初中七年级数学垂线第二课时教学设计

初中七年级数学垂线第二课时教学设计一、教学目标1.能够借助三角尺、量角器或方格纸画出已知直线的垂线，理解垂线的画法本质上是构造一个直角角位。2.通过“过一点画已知直线的垂线”的操作活动，经历画图、比较、猜想、归纳的过程，发现并掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。3.理解点到直线的距离的概念，掌握“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一结论，并能在生活情境中识别和运用。4.在操作与说理中发展空间观念、几何直观和初步的推理意识，体会数学结论来自操作验证又高于操作验证的严谨品格。二、教学重点与难点教学重点：垂线的画法；“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一基本事实；垂线段最短的性质与点到直线的距离。教学难点：对“有且只有”这一存在性与唯一性双重含义的理解；点到直线的距离概念中“垂线段的长度”而非“垂线段”的辨析；把生活中的最短路线问题抽象为垂线段模型的能力。三、学情分析本课时是北师大版七年级下册第二章第一节的第二课时。学生在第一课时会画、会认两条直线相交，已经理解了对顶角相等，并且从小学起就认识直角、会使用三角尺的直角边。垂线不是全新的图形，而是相交的一个特殊位置，因此本节课的知识起点很低、坡度平缓，但思维要求不低。真正的困难有三处。其一，“有且只有一条”中“存在”靠画图很容易接受，“只有”则需要学生想象无论怎样转动三角尺，重合的那条垂线是唯一被确定的，这是七年级学生第一次正式接触“唯一性”命题。其二，点与直线的位置关系需要分类讨论：这个点在直线上，还是在直线外，结论都成立，但讨论方式不同，学生容易只顾及直外一点的情形。其三，“垂线段最短”与“垂线段的长度叫做点到直线的距离”两句话之间，隔着从图形到数量的抽象，学生常把距离说成线段本身。基于以上判断，本节课设计的主线是：情境唤醒经验，操作积累经验，画图归纳事实，测量发现性质，概念辨析落地，应用回归生活。每一个结论都先让学生动手做出来，再用语言说出来，最后才上升到符号表达。四、教学准备教师准备多媒体课件、大三角尺一副、可旋转的两根木条模型、跑道与沙坑的教学情境图。学生每人准备一副三角尺、量角器、铅笔、练习本，并预习教材相应内容，尝试回答“从直线外一点向直线能画出几条垂线”这一问题。五、教学过程（一）情境导入：十字路口里的特殊相交上课伊始，屏幕上呈现两幅照片。第一幅是两条斜交的道路，第二幅是十字路口。教师提出问题：同样是两条直线相交，这两个路口给你的感觉有什么不同？学生自然会说，第二个路口的两条路“正”、“方”，四个角看起来一样大。教师追问：用我们已经学过的知识，怎样刻画这个“正”字？学生用量角器在导学单的示意图上量出十字路口四个角都是九十度。教师顺势板书：两条直线相交，当其中一个角是直角时，这样的位置关系有一种专门的称呼，今天我们来研究它——垂线。这一环节约四分钟。设计意图在于把“垂直”从校园生活经验中打捞出来，让学生意识到垂直是相交的特殊情形，直角是它唯一的判定标准，为后续画法与性质埋下“直角”这条暗线。（二）概念建构：什么是垂线教师在黑板上画出直线AB与直线CD相交于点O，并标注其中一角为直角，给出定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。板书示范符号语言：直线AB⊥CD，垂足为O，记作AB⊥CD，垂足为O。紧接着安排一次“辨一辨”小活动。屏幕出示三组图形：一组是真的垂直，一组只是画得接近直角但角度为八十五度，一组两条线段没有相交但延长后成直角。请学生判断并说明理由。第三组图引发争论，教师点拨：直线可以无限延伸，判断垂直要看两条直线相交时所成的角，而不是看图上画出的长短。随后强调一个推理链条：若AB⊥CD，则四个角都是直角。请学生口头补全理由——一个角是直角，它的邻补角是一百八十度减九十度等于九十度，对顶角也相等，所以四个角都是九十度。这一步看似平淡，实则让学生第一次体会到垂直定义中“一个直角”蕴含“四个直角”，为以后的几何说理提供了第一个完整的逻辑样板。（三）动手操作：垂线的画法教师布置任务一：在练习本上画一条直线，用三角尺画出它的垂线，你能画多少条？学生很快发现，只要平移三角尺，一条直线的垂线可以画无数条。教师板书：一条直线的垂线有无数条。任务二提高约束：在纸上画一条直线m，在直线上取一点A，过点A画直线m的垂线，你能画几条？学生把三角尺的一条直角边贴紧直线m，沿直线滑动三角尺，直到另一条直角边经过点A，沿该直角边画线，即得垂线。教师请两名学生在黑板上演示，其余学生检查动作要领：贴、靠、推、画四个步骤。任务三再加约束：把点A挪到直线外，过点A画直线m的垂线，又能画几条？