中南大学结构力学14结构动力学

1、第十四章结构动力学、静力载荷：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，结构不发生显着的运动状态变化，结构处于平衡状态。 计算平衡状态下结构的内力和变形的问题叫做静力计算。 注意：区分静力负荷和动力负荷不仅要从负荷本身的性质来看，还必须看到其对结构的影响。 一、结构动力计算的特征和任务，一.动力载荷和静力载荷的差异：随时间变化的结构位移和内力称为动位移和动内力，称为动力反应。 计算动力负荷引起的结构的动力反应问题，称为动力计算。 动力载荷(扰动力):随时间快速变化的载荷，14-1的概要，结构动力计算的特征：由动力载荷引起结构振动，其位移和内力随时间变化。 运动中，结构质量有加速度，必须

2、考虑惯性力的作用。 考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。 结构静力计算的特征：结构的位移和内力仅取决于静力载荷的大小及其分布规律，与时间无关。 2、结构动力计算的特征，3 .结构动力计算可分为两种：自由振动：结构受到外部因素的干扰而振动，在随后的振动过程中不再受到外部干扰力的作用。 强制振动：结构在振动过程中持续受到干扰力时，称为强制振动。 4、结构动力计算任务：(2)分析计算动力负荷引起的结构动力反应，确定动力负荷引起的结构位移、内力等值随时间变化的规律，以其最大值作为设计依据。 (1)计算自由振动，分析得到的结构的动力特性(自振频率、模式和衰减参数)，14-1的概要，周期性载荷周期

3、性变化的载荷。 其中最简单，最重要的是简并载荷(按弦或馀弦函数规律变化)。 二、动力负荷的分类、简并负荷、1 .周期负荷、非简并周期负荷，例如打桩时因落锤碰撞而产生的负荷。 14-1的概要、爆炸时产生的负荷等负荷值在短时间内急剧减少(或增加)。 2 .冲击负荷，3 .突然施加常数负荷，突然作用于结构，负荷值长时间不变。 /起重机吊起重物时产生的载荷。 上述载荷是时间的确定函数，称为确定性动力载荷。14-1概述，随机载荷(不确定载荷) 载荷的变化极不规则，在任-时间的数值无法预测。 地震载荷和风载荷都是随机载荷。 随机载荷(不确定载荷)、4 .随机载荷、14-1的概要、结构振动的自由度：结构包括

4、弹性变形过程中决定全质点位置所需的独立参数的数量、单自由度结构、多自由度结构(自由度大于1的结构)、14-2结构振动的自由度， 当梁本身的质量远远小于电动机的质量时，可以忽略梁本身的质量，而不考虑梁的轴向变形和质点的旋转，梁上的质点位置只能由弯曲y(t )决定。 是独立于质点垂直弯曲的参数的单一自由度结构，因为决定绝对刚性构件上三个质点的位置的只有构件角(t )，所以是单一自由度结构。 14-2结构振动的自由度只有一个集中质点，但由于其位置必须由水平位移x和垂直位移y两个独立参数决定，所以振动的自由度等于2，是多自由度系统。 三层平面刚架梁的刚度可视为无限大，结构振动时梁不能上下移动和旋转，只

5、能水平移动，所以振动自由度等于3，多自由度系统。 分析14-2结构振动的自由度、台架的振动的自由度时，可以引用弯曲的直杆的任意两点间的距离一定的假设，即省略部件的轴向变形。 因此，采用增加刚性的连杆法，可以决定结构的振动自由度。 刚性连接法：通过对结构应用最小的刚性连接来限制机架上所有质点的位置，机架的自由度等于添加的连接数。有两个集中质量，追加三条连杆的话，各质量固定，振动的自由度为3。 注意：系统振动自由度的数量不完全依赖质点的数量，与系统静止还是超静定无关。 系统的自由度数量与计算假设和计算精度有关。 考虑到质点的旋转惯性，控制旋转的约束也必须增加，决定结构的振动自由度的数量。 14-2

6、结构振动的自由度，在实际结构中，除了大的集中质量以外，还具有连续分布的质量。 对此，需要采用一定的简化措施，将无限多自由度问题简化为单自由度或有限多自由度问题进行计算，集中质量法：将系统的连续分布质量集中在有限个集中质量(实际上是质量点)，将本来无限自由度问题简化为有限自由度问题。 简化方法有集中质量法、广义坐标法、有限元法等几种。 本章重点研究集中质量测定法。 水塔的大部分质量集中在塔顶，可以简化成以x(t )为位移参数的单自由度结构。 关于14-2结构振动的自由度，需要考虑部件自身的质量(称为质量棒)的结构是无限自由度系统。 例如：用集中质量法将连续分布质量的简单支撑梁简化为有限自由度系统

