=πcos故只有C成立。7-1.已知A,B,C是曲线y=sinA.2π B.C.22π 【考查知识点】三角函数的图象与周期性；交点坐标；三角形面积【答案】A【解析】思路：先求交点横坐标，再用“底乘高除以二”。由sinx=cosx得tan相邻两交点的横坐标相差π，故三个相邻交点可取x=对应纵坐标依次为22,

−2取AC为底：|AC高为22所以S=127-2.已知A,B,C是曲线y=sin2x与y=sin(2A.2π3 C.π3 D.【考查知识点】三角函数的图象与性质；和差化积；三角形面积；方程思想【答案】A【解析】思路：仿母题，先由和差化积求交点横坐标，再分别算底和高。由sin2x=sin(2x和差化积：2cos2若sinφ2=0于是2x+φ相邻两交点横坐标相差π2，故|再看纵坐标：交点处sin2x相邻两交点符号相反，故三点纵坐标为c,−c,c（所以S=由S=π2得cos故φ=±2π3+2kπ7-3.已知A,B,C是曲线y=sinA.3π B.C.2π D.【考查知识点】三角函数的图象与性质；和差化积；三角形面积【答案】A【解析】思路：同母题，先求交点，再算底与高。由sinx2cosx因sin−π6于是x+π6=π取AC为底：|AC纵坐标sinπ3+所以S=12【母题8】已知圆C1:(x−1)2+y2=1，C2A.±35 C.±24 【考查知识点】直线与圆的位置关系；弦长公式（垂径定理+点到直线距离）；方程思想【答案】A【解析】设圆心(a,0)到直线kx−y=0的距离为da，则La由L1=L两边平方：1−t=2−13t+2(1−4再平方：144t2−24t+1=4(1−13t+36由k2k2+1=328【法二】（检验+单调性）令f(t)=f′(t)=−121−故f′(t)>0，f在把k2=31−328=528因5=4+1，等式成立，由唯一性知k=±38-1.已知圆C1:(x−1)2+y2=1，A.±23 C.±13 【考查知识点】直线与圆的位置关系；弦长公式；方程思想【答案】A【解析】思路：把弦长转化为圆心到直线的距离，两条弦用同一个参数表示。两圆半径都是1，由垂径定理L=21−d2（圆心(1,0)到y=kx的距离圆心(2,0)到l的距离d2=2|令t=d12=k2由L1=3即1−t=3−12t，11由k2k2+1=211得11检验：1−4t=1−811=8-2.已知圆C1:(x−1)2+y2=1，A.±68 C.±24 【考查知识点】直线与圆的位置关系；弦长公式；方程思想【答案】A【解析】思路：同母题，令t=两圆半径都是1，L=2圆心(1,0)、(3,0)到l的距离分别为d1=|故d12=t，d2由L1=2L即1−t=4−36t，35由k2k2+1=所以k=±3检验：1−9t8-3.直线l:y=kx与圆C:(x−2)A.±77 C.±22 【考查知识点】圆的弦长与弦心距（垂径定理）；点到直线的距离【答案】A【解析】思路：已知弦长求斜率，走“弦心距—勾股”这条路，不必联立方程。圆C的圆心为(2,0)，半径1；圆心到l的距离d=由垂径定理，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形：|AB代入|AB|=2得1故4k2k2+1所以k=±7提醒：d2二、多项选择题变式：母题9~11各配3个变式（共9道变式，每小题6分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题9】为研究光照时间x（单位：h）与某植物产量y（单位：t/hm2）之间的关系，现收集一组数据并计算得：平均光照时间为10h，植物平均产量为5.2t/hmA.aB.变量x和y正相关C.光照时间每增加1h，植物产量约增加D.当x=11时，y的预测值为【考查知识点】经验回归方程过样本中心点；回归系数的统计意义；预测值【答案】ABC【解析】经验回归直线必过样本中心(10,5.2)，代入得5.2=0.5×10+a^，斜率0.5>0，两变量正相关，B正确；斜率表示x每增加1个单位y平均增加0.5个单位，C正确。当x=11时y^=0.5×11+0.2=5.7≠79-1.已知一组数据(xi,yiA.a^=0.8 B.变量x与C.样本点(4,5.6)处的残差为0 D.