第6章 模糊可靠性计算方法.ppt

1、第6章模糊可靠性计算方法,6.1模糊集合及模糊事件的概率6.2模糊统计和常用的隶属函数6.3模糊可靠度计算公式6.4模糊可靠度的应用及计算举例6.5最大应力和最小强度组合的模糊可靠度,第6章模糊可靠性计算方法,美国控制论专家L.A.Zadeh教授在1965年创立了模糊数学，即模糊集合论。模糊数学是处理“亦此亦彼”问题的数学，它弥补了确定性数学的“非此即彼”二值逻辑的缺陷，因此，模糊数学发展非常迅速,可靠性设计是处理设计变量随机性的问题。但是在一些零件的失效判据中存在着模糊性，例如，“允许的磨损量（即磨损量达到多少时为失效）”、“允许的变形量（即变形量达到多少时为失效）等,第6章模糊可靠性计算方

2、法,在这些情况下，就需要用模糊数学的方法来解决。模糊数学与可靠性理论结合得到的可靠度称为模糊可靠度。实际上这就是模糊数学与概率论互相渗透的结果。通过这种渗透，从而使计算得到的零件的可靠度结果更符合实际情况。在某些情况下得不到工作应力或极限应力的概率分布时可采用隶属函数来近似代替，但隶属函数不能随意取各种分布形式。本章将具体讨论模糊可靠度的计算及其适用范围,6.1模糊集合及模糊事件的概率,模糊数学是研究、处理模糊性问题的数学。所谓模糊性，就是概念本身没有明确的外延。模糊概念不能用普通集合来刻划，而应该用模糊集合来刻划。为了说明模糊集合，首先来简单回顾一下普通集合,普通集合研究的是非此即彼现象，可

3、以用特征函数来表征。将被讨论的对象全体称为论域，用U表示。例如，某种材料在一定应力水平下的疲劳寿命即为一个论域,6.1模糊集合及模糊事件的概率,对于论域U中的任一子集A（如疲劳寿命在某一范围内），确定了一个从U到,的映射,映射,叫做集合A的特征函数,论域中的某一元素u是否属于集合A是明确的,6.1模糊集合及模糊事件的概率,然而，在论域中有些子集的界限并不是很明确的（例如，“疲劳寿命在某值左右”）即元素u是否属于这个子集并不能确切地回答是与否，而只能说它属于这个集合的程度，这个程度称为隶属度，相应的函数称为隶属函数。显然，这样的问题在普通集合中不能解决。因此，L.A.Zadeh教授建立了模糊子集

4、的概念及运算规则,6.1模糊集合及模糊事件的概率,模糊子集,是指：在论域U中，对于任意的,指定了一个数,称,为u对,的隶属程度，映射,叫做,的隶属函数,6.1模糊集合及模糊事件的概率,模糊性和随机性之间有着本质的区别。可靠性设计主要是考虑设计变量的随机性，以概率统计为基础。但是，在可靠性设计中还涉及到很多模糊性问题，这就需要用模糊集理论来处理。在机械零件可靠性设计中，模糊集理论的一个重要应用就是模糊事件的概率,若X是离散型随机变量，其可能取的值为,样本空间上的模糊子集,表示模糊事件，,则该模糊事件的概率定义为,6.1模糊集合及模糊事件的概率,若X是连续型随机变量，,是其概率密度，R（数直线或,

5、表示模糊事件，则该模糊事件的,实数域）上的模糊子集,概率定义为,6.1模糊集合及模糊事件的概率,概率密度,可通过对试验数据进行统计处理后获得，,而隶属函数的获得则需要用模糊统计的方法。下面介绍一下模糊统计的方法以及在可靠性设计中常用的隶属函数,6.2模糊统计和常用的隶属函数,模糊统计方法,模糊性是由于概念外延的模糊而造成的在划分上的不确定性。模糊试验（或称模糊统计）与随机试验类似，是用确定性手段去研究模糊性。与随机试验不同的是模糊试验是对人进行试验，即向被调查的人员（专业技术人员）说明模糊子集合,相对应的模糊概念的含义，要求每个人员对模糊概念进行一次固定化的划分，此划分表示模糊概念的一个近似的

6、外延（相当于做一次试验）。,6.2模糊统计和常用的隶属函数,取定一个固定的元素x0，求出划分中包含x0的次数n，计算x0对,的隶属频率,实验表明：随着N的增大，隶属频率也会呈现出稳定性。频率稳定所在的那个数，叫做x0对,的隶属度。取定不同的x0，,可以得到不同的隶属频率（隶属度），将其在以x为横坐标、隶属函数为纵坐标的平面内描点，将这些点连成光滑曲线，即为隶属函数曲线,6.2模糊统计和常用的隶属函数,通过上述的模糊统计可以看出，隶属函数是人脑反映性的东西，确实包含着人脑的加工，其中包含着某种心理过程。但是，心理活动也是物质性的。心理物理学的大量实验表明，人的各种感觉所反映出来的心理量与外界刺激

7、的物理量之间保持相当严格的定理。同时，也正是由于隶属函数的确定是人为加工的，所以它具有更大的灵活性，一旦确定的隶属函数与实际不符时，可通过再学习来加以改进,6.2模糊统计和常用的隶属函数,隶属函数的确定，应该进行模糊统计。也可以利用人们长期积累的实践经验，以及专家和操作人员的经验，但也容许有一定的人为技巧，最终以符合客观实际为标准。这样就避免了一刀切的不合理性。实际计算时，常常是选择一些具有代表性的隶属函数，然后确定其参数。下面是几种常用的隶属函数,6.2模糊统计和常用的隶属函数,几种常用的戒上型隶属函数,通常将实数域上的隶属函数称为模糊分布,在机械可靠性设计中经常遇到的是这样一类问题，如，允

