北师大版初中九年级数学上册“平面直角坐标系中的位似变换”教学设计

北师大版初中九年级数学上册“平面直角坐标系中的位似变换”教学设计一、教学目标1.学生能够在平面直角坐标系中作出以原点为位似中心、给定相似比的位似图形，掌握对应点坐标的变化规律：位似图形对应点的横、纵坐标都乘相似比k。2.经历“画图—观察—猜想—验证—归纳”的全过程，发展几何直观、推理能力和坐标观念，体会图形变换与坐标运算之间的内在联系。3.通过探究位似变换中“形”的变化与“数”的表达，感受数形结合思想的价值，养成严谨表达、规范作图的习惯。二、教学重点与难点教学重点：以原点为位似中心时，位似图形对应点坐标的变化规律，即(x，y)变化为(kx，ky)，并能运用这一规律画图和求坐标。教学难点：一，当相似比k取负值时，图形位于原点另一侧，方向发生反向，学生容易忽略符号的几何意义；二，位似中心不在原点时，需要借助平移方法处理，这一层转化需要教师搭建台阶。三、教学准备教师准备：多媒体课件、坐标网格纸、几何画板动态演示文件、装有任务卡的学习单。学生准备：直尺、铅笔、方格纸。课前预习位似的定义，回忆“对应点连线交于一点，对应边平行”的性质。四、教学方法本课采用“问题情境—动手操作—合作探究—归纳提升—当堂检测”的流程组织教学，辅以几何画板的动态演示，让学生在可视化的变化中捕捉不变的关系。五、教学过程（一）复习旧知，埋下伏笔（约5分钟）教师出示两张形状相同、大小不同的蝴蝶图案，一张放在另一张的上方，提问：这两个图形是什么关系？它们之间经历了怎样的变换？学生回答后教师追问：第1课时我们学习了位似图形，位似图形必须满足哪两个条件？预设回答：一是两图形相似；二是两组对应点的连线交于同一点（位似中心），且对应边互相平行。教师顺势点题：上节课我们用直尺和圆规研究位似，今天我们把位似图形放进平面直角坐标系里，用“数”的眼光重新审视它。图形放大或缩小时，顶点的坐标发生了什么变化？这种变化有没有统一的规律？带着这个问题，进入今天的学习。设计意图：以旧带新，位似的定义是今天一切探究的出发点，坐标规律的发现必须建立在“对应点连线交于位似中心”这一几何事实上，避免学生只记坐标公式而丢掉几何本源。（二）动手作图，观察数据（约10分钟）活动一：放大一个三角形。各小组在坐标纸上完成如下任务：1.在平面直角坐标系中描出△ABC的三个顶点：A（—2，1），B（2，1），C（0，4）。2.以原点O为位似中心，相似比为2，画出△ABC的位似△A′B′C′。3.读出A′、B′、C′三个顶点的坐标，填入下表：原图形坐标→位似图形坐标A（—2，1）→A′（，）B（2，1）→B′（，）C（0，4）→C′（，）教师巡视，提醒学生先连接OA并延长，使OA′＝2·OA，再确定A′的位置，其余顶点同法处理。各小组汇报，教师在黑板上汇总数据：A（—2，1）→A′（—4，2）B（2，1）→B′（4，2）C（0，4）→C′（0，8）教师提问：观察这两组坐标，你发现了什么？预设回答：新坐标是原坐标乘2，横坐标乘2，纵坐标也乘2。设计意图：不急于告诉结论，让学生自己画、自己量、自己读，从具体的三个点出发形成猜想，规律才有生长的土壤。（三）变式探究，完善猜想（约10分钟）活动二：图形变一变，倍数变一变。教师引导：刚才相似比是2，规律成立。那如果相似比是1/2呢？用四边形再试一次。任务：在坐标系中描出四边形DEFG：D（4，0），E（4，4），F（—4，4），G（—4，0）。以原点O为位似中心，相似比为1/2，作位似四边形D′E′F′G′，读出各顶点坐标。学生作图后得到：D′（2，0），E′（2，2），F′（—2，2），G′（—2，0）教师提问：这次坐标是怎么变的？（都乘了1/2）形状没变，大小缩小为原来的一半，说明“横、纵坐标同乘相似比”不是偶然。活动三：相似比取—2，会怎样？教师启动几何画板，演示△ABC在位似中心O另一侧的位似情形：取相似比—2，顶点A′、B′、C′分别出现在OA、OB、OC的反向延长线上。学生描点后读出：A′（4，—2），B′（—4，—2），C′（0，—8）教师提问：这次的坐标又是怎么变化的？图形跑到原点哪一侧去了？学生发现：坐标仍是原坐标乘—2；图形落到原点另一侧，方向倒了过来。设计意图：通过“2→1/2→—2”三次变式，让规律在正、负、分数三种情况下都得到检验，逐步逼近完整结论，同时化解“负相似比”这一难点。