当x=9时，y的预测值为【考查知识点】经验回归方程过样本中心；回归系数的意义；残差与预测【答案】ABC【解析】A：经验回归直线必过样本中心(x代入方程得5.6=1.2×4+a^，即B：斜率1.2>0，说明y随x增大而增大，两变量正相关，正确。C：样本点(4,5.6)恰为样本中心，落在回归直线上，其预测值y^=5.6，残差D：当x=9时y故填ABC。9-2.已知某组数据的经验回归方程为y^A.变量x与y负相关B.样本中心可以是(1,2.4)C.当x每增加1个单位时，y平均减少0.8个单位D.当x=5时，y的预测值为【考查知识点】回归系数的统计意义；经验回归方程过样本中心【答案】ABC【解析】A：斜率−0.8<0，两变量负相关，正确。B：经验回归直线过样本中心，故样本中心应满足y=−0.8取x=1得y=2.4，即C：斜率−0.8的意义就是“x每增1个单位，y平均变化−0.8个单位”，正确。D：当x=5时y故填ABC。9-3.关于一元线性回归分析，下列说法正确的是A.经验回归直线一定经过样本中心点(B.残差平方和越小，模型的拟合效果越好C.样本相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强D.决定系数R2【考查知识点】回归分析的基本思想；残差、相关系数、决定系数的意义【答案】ABC【解析】A：由最小二乘法的推导，使残差平方和最小的直线必过样本中心，正确。B：残差平方和越小，说明观测点越贴近回归直线，拟合效果越好，正确。C：|r|越接近1线性相关性越强，越接近D：R2=1−SSESST（故R2越接近1故填ABC。【母题10】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,A.|AB|B.存在点P，使得∠C.若PA⟂PB，则直线PA与C有两个交点D.若点P在x轴上，则∠【考查知识点】抛物线的定义与几何性质；焦点弦的最值；直线与抛物线的位置关系；以焦点弦为直径的圆与准线相切【答案】AD【解析】A：由y2=4x得p=2，焦点弦|ABB、C：设A,B在准线上的射影为A′,B′，M为即点M到准线的距离为|A故以AB为直径的圆与准线相切，准线上其余各点都在该圆外，从而∠APB≤π当PA⟂PB时∠APB=π2，此时D：此时P(−1,0)。设l:x=my+1，A(x1,ytan∠APF=|由y2=−4y1故∠APF=∠BPF10-1.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，过F的直线l与A.|AB|B.若AB的中点到y轴的距离为3，则|C.以AB为直径的圆与y轴相切D.若l的倾斜角为45∘，则【考查知识点】抛物线的定义；焦点弦；通径；直线与抛物线的位置关系【答案】ABD【解析】由y2=8x得p=4，焦点A：通径（垂直于对称轴的焦点弦）长为2p=8，它是所有焦点弦中最短的，故|ABB：设A(x1,y则|AB|=x1+故M到准线的距离xM+2=|AB|由|AB|2C：以AB为直径的圆与准线相切；与y轴相切需xM=|AB|D：设l:x=my+2，代入y2=8x得|AB倾斜角45∘时m=1，故填ABD。10-2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A,A.存在点P，使得∠APB=90∘C.若P(−1,0)，则∠APF=∠BPF 【考查知识点】抛物线的定义；焦点弦；以焦点弦为直径的圆与准线相切；斜率与角的相等【答案】ABC【解析】由y2=4x得p=2，焦点B：设AB中点为M，同上一题可得M到准线的距离等于|ABA：设切点为T，取P=T。由“直径所对的圆周角为直角”，得D：焦点弦|AB|=2C：设A(x1,y则kPA=y因P(−1,0)在x轴上，要证∠APF=∠而kPA分子=(y故填ABC。10-3.已知抛物线y2=2px

