高等数学(下)无穷级数ppt课件

1、.,无穷级数,无穷级数,数项级数,幂级数,傅氏级数（数一）,第十一章,.,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第十一章,.,一、常数项级数的概念,引例用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积A.,设a0表示,即,内接正三角形面积,ak表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,.,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第n项,叫做级数的一般项,级数的前n项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,.,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,收敛,则称无穷

2、级数,并称S为级数的和,记作,.,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,.,2).若,因此级数发散;,因此,n为奇数,n为偶数,从而,综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,.,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,.,(2),所以级数(2)收敛,其和为1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,.,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于S,则各项,乘以常数c所得级数,也收敛,说明:级

3、数各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为cS.,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,.,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减.,.,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,.,三、级数收敛的必要条件,性质5、设收敛级数,则必有,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项

4、为,不趋于0,因此这个级数发散.,.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,.,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十一章,.,一、正项级数及其审敛法,若,定理1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,则称,为正项级数.,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,是两个正项级数,(常数k0),.,例1.讨论p级数,(常数p0),的敛散性.,解:

5、1)若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知p级数,发散.,发散,.,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.,时,2)若,.,调和级数与p级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,.,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,.,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当l=0,(3)当l=,设两正项级数,满足,(1)当0l时,.,是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;,也发散.,.

6、,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,.,定理4.比值审敛法(Dalembert判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p级数,但,级数收敛;,级数发散.,.,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,.,例6.讨论级数,的敛散性.,.,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,数,且,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散

7、.,.,例7.讨论级数,的敛散性.,例8.讨论级数,的敛散性.,.,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,.,收敛,收敛,用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,.,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,.,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,说明：上述逆定理

8、不一定成立。,即,发散,发散,.,例9.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,.,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,.,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,.,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,.,例1、（06，一，三）,若,则级数（）,A、,B、,C、,D、,例2、（05，三）设,若,则下列结论正确的是（）,A、,B、,C、,D、,.,第三节

9、,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十一章,.,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间I上的函数项级数.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;,若常数项级数,为定义在区间I上的函数,称,收敛,发散,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域.,.,为级数的和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前n项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是x的函数,称它,.,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,.,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为

10、幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数,为幂级数的系数.,即是此种情形.,的情形,即,称,.,收敛,发散,定理1.(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切x幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,.,幂级数在(,+)收敛;,由Abel定理可以看出,中心的区间.,用R表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R=0时,幂级数仅在x=0收敛;,R=时,幂级数在(R,R)收敛;,(R,R)加上收敛的端点称为收敛域.,R称为收敛半径，,在R,R,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(R,R)称为收敛区间.,.,定理2.若,

11、的系数满足,1)当0时,2)当0时,3)当时,则,的收敛半径为,说明:据此定理,.,对端点x=1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1.求幂级数,.,例2.求下列幂级数的收敛域:,解:(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在x=0处收敛.,规定:0!=1,.,例3.,的收敛半径.,解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,.,例4.,的收敛域.,解:令,级数变为,当t=2时,级数为,此级数发散;,当t=2时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级

12、数的收敛域为,即,.,三、幂级数的运算,定理3.设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有:,其中,.,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,.,定理4若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.,.,例5.求级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为1,及,收敛,.,因此由和函数的连续性得:,而,及,.,内容小结,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的

13、收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求.,乘法运算.,.,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,.,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十一章,.,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在x与x0之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:,.,为f(x)的泰勒

14、级数.,则称,当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,.,定理1.,各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,设函数f(x)在点x0的某一邻域,内具有,定理2.,若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,.,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;,第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;,第三步判别在收敛区间(R,

15、R)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,.,例1.将函数,展开成x的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数x,其余项满足,故,(在0与x之间),故得级数,.,当m=1时,.,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成x的幂级数.,解:因为,把x换成,得,将所给函数展开成幂级数.,.,例5.将函数,展开成x的幂级数.,解:,从0到x积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在x1收敛,所以展开式对x1也是成立的,于是收敛,.,例6.将,展成,解:,的幂级数.,.,

16、例7.将,展成x1的幂级数.,解:,.,(06,一)将,展成关于x的幂级数,.,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,.,当m=1时,.,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,.,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,.,定理1.组成三角级数的函数系,证:,同理可证:

17、,正交,上的积分等于0.,即其中任意两个不同的函数之积在,.,上的积分不等于0.,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,.,二、函数展开成傅里叶级数,定理2.设f(x)是周期为2的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,叶系数为系数的三角级数称为,的傅里叶系数;,由公式确定的,的傅里,的傅里叶级数.,称为函数,以,.,.,定理3(收敛定理,展开定理),设f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x为间断点,其中,为f(x)的傅里叶系数.

18、,x为连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,.,例1.,设f(x)是周期为2的周期函数,它在,上的表达式为,解:先求傅里叶系数,将f(x)展成傅里叶级数.,.,.,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,说明:,f(x)的情况见右图.,.,例2.,上的表达式为,将f(x)展成傅里叶级数.,解:,设f(x)是周期为2的周期函数,它在,.,说明:当,时,级数收敛于,.,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在,上的函数f(x)的傅氏级数展开法,其它,.,例3.将函数,级数.,则,解:将f(x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数F(x),.,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当x=0时,f(0)=0,得,说明:,.,设,已知,又,.,三、正弦级数和余弦级数,1.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4.对周期为2的奇函数f(x),其傅里叶级数为,周期为2的偶函数f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,.,例4.设,的表达式为f(x)x,将f(x)展成傅里叶级数.,是周期为2的周期函数,它