《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征

1、2020/6/15,1,1.离散随机变量的数学期望,定义:设离散随机变量X的概率函数为,若级数,绝对收敛,则随机变量X的数学期望(简称期望或均值)为,否则，称X的数学期望不存在.,数学期望,2020/6/15,2,注1EX是一个常数,它是一种加权平均.与一般的平均值不同,它从本质上体现了X取可能值的真正的平均值,也称均值.,注2级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.,2020/6/15,3,则X的数学期望（或均值）为,绝对收敛,2.连续随机变量的数学期望,若积分,否则，称X的数学期望不存在.,定义

2、.设连续随机变量X的概率密度为f(x),2020/6/15,4,任一随机变量X都有数学期望（或均值）吗？,反例：设X服从柯西分布(Cauchydistribution),求数学期望E(X).,解:,（不绝对收敛）,不存在,密度函数为,思考,2020/6/15,5,定理设X是一个随机变量,Yg(X),则,当X为离散型时,P(Xxi)pi,(i1,2,);,当X为连续型时,X的密度函数为f(x).,随机变量函数的数学期望：公式法,2020/6/15,6,数学期望的性质,2020/6/15,7,例.设X服从超几何分布H(n,M,N),求E(X).,问题还原：,设有一批产品共N件，,其中有M件次品,和

3、N-M件合格品，,不放回地抽取n件样品，,n件样品中的次品数X的数学期望。,求抽出的,解：,设Xi表示第i次取出的样品中的次品数，,则,Xi服从“0-1”分布：,2020/6/15,8,Xi的数学期望,则X的数学期望,常见的基本方法：可以将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.,n次抽样中的次品数X,2020/6/15,9,方差(Variance或Dispersion),定义.,设X是一随机变量，,则称EX-E(X)2称为X的方差,记作D(X),即,方差的算术平方根,称为X的标准差，,记作,即,若EXE(X)2存在，,2020/6/15,1

4、0,注:,(2)方差D(X)用来体现随机变量X取值分散的程度,反映了X偏离其数学期望E(X)的程度.,(3)如果D(X)值越大(小)，,表示X取值越分散(集中),以E(X)作为随机变量X的代表性越差（好）.,0;,(1)由定义知，D(X)=EX-E(X)2,2020/6/15,11,方差的计算,(1)利用随机变量函数的数学期望公式,离散随机变量的方差,连续随机变量的方差,2020/6/15,12,(2)利用方差公式,且E(X2),也存在,则,证明:,定理：设随机变量X的数学期望E(X)存在，,2020/6/15,13,方差的性质,2020/6/15,14,U(a,b),e(),P(),B(n,p),(01),ppqnpnpq,常用随机变量的期望与方差,分布,分布列或密度函数,期望,方差,2020/6/15,15,原点矩与中心矩,1.k阶原点矩：,2.k阶中心矩：,特别地，k=1,E(X)为数学期望.,k=2,EX-E(X)2为方差.,k=2,E(X2)为2阶原点矩,其计算公式,特别地，k=1,EX-E(X),=0.,2020/6/15,16,1.协方差,协方差和相关系数,