(A.p=2 B.点M的坐标为C.抛物线的准线方程为x=−1 D.过焦点且垂直于x轴的弦长为【考查知识点】抛物线的定义（焦半径公式）；准线与通径【答案】ABC【解析】A：由抛物线定义，M到焦点的距离等于到准线x=−p2解得p=2B：抛物线为y2=4x，代入x=2得C：由p=2得准线xD：通径长为2p故填ABC。【母题11】若存在实数φ和θ(θ>0)，使得对∀A.aB.当a=1C.当θ=π2时，D.当a=22−0.001【考查知识点】三角函数的周期性；相位点在单位圆上的分布（有理/无理）；上确界与分类讨论【答案】ACD【解析】记M={sin(nθ+若θπ为无理数，则相位nθ+φ在圆周上稠密，sup若θπ为有理数，设θ=2pπq（p,q互质，qA：由sin≥−1知supM≥−1，若a<−1B：取θ=π，φ=0，则sinC：θ=π2时qD：需cosπq≤22−0.001<cosπ4，故q≤3；其中q=1时θ=2π，q=2时θ【法二】（间隔法）条件要求全部相位点落在“sint≤a”的弧上，即不能落在(arcsin相位点为q个等距点、间隔2π2πA：a≥cosπq≥−1，且B：a=12时cosπ3=12可取q=3C：q=4时最小aD：由cosπq≤22−0.001得q≤3，结合q≥2得11-1.若存在实数φ和θ(θ>0)，使得对∀A.当θ=π时，aB.当θ=2π3C.当a=0时，θ可以取D.当θ=π4时，【考查知识点】三角函数的周期性；相位点在圆周上的均匀分布；上确界的计算【答案】AB【解析】记M={sin(“存在φ使sin(nθ+φ故a的最小值就是supM关于φ若θ=2pπq（p,取φ使其中一个相位恰为−π2，则supMA：θ=π即q=2B：θ=2π3即C：θ=π2即q=4，最小值为D：θ=π4即q故填AB。11-2.若存在实数φ和θ(θ>0)，使得对∀A.当θ=π3时，B.当a=0时，θC.当θ=π6时，D.对任意n∈Z，sin(nθ【考查知识点】三角函数的周期性；相位点均布；上确界的计算【答案】ABC【解析】仍用结论：θ=2pπq时A：θ=π3=2B：取θ=π、φ=0，则sin说明a=0时θC：θ=π6=2D：θ与最大值无单调关系。反例：θ=π时为0，θ=而θ=2π故填ABC。11-3.若存在实数φ，使得对∀n∈ZA.若θ=2π，则aB.若θ=π，则aC.若θ=2π3D.若θ=π2，则【考查知识点】三角函数的周期性；相位点分布；上确界【答案】ABC【解析】A：θ=2π时nθ是2π此时M只有一个元素，supM取φ=−π2B：θ=π即q=2C：θ=2π3即D：θ=π2即q故填ABC。三、填空题变式：母题12~14各配3个变式（共9道变式，每小题5分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题12】已知单位向量a,b,c满足【考查知识点】平面向量的数量积；向量的模与平方关系；单位向量【答案】-1/2【解析】由a+b=即1+1+2a·b12-1.已知单位向量a,b满足|a【考查知识点】向量的模与数量积的关系【答案】1/2【解析】思路：已知“和的模”，求数量积，把模平方展开。|a代入|a|=|b3=1+2a即2a·b提醒：平方展开中间项系数是2，漏掉就会算出1。12-2.已知|a|=1，|b|=2，【考查知识点】向量的模与数量积；|a−b|²的展开【答案】√3【解析】思路：|a|a代入1−2×1+4=3。所以|a提醒：模的平方是3，模本身是3，不要写成3。12-3.已知单位向量a,b的夹角为60∘【考查知识点】向量的夹角与数量积；模的计算【答案】√3【解析】思路：先由夹角求数量积，再算|2aa·|2a代入得4−4×1所以|2a提醒：系数2平方后变4，交叉项系数是−4。【母题13】已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F【考查知识点】双曲线的定义；焦点三角形（余弦定理/面积公式）；离心率【答案】√7/2【解析】设|PF2|=m，则|在△PF1F(2c即4c2=7【法二】（焦点三角形面积法）记|PF1|=r1，|P又由余弦定理4c2=r1由r1=3r2、r1−re2=1+b13-1.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F【考查知识点】双曲线的定义；勾股定理；离心率【答案】√5【解析】思路：定义给出两焦半径之差，直角三角形给出勾股关系，两者联立求e。设|PF2由定义|PF1于是|PF2因∠F1P即16a2+4所以e=提醒：|F1F2|=213-2.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F【考查知识点】双曲线的定义；余弦定理；离心率【答案】√13/2【解析】思路：同上一题，先由定义求两焦半径，再用余弦定理求F1设|PF2由定义3m−m于是|PF2|=a由余弦定理：4c因cos120∘=−所以e=提醒：减去负数会变成加号，这一步最容易算错。