12---比例线段2教师版

1、12教育初二强化进度一春季班12. 比例线段（2） 四平路校区：65107076；浦东校区：68869972第12讲 比例线段（2）【知识点】1. 比例中项：如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项.即：如果（或），那么b叫做a和c的比例中项，这时.2. 黄金分割： 线段上一点把它分成两条线段，其中较长的线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割线段的方法叫做黄金分割.如下图，点P把线段AB分割成AP和PB（APPB）两段，且AP是PB和AB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点.我们有公式：也即：【注】称为黄金分割数，黄金分割数是一个无理

2、数，在应用时常取它的近似值0.618. 任意一条线段的黄金分割点都有 两 个.3. 黄金三角形：顶角为36的等腰三角形称为黄金三角形. 4. 三角形重心：三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心性质定理：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.【例题精讲】1. （1）长为4cm和9cm的线段的比例中项是6cm ； （2）6和8的比例中项是.2. 已知线段满足，且线段b是线段a，c的比例中项，则= .3. 已知点P是线段AB的黄金分割点，被分得的较长的线段PB4cm，那么较短的线段PA，AB.4. 已知点P黄金分割线段AB，且AB=1，则PA= . 5

3、. RtABC的重心为G，且斜边AB=15cm，则CG的长为 . 6. ABC的重心为G，过点G作BC的平行线交AB于D. 若边BC的长为9cm，则DG= . 7. 如图，ACB90，CDAB于D，中线BG、CH相交于点P，PQAB于Q，若AB5，AC4，求PQ的长.解：， 由勾股定理， 中线、交于点 即 8. 线段AB长为，C是线段AB上一不与端点重合的动点，分别以AC、BC为边向AB的两侧各作一个等边三角形，如图所示. 记等边APC的重心为，记等边BQC的重心为. 试证明：无论C点如何运动，线段的长度始终保持不变. 9. 如图，ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点P是BDC的重心，点

4、Q是EBC的重心，联接PQ. 已知BC=12cm，试求PQ的长. 10. 你会作出线段AB的黄金分割点吗？这里告诉你一个作图的方法，但请你来说明这个作法的正确性. 已知线段AB，作CBAB，使CB； 联结AC，在线段CA上取CDCB； 以A为圆心、AD为半径画弧，交线段AB于点P，那么P就是线段AB的一个黄金分割点. 证：设，则 点就是线段的一个黄金分割点. 【教材同步】1. 如图1，已知四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点，（1）若取的中点，可证，请写出证明过程（2）如图2，若点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否仍然成立，若成立，请写出证明过

5、程；若不成立，请说明理由；解：（1）四边形ABCD是正方形AB=BC，B=BCD=DCG=90，取AB的中点M，点E是边BC的中点，AM=EC=BE，BME=BEM=45，AME=135，CF平分DCG，DCF=FCG=45，ECF=180-FCG=135，AME=ECFAEF=90，AEB+CEF=90，又AEB+MAE=90，MAE=CEF，即AMEECF（ASA），AE=EF，（2）AE=EF仍然成立，理由如下：在BA延长线上截取AP=CE，连接PE，则BP=BE，B=90，BP=BE，P=45，又FCE=45，P=FCE，PAE=90+DAE，CEF=90+BEA，ADCB，DAE=BEA，PAE=CEF，APEECF，AE=EF【课后作业】1. 如图，在ABC中， ， ，BD、CF交于E，求 的值. （提示：添平行线构造A字形或8字形）答：（提示：添平行线构造A字形或8字形）（略），得. 2. 如图直角梯形ABCD中，ABDC，C90，AB6，CD3，AD5， 点P在AD上，设APx，四边形CDPB面积为S， 求S与x的函数关系式并指出定义域； 当P在什么位置时，PB将梯形分成面积相等的两部分.解：（1）作于，于 ， 即 （2）令 即 当时，