（四）归纳规律，严谨表达（约5分钟）师生共同归纳，教师板书：结论：以原点O为位似中心，相似比为k，那么点（x，y）变换后的对应点坐标为（kx，ky）。当k＞0时，位似图形与原图形在原点同侧；当k＜0时，位似图形与原图形在原点异侧；|k|决定放大或缩小：|k|＞1放大，0＜|k|＜1缩小。教师强调：k前的符号只决定位置（同侧或异侧），k的绝对值才决定大小的变化倍数。随即追问：这个规律背后，为什么成立？引导学生回顾：因为对应点连线交于原点，连线上的点到原点的距离按同一比例伸缩，而坐标正是点到两坐标轴距离的一种刻画。可以借助过原点直线y＝mx以及勾股定理作简要说明，让“从眼见为实”走向“言之有理”。（五）例题精讲，规范书写（约8分钟）例1：如图，△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（3，4），B（0，4）。以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，求放大后各顶点的坐标，并作出图形。师生共同分析：相似比k＝2，位似中心为原点，直接应用规律：O′＝O＝（0，0）A′＝（2×3，2×4）＝（6，8）B′＝（2×0，2×4）＝（0，8）教师板书完整解答过程，强调书写格式：先写“位似中心为原点，相似比k＝2”，再列坐标计算，最后描点连线，并说明新三角形与原三角形的边长关系。例2：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（—6，9），以原点为位似中心变换后得到点P′（2，—3）。求相似比k。引导分析：横坐标—6变成2，即—6k＝2，解得k＝—1/3；用纵坐标检验：9×（—1/3）＝—3，吻合。点出方法：由一对对应点反求相似比，用横坐标求出k后必须用纵坐标验证，对不上就不是以原点为中心的位似变换，这一步检验不可省略。设计意图：例1是“给k求坐标”，例2是“给坐标反求k”，正逆互出，巩固规律的双向运用。（六）拓展提升，突破难点（约7分钟）问题：如果位似中心不在原点，而是点M（1，2），相似比k＝2，点P（3，4）的对应点坐标怎么求？教师引导：原点是最好的中心，那能不能把M“搬”到原点去？阶梯提示：把所有点向左平移1个单位、向下平移2个单位，此时M移到原点，P移到（2，2）；按规律乘2得（4，4）；再向右平移1个单位、向上平移2个单位搬回去，得P′＝（5，6）。归纳方法：位似中心任意时，可用“平移—变换—回移”三步转化，核心思想是把新知识化归为旧知识。设计意图：此内容为学有余力学生准备，不作为全员必考要求，但“平移转化”的思想对后续学习应用价值大，分层设置保证课堂有生长空间。（七）课堂小结（约3分钟）师生共同梳理本课的主线：一个结论：以原点为位似中心、相似比为k时，（x，y）→（kx，ky）。两个注意：k的符号定方向，|k|定缩放。一种思想：形的变化可以用数来刻画，数的变化反映了形，这就是数形结合。（八）当堂检测（约7分钟）1.点（—3，6）以原点为位似中心、相似比为1/3作位似变换，对应点坐标为＿＿＿＿。2.△ABC的顶点为A（1，2）、B（—1，2）、C（0，—2），以原点为位似中心、相似比—3画出位似图形△A′B′C′，并写出各顶点坐标。3.点P（4，—2）变换后得P′（12，—6），求k，并说明两个图形在原点的哪一侧。参考答案：1.（—1，2）；2.A′（—3，—6）、B′（3，—6）、C′（0，6），图形在原点异侧；3.k＝3，同侧。教师当堂批改部分学习单，对第3题中漏写“同侧异侧判断”的作集中讲评。六、作业设计基础作业：教材对应习题第1、2、3题。巩固作业：在坐标纸上自选一个五边形，以原点为位似中心，分别用相似比2和—2画出两个位似图形，比较两次图形的位置与方向，并用三句话写出结论。拓展作业：查阅资料，说一说生活中的哪些图案设计（如壁纸花边、地图缩放、电影画幅）用到了位似或缩放的原理，下节课交流。七、板书设计课题：平面直角坐标系中的位似变换主板书：探究数据表（三组实验坐标对照）结论：位似中心为原点，相似比为k（x，y）→（kx，ky）k＞0同侧，k＜0异侧；|k|定缩放例1解题过程（分步书写）副板书：例2验算过程、拓展“平移转化”三步法示意图。八、教学反思要点本课的