13-3.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F【考查知识点】双曲线的定义；余弦定理；离心率【答案】√3【解析】思路：定义求焦半径，余弦定理求4c设|PF2由定义2m−m=m4c即4c2=20所以e=提醒：双曲线离心率恒大于1，开方后取正值。【母题14】已知e是自然对数的底数，若集合{x∈Z∣x【考查知识点】利用导数研究函数单调性；含参不等式的整数解个数；分离参数与分类讨论【答案】4【解析】不等式即x(ex−a)<2。注意x=0时恒成立，故0①当x>0时，不等式⟺a>ex−2x。令φ故正整数解恰为1,2,⋯,m中的前若干个；要恰有1个正整数解，需φ(1)<a②当x<0时，不等式⟺a<ex−2x=φ若改为“负整数解恰1个、正整解0个”，则需φ(−2)≤a<φ(−1)且a综上2+1e≤a≤e2−1，即【法二】（符号讨论）令g(x)=x(ex−a在(−∞,−1]上，g′(x)=(x在[1,+∞)上，g″(x)=(x+2)e又g(0)=−2<0，故解集元素为{−k,⋯,−1,0,1,⋯,m}，恰2个元素⟺k若k=0（无负解），需g(−1)≥0，即a≥2+1e；m若k=1,m=0，需g(−1)<0≤g故2+1e≤a≤14-1.若集合{x∈Z∣x【考查知识点】一元二次不等式的解法；整数解的计数；集合元素个数【答案】[-3,0)【解析】思路：把不等式化成(x配方：x2−2x设r=1−a

(恰有3个整数解，只能是0,1,2。需r>1才能包含0与2需r≤2才不会包含−1与3故1<r≤2，平方得解得−3≤a<0，即提醒：右端r=2可取（此时a=−3），因为|x−1|<2不含14-2.已知e是自然对数的底数，若集合{x∈Z∣x【考查知识点】分离参数；利用导数研究单调性；整数解计数；分类讨论【答案】6【解析】思路：先看x=0不等式即x(ex−a)<1。当恰有4个子集，即恰有2个元素，故除0外还需恰有1个整数解。令φ(x)=故φ在(−∞,0)与(0,+∞)上均严格递增。当x>0时，不等式等价于a故x=1是解，即a而x=2是解，即a所以正整数解恰为{1}当且仅当1.72<a当x<0时，除以负数不等号反向，a负整数解为空，即a≥情形一：正解1个、负解0个，需1.72<a≤6.89，整数a=2,3,4,5,6情形二：负解1个（即x=−1）、正解0个，需0.64≈φ(−2)≤故a=1,2,3,4,5,6，共614-3.若集合{x∈Z∣x【考查知识点】分离参数；函数单调性；整数解计数【答案】2【解析】思路：与上一题同法，仍先确认x=0不等式即x(ex−a)<3；需恰有2个元素，故除0外恰有1个整数解。令φ(x)=当x>0时aφ(1)=e−3≈−0.28故正整数解恰为{1}当且仅当−0.28<a当x<0时a<φ于是需3.37≤a≤5.89，整数若a≤0，则x→−∞时故a=4,5，共2四、解答题变式：母题15~19各配3个变式（共15道变式，共77分）。母题题干加粗，仅作对照。【母题15】（13分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,（1）求sinB（2）若cos(B−C)=2【考查知识点】正弦定理；三角形面积公式；两角差与两角和的余弦公式；同角三角函数基本关系【解析】（1）由S=12absinS=由S=3a210sin（2）由cos(B−C所以cos(B因为A=π−(B+故S=【答案】（1）35；（2）115-1.（13分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,（1）求C；（2）若c=2，求△ABC【考查知识点】余弦定理；三角形面积公式；基本不等式【解析】（1）思路：条件里同时出现“面积”和“a2由余弦定理a2代入已知等式得S=又S=1212absin故tanC=3；又0<（2）思路：把“c=2”代入余弦定理，得到a,b由余弦定理4=a因a2+b2≥2当且仅当a=于是S=所以面积的最大值为3（此时a=【答案】（1）π3；（2）315-2.