学生操作后产生猜想：只能画出一条。教师组织学生尝试“换个角度再画一条”，发现无论怎样调整，画出的垂线都重合为同一条。此时教师引导学生用规范语言归纳基本事实，并板书：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。随后逐词解剖这句话。“过一点”包括点在直线上和点在直线外两种情形；“有”是说这样的直线存在，我们亲手画出来了；“只有一条”是说这样的直线唯一，想画第二条必然与第一条重合。为帮助学生触摸“唯一性”，教师取出两根可旋转的木条模型：一根固定代表已知直线，另一根在交点处旋转，只有当两木条夹角恰为九十度时它才停稳——这个位置只有一个。这一环节约十二分钟，是本节课的重心。画图不是目的，画图是为“有且只有”积累身体记忆；语言的提炼也不是背诵，而是把手上动作翻译成数学命题。（四）探究发现：垂线段最短屏幕上出现情境：小明家住在公路边的点P处，他要走到公路l边等车，可以沿路面上哪些点走过去？怎样走最近？教师在导学单上布置探究任务：直线l外有一点P，在直线l上取若干个点A、B、C、D（其中A是垂足），连接P与这些点，用刻度尺量出PA、PB、PC、PD的长度，填入表格。学生测量后发现，PA总是最短的，而且取点离垂足越远，线段越长。教师追问：如果不停地取点，这个规律会变吗？学生用直尺在垂足两侧连续取值验证，结论稳定。师生共同归纳性质并板书：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简单说成“垂线段最短”。紧接着给出定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。教师特意安排一次辨析：下列说法对不对？“垂线段PA就是点P到直线l的距离。”学生讨论后明确：垂线段是一个图形，是几何对象；距离是一个数量，是这条垂线段的长度。画垂线段是几何操作，求距离是数量的确定，两者不能混为一谈，但互为表里。为加深直观，教师回到开题情境：小明沿PA走到公路边最近，这条路就是垂线段；体育课上跳远成绩为什么量脚后跟到起跳线的垂线段长度？因为点到直线的距离才公平、唯一、可比。（五）例题精讲与分层练习例1：过三角形顶点A作对边BC的垂线，垂足为D。学生独立完成，教师巡视，重点观察两类错误：三角尺的直角边没有贴紧BC；把斜边上的线画成了角平分线或中线。投影展示典型作业，集体订正，强调“对哪条边作垂线，直角边就贴哪条边”。例2：点P是直线l外一点，PA⊥l，垂足为A，PA等于三厘米，B是l上异于A的一点，比较PB与PA的大小并说明理由。学生用“垂线段最短”直接作答，教师追问：如果题中说PB等于二点八厘米，可能吗？学生立即判断不可能，因为任何斜线段都大于垂线段。这个逆用的小追问，把性质从正向结论转化为可检验的判别工具。例3（应用）：水渠l旁有一村庄P，要修一条引水渠把渠水引入村庄，怎样修最省料？请画图说明。学生画出从P到l的垂线段，并口述依据。教师补充：施工中还要考虑地势，但数学给出的第一答案是垂直方向，这正是数学建模解决实际问题的第一步。分层练习分三层。基础层：判断与选择，辨析“过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直”等命题的正误。提高层：在同一图形中找互相垂直的线，并量出点到各直线的距离。拓展层：在方格纸上，不用量角器，利用方格画出已知斜线的垂线——学生发现斜率相反的格线走向，初步感知垂直与方向的关系，为后续学习留下伏笔。（六）课堂小结教师引导学生用三句话回顾本课。第一句是结论：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。第二句是性质：垂线段最短，垂线段的长度是点到直线的距离。第三句是方法：画垂线的四步——贴、靠、推、画；研究图形的路径——操作、猜想、归纳、说理。教师最后留下一句话：相交的世界里，垂直是最端正的一种相交；下节课我们将用垂线去观察既不垂直也不相交的直线，看看它们之间会发生什么。（七）作业布置必做题：教材课后练习相应题目；用量角器量出自己家客厅方位是否方正，记录测量过程。选做题：在A4纸上画一条直线和一个直线外的点，折纸折出这个点到直线的垂线，并写出与画图法的异同。六、板书设计主板书分三栏。左栏：定义与符号——两条直线相交成直角，AB⊥CD，垂足O；一个直角推出四个直角。中栏：基本事实——在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；画法口诀“贴、靠、推、画”。右栏：性质与概念——垂线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度；配一幅点P到直线l的示意图，标注垂足A与若干斜线段。七、教学反思本节课以学生动手操作为主线