7、。 将梁平分，归纳为三个集中质量、单一自由度体系。 将梁分成三等分，质量分为四个集中质量的两个自由度体系。 14-2结构振动的自由度，自由振动：结构在振动过程中不受干扰力作用的振动形式。 产生自由振动的原因：结构在振动的初期受到干扰。 初始扰动形式：(1)结构具有初始位移(2)结构具有初始速度(3)上述两者存在，1 .不考虑阻尼时的自由振动，可以用简单的质点弹簧模型描述各种单自由度系统的振动状态。 梁的质点重量w引起的弯曲曲线称为“静平衡位置”。 14-3单自由度结构的自由振动规定，质点弹簧系统中的质点的静力平衡位置为计算位移的原点，位移y和质点受到的力都为向下正。 设弹簧单位位移时所需的力为

8、k11，弹簧的由称为弹簧的刚性的单位力引起的位移为11，称为弹簧的柔软度，在k11和11之间，如果没有重量的悬臂、没有重量的单纯的支撑梁简化了弹簧体系的情况下，弹簧的刚性系数k11是多少思考：简单支撑梁：悬臂：a :14-3单自由度结构的自由振动，为了求出结构振动时的位移和各种大小的时间变化规律，需要先建立和求解振动微分方程。 振动微分方程的建立方法：(1)刚性法。 即列动力平衡方程式。 质点m在振动的任一时刻位移为y，质点m为隔离体，若不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m的力如下：(a )弹簧的复原力有将质点拉回静力平衡位置的倾向，负是指与位移y的方向相反的方向，即总是指静力平衡位置。

9、 (b )惯性力、负号表示与加速度方向相反的方向，弹簧处于静力平衡位置时的初张力一定和质点的重量mg平衡而抵消，因此在振动过程中不需要考虑这两个力。14-3单自由度结构的自由振动，质点通过惯性力F1和恢复力Fc维持平衡，或代入F1和Fc的公式，单自由度结构的自由振动微分方程，14-3单自由度结构的自由振动，(2)柔量法。 即列位移方程式。 质点m振动时，若将惯性力视为静力载荷作用于系统的质量，则在该作用下，结构在质点处的位移y为：该二次线性常数的一次微分方程式的解为：(a )、(b )，在初始条件t=0时，可得到14-3自由度结构的自由振动，自由度系统的没有衰减的自由振动为单纯共振动指令：(1

10、4-5 )，位移满足周期运动的以下条件：a表示质量m的最大动位移，称为振幅。 由常数、初始条件y0和v0决定。是初始位置的相位角，称为初始相位角。 也取决于常数、初始条件y0、v0。 t被称为结构的自振周期，其通常的单位是秒(s )。 自振周期的倒数表示一秒钟的振动次数，称为工程频率，表示为f，其单位称为1/秒(s-1 )或赫兹(Hz )。(14-7 )、14-3自由度结构的自由振动显示2秒以内的振动次数，是结构动力性能的重要指标。 的单位为弧度/秒(rad/s )，通常简称为1/s(s-1 )。 从圆周运动的观点出发，将其称为圆频率，一般将称为自振频率。 根据式(14-1 )，结构的自振频率

11、的计算式，相应地，结构的自振周期t的计算式，在式中，g表示重力加速度，st表示由重量mg引起的静力位移。 结构的自振频率和周期取决于其自身的质量和刚性，与初始条件和外界干扰因素无关，反映了结构固有的动力特性。(14-8 )、14-3自由度结构的自由振动、解：三种支撑情况的梁都是自由度体系。 例14-1图为三种不同支撑情况的悬臂梁，EI=常数，梁的中点有集中质量m，不考虑梁的质量时，试着比较了三个自振频率。 由此，随着结构刚性的增大，其自振频率也相应地变高。 考虑到14-3单自由度结构的自由振动，2 .衰减时的自由振动，物体的自由振动在各种各样的阻力的作用下逐渐衰减，所以不能无限持续。 抵抗分为

12、两部分。 一个是外部介质的阻力，另一个是来自物体内部的作用。 这些统称为衰减力。 一般来说，引用福格第一假设，振动中物体受到的衰减力与其振动速度成比例地近似，称为粘性衰减力：其中是衰减系数，负表示衰减力的方向一定，与速度方向相反，考虑到衰减，质点m的动力平衡方程式，即：令，14-3 这是常数一致的线性微分方程式，设其解的形式为，得到解，则该特征方程式根据衰减的大小，当前，在(1)k，即大衰减的情况下，r1和r2为两个负实数，式(14-9 )的解为：y(t )不是周期函数，即大、(14-13 )、(14-14 )、y-t曲线，它们不是振动，位移进度表曲线(y-t曲线)表示系统从初始位移逐渐返回静