（13分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为（1）求A；（2）若a=3，b+【考查知识点】正弦定理；两角和的正弦公式；余弦定理；三角形面积【解析】（1）思路：条件中边、角混杂，先用正弦定理“边化角”，再合并同类项。由正弦定理，把b,c,(2sinB展开并移项：2sinB右边正是两角和的正弦：sinA又A+B+于是2sinBcosA=sinB又0<A<π（2）思路：已知a与b+c，凑出由余弦定理a2把b23=9−2bc−bc故S=【答案】（1）π3；（2）315-3.（13分）在△ABC中，B=60∘，b=13，△ABC【考查知识点】三角形面积公式；余弦定理；整体代换（求a+c）【解析】思路：求周长需要a+c，而已知两边之积ac可由面积求出，用由面积公式S=12ac·由余弦定理b2即13=a2+于是(a因a+c>0所以周长为a+【答案】7+13【母题16】（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，（1）求{a（2）记Pn=1证明：当n≥2时，P【考查知识点】由S_n与a_n的关系求通项；裂项相消法求和；等比数列求和；二项式定理放缩【解析】（1）由Snn=当n≥2时，2①－②得2an=na所以ann为常数列，an又n=1时由①得a2=2S1（2）由（1）得Sn=n所以Pn又Qn于是Pn当n≥2时，由二项式定理2故Pn（注：n=1时P1=1，Q【答案】（1）an16-1.（15分）已知数列{an}的前n（1）求{a（2）记Pn=1【考查知识点】由S_n求通项；裂项相消法求和【解析】（1）思路：已知Sn求an，用an=S当n≥2an化简：(n2+当n=1时，a1=故an（2）思路：先写出Sn，再把1因Sn1S相加时中间项两两抵消：Pn故Pn【答案】（1）an=2n16-2.（15分）已知数列{an}满足a（1）求{a（2）记bn=1an−1，求数列【考查知识点】构造等比数列；等比数列求和【解析】（1）思路：an设an+1−与原式比较得t=1，即a又a1−1=2−1=1≠0，故{an−1}所以an−1=1×2（2）由（1）得anbn所以{bn}是首项为1由求和公式Tn化简得Tn【答案】（1）an=216-3.（15分）已知数列{an}的前n项和为S（1）求{a（2）证明：对任意n∈N∗【考查知识点】由S_n与a_n的关系求通项；等比数列求和；不等式放缩【解析】（1）思路：先用n=1求首项，再用n≥2时的令n=1：a1=2当n≥2时，aan移项得an=2an−1，故{所以an（2）思路：先求出和的精确表达式，再说明它小于1。由（1）得1a1a这是首项12、公比1=1因12n>0，故1−【答案】（1）an【母题17】（15分）已知0<a<1，设集合（1）若14,1（2）若(b,c)∈Ea，且b≠【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数；对数运算与换底公式；利用导数研究单调性与最值；构造函数证明不等式【解析】（1）由题知a14=由a14=12得a（2）（i）由(b,c)∈E由c=ab由c=loga①÷②（lna≠0）：lnclnb（ii）令h(x)=xlnx

故h在0,1e上单调递减，在因0<a<1，c=ab∈(0,1)；又由（i）h(b)=h(令F(x)=F′由x2e−x≤1e所以F(b)>又h(b)=因b<1e，故2e−b>所以c>2e【答案】（1）a=17-1.（15分）已知0<a<1，设集合（1）若12,1（2）证明：若(b,c【考查知识点】指数函数与对数函数互为反函数；对数运算【解析】（1）思路：点在Ea中，说明它同时满足两个方程，任取一个即可定出a由y=ax两边平方：a=检验另一式：log1161（2）思路：把(c由(b,c)∈E由c=loga现在看点(c,b)：横坐标它满足y=ax它满足y=logax是因为故(c【答案】（1）a=17-2.（15分）已知0<a<1，设集合（1）若14,1（2）设(b,c)∈Ea且b≠c，证明：【考查知识点】对数运算与换底公式；利用导数研究单调性；函数图象的对称性【解析】（1）由y=ax两边四次方：a=检验：log1（2）思路：把两条式子都取自然对数，设法消去lna，得到只含b因0<a<1，故lna≠0。由由c=loga两式相除消去lnalnclnb再定范围：由c=ab>0及而c=logab>0又c=ab，0<b<1于是b,c∈(0,1)。令h故h在0,1e上递减，在由h(b)=h(c)故b,c分居【答案】（1）a=17-3.（15分）已知0<a<1，设集合（1）若12,1（2）证明：Ea中恰有一个点在直线y【考查知识点】指数函数与反函数图象的交点；导数判断单调性；零点个数【解析】（1）由a12=14（2）思路：点在y=x上，即横纵坐标相等，问题转化为方程设(x,y)∈Ea且在令φ(x)=因ax>0、lna<0，故axlna故φ至多有一个零点。又φ(0)=1−0=1>0，φ由零点存在定理，φ在(0,1)内恰有一个零点。所以方程ax=x有且仅有一个解，即E【答案】（1）a=【母题18】（17分）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1

（1）求Γ的方程；（2）设点M在第一象限，作ME⟂x轴，垂足为E，连结NE并延长交Γ于点G。（i）证明：MN⟂MG；（ii）记△MNE外接圆面积为S1，△MEG外接圆面积为S2，求【考查知识点】椭圆的定义与几何性质；直线与椭圆的位置关系；弦长公式；外接圆半径公式；基本不等式【解析】（1）由|MN|的最大值为2a又e=ca=22，故（2）（i）设M(x1,y1)由M,G在椭圆上，x1x12−即kGM又kGN所以kGM=−（ii）设直线MN:y=kx

(k>0)，与故|MN直线MG:y=−1k(x所以|MG于是|MN||设△MNE、△MEG的外接圆半径分别为r1,r2。因E在NG上，∠MEN由正弦定理2r1=|MN所以S1S2【法二】（参数方程法）（i）设M(2cosα,2sinα)设G=N+s(代入椭圆方程得cos2s(3故s=4cos2α而MN→=(−4cosαMN→·MG→=−16（ii）记u=cos2α∈(0,1)|MN|MG所以|MN由(3u+1)2−16u(1−u)=(5同法一，S1S2【答案】（1）x24+18-1.（17分）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1

（1）求Γ的方程；（2）设点M在第一象限，作ME⟂x轴，垂足为E，连结NE并延长交Γ于点G，证明：MN⟂MG。【考查知识点】椭圆的几何性质；点差法；斜率乘积为定值【解析】（1）思路：过原点的弦中，最长的是长轴，故|MN|的最大值就是由2a=42得a又e=ca所以b2=a（2）思路：要证两线垂直，只需证kMG·k设M(x1,y1)因M,x128两式相减得x1即y1而kGM=y故kGM又G,E,而kMN=y代入得kGM·1所以MN⟂MG，证毕。【答案】（1）x218-2.（17分）已知椭圆Γ:x24+y22=1，过坐标原点的直线l:y=kx

(k>0)交Γ于（1）证明：MN⟂MG；（2）求|MN【考查知识点】椭圆的方程与性质；斜率乘积为定值；弦长公式；基本不等式【解析】（1）仿母题，用点差法：设M(x1,y1)由M,x1即y1故kGM又kGN=kEN=（2）思路：先求M的坐标，再用M与方向向量把G表示出来，最后求两段长度之比。把y=kx代入椭圆：故x1=2则|MN直线MG与MN垂直，方向向量可取(k故设G((x展开并用x1tk因G≠M，取非零解代入y1=k所以|MG于是|MN由基本不等式k+2k故最小值为22【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为2218-3.（17分）已知椭圆Γ:x24+y22=1，过坐标原点的直线交Γ于（1）求△MNE面积的最大值；（2）求|MN【考查知识点】椭圆的参数方程（三角换元）；三角形面积；基本不等式；函数值域【解析】设M(x1,y（1）思路：选ME为底——它是竖直线段，长度就是纵坐标。因M,E横坐标相同，而N到直线ME（即x=x1所以S=把椭圆方程x11=x故x1取等条件x124=y所以面积的最大值为2。（2）思路：|MN|是过原点的弦长，用三角换元把设x1=2cosθ，y则|MN=24因θ∈0,π所以2+2cos2θ【答案】（1）2；（2）22【母题19】（17分）一个圆形项链有m×n

(m,n∈N（1）现有甲乙