13、平衡位置，不发生振动。 y(t )不是周期函数，也就是说在临界衰减下不振动。 此时，临界阻尼系数、14-3单自由度结构的自由振动、强制振动：结构因动力载荷即干扰力而产生的振动。 如果质点m受到干扰力F(t )的作用，则质点m的动力平衡方程式为：即，14-4自由度结构是简并载荷的作用下的强制振动，方程式的解包含两个部分：与齐次方程式对应的解和与干扰力F(t )对应的特解、(14-18 )、通解、特解根据干扰力而不同。 在本节中，干扰力为简并周期载荷的情况下，例如具备旋转部件的机械等速旋转时，研究不平衡质量引起的离心力的垂直或水平分力等，表现如下：(14-19 )，其中干扰力的频率，f是干扰力的最

14、大值。 此时，式(14-18 )是基于、(14-20 )、(a )、14-4单自由度结构的简并载荷的强制振动，将式(b )代入式(14-20 )，得到式(a )式(b )，导入初始条件，伴随着由(14-21 )初始条件决定的自由振动、自由振动由初始条件决定自由振动阶段和伴随自由振动的阶段随着时间急速衰减，所以称为过渡阶段，最后只剩下以干扰力的频率振动的纯粹的强制振动，所以称为稳定阶段。 在实际问题上，一般只考虑纯粹的强制振动。、14-4单自由度结构的简并负荷引起的强制振动、1 .不考虑阻尼的单纯的强制振动，(14-22 )，因此最大动力位移(振幅)为(14-23 )，表示将干扰力的最大值f作为

15、静负荷作用于结构时产生的静力位移，位移动力时值为负表示动力位移和动力载荷方向相反，该现象仅在忽略阻尼时出现。 14-4单自由度结构的简并载荷引起的强制振动、动力反应谱(动力放大系数随频率比/变化的关系曲线)、动力放大系数的大小反映了结构动力反应的强弱。 单自由度结构在扰动力和惯性力作用点重叠时，位移动力系数和内力动力系数完全相同。 通常，动力载荷(即扰动力)的周期为结构的自振动周期的5、6倍以上时，可视为静力载荷。 在时，即/0，此时1。 这种情况相当于静力的作用。 14-4单自由度结构的简并载荷引起的强制振动、动力反应谱，(2)时，/1，此时。 即振幅变为无限大的现象称为谐振。 2 )当实际

16、上由于阻尼的存在而谐振时，幅度不会无限大。 1 )共振现象的形成有一个过程，振幅因小而变大。3，3 )请避免0.75/，即/1。 此时，的值为负值，接近零。 这表示在高频退化载荷的作用下，振幅接近零，系统处于静止状态。 在工程设计中，要求振幅的绝对值，动力反应谱的/1部分的被描绘在横轴上。 注意：14-4单自由度结构在简单谐振载荷下的强迫振动，在单自由度体系中，当扰动作用于质量，扰动作用线与体质体的振动位移方向一致时，其位移动力系数和内力动力系数完全相同，结构的最大动内力可以用动力系数法求出。 如果干涉力不作用于质量，系统的位移和内力就没有统一的动力系数。 此时结构动内力、动位移的计算可以用建

17、立动力微分方程的方法来计算。 参照本P89图14-2、14-2的单自由度结构在简并载荷下的强制振动，解：发电机的重量下梁的中点的最大静力位移为：因此，自振频率是在例14-2的简单支撑梁的中点设置电动机，电动机的重量G=35kN。 已知梁的惯性力矩I=8.810-5m4，E=210GPa。 发电机旋转时离心力的垂直分力为F=sint、F=10KN。 不考虑阻尼，发电机每分钟的转速为n=500r/min时，求出了梁的最大弯曲力矩和弯曲度。 扰动力频率：动力系数：梁中点的最大弯矩，梁中点的最大挠度是14-4单自由度结构的简单的调和负荷下的强制振动，体的运动位移y(t )是将静力平衡位置计算为零点，因此y(t )不含体的重力的影响，但体的最大垂直变化注意，14-4单自由度结构在简并载荷下的强制振动，(1)将惯性力和动力载荷分别作为单位力和单位偶力作用于体系，描绘对应的角图。 例14-3图示单纯支撑梁的跨度上有集中质量m，在支撑台a上受到动力力矩Msint的作用，忽略梁的质量，求出质点的动位移和支撑台a上的动角的振幅。 解：该系统不能直接用放大系数求出动态位移，可以通过建立系统的振动方程式来求解。14-4单自由度结构在简并载荷下的强制振动，式中，(2)根据重叠原理列举了运动位移，质点的运动位移是在惯性力FI(t )和动力载荷的共同作用下发