8、许的磨损量、允许的变形量、允许的制动距离等。对于这类问题，应采用戒上型的隶属函数，如降半矩形、降半梯形、降半正态、降岭形、降半、降半哥西等隶属函数。其中较为常用的是降半矩形、降半梯形和降半正态隶属函数,6.2模糊统计和常用的隶属函数,降半矩形隶属函数为,降半梯形隶属函数为,6.2模糊统计和常用的隶属函数,降半正态隶属函数为,几种常用的中间型隶属函数,对于那些“在某值左右”的模糊子集,可采用中间型隶属函数,矩形隶属函数为,6.2模糊统计和常用的隶属函数,梯形隶属函数为,正态隶属函数为,6.3模糊可靠度计算公式,在机械可靠性设计中，有些场合是纯随机性问题，应该用概率统计理论来解决。例如，应力-强度

9、干涉模型中的强度判据即是如此。而有些场合则是模糊性问题，应该用模糊数学的方法来解决。例如，设计中的一些人为规定即是如此。下面推导建立存在模糊性信息时可靠度的计算公式,设论域中的变量，如磨损量、变形量、寿命、爆破压力等都是随机变量。通过试验获得数据，然后利用数理统计的方法确定其分布类型和分布参数,6.3模糊可靠度计算公式,现将可靠性设计中常用概率分布与上述的戒上型隶属函数的各种组合的模糊事件的概率由式(6-4)推导出具体的表达式。当这些模糊事件为“允许的磨损量”、“允许的变形量”等时，此概率即为可靠度。为区别于常规的可靠度，这里将其称为模糊可靠度。由于它仍然是一个概率，故仍采用R来表示，同时它也

10、可以用于机械系统的可靠性计算中,6.3模糊可靠度计算公式,论域中变量服从指数分布,指数分布的概率密度为,当模糊事件,的隶属函数由式(6-6)表示时，则模糊可靠度为,当模糊事件,的隶属函数由式(6-7)表示时，则模糊可靠度为,6.3模糊可靠度计算公式,当模糊事件,的隶属函数由式(6-8)表示时，则模糊可靠度为,论域中变量服从正态分布,正态分布的概率密度为,6.3模糊可靠度计算公式,模糊可靠度的表达式分别为,6.3模糊可靠度计算公式,6.3模糊可靠度计算公式,论域中变量服从对数正态分布,对数正态分布的概率密度为,6.3模糊可靠度计算公式,6.3模糊可靠度计算公式,6.3模糊可靠度计算公式,论域中变

11、量服从威布尔分布,威布尔分布的概率密度为,模糊可靠度的表达式为,6.3模糊可靠度计算公式,6.3模糊可靠度计算公式,在第4章给出的两端截尾的分布模型，同样可以用于模糊可靠度的计算中。模糊可靠度的具体表达式可仿照本节的方法进行推导,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,模糊可靠度的应用范围,磨损的模糊可靠性设计,目前，通常是通过专门的试验获得在工作到一定时间的磨损量数据，然后由这些数据判断磨损量的分布类型并估计出分布参数,大量试验结果表明：指定时间时的磨损量可以用正态分布来描述,关于由磨损引起的失效则是一个模糊事件，即磨损到什么程度才算失效，这个概念并不清晰，没有明确的外延。因此，在这种场合应采用模

12、糊可靠性设计,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,设论域为磨损量W，磨损量的概率密度为,模糊事件,为“允许的磨损量”，隶属函数应为戒上型，,则模糊可靠度为,当给定正态分布的分布参数及相应的隶属函数即可由式(6-15)(6-17)进行求解,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,腐蚀的模糊可靠性设计,腐蚀也是一种耗损型失效，腐蚀量是一随机变量，腐蚀失效判据是一个模糊概念，因此也宜用模糊可靠性设计,关于腐蚀的模糊可靠设计方法与磨损的设计方法完全相同，故不重述,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,刚度的模糊可靠性设计,在有些机械中，主要的零件不允许出现过大的弹性变形，即变形量超过某一规定值时即判为失效。例如，

13、机床主轴、电机轴、蜗杆轴等。变形量包括挠度、偏转角、扭转角。由于变形量Y是一随机变量，且“允许的变形量”为一模糊事件,因此宜用模糊可靠性设计,设论域为变形量Y，允许的变形量“是一模糊事件,隶属函数应为戒上型，故模糊可靠度为,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,变形量的概率密度,可以用材料力学的计算公式及,随机变量函数的分布的计算公式通过计算获得,通常也认为变形量服从正态分布，即,“允许的变形量”这一模糊事件,的隶属函数仍取为戒上型，,故可由式(6-15)(6-17)计算零件刚度的模糊可靠度。,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,压力容器安全保护装置的模糊可靠性设计,压力系统通常都要安装保护装置，例

14、如，箔片式除爆器等。当系统压力过高时，除爆器箔片就破坏形成通道使系统泄压，从而防止严重事故的发生。除爆器的爆破压力,厚度等随机因素的影响是一个随机变量，其分布类型和分布参数可以通过试验经统计处理后得到。而“安全的爆破压力”则是一个模糊事件,受箔片材质、,其隶属函数应为戒上型,因此在这种情况下，也宜用模糊可靠性设计,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,设论域为爆破压力,，模糊事件,故此时的模糊可靠度为,为“安全的爆破压力”，,当给出爆破压力的概率密度,及隶属函数,即可由式(6-12)(6-23)计算其模糊可靠度,后,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,寿命的模糊可靠性设计,在机械系统中，系统的可靠性

15、计算是以寿命为变量进行的。零件的可靠性设计也常以寿命为变量进行计算。那么以寿命是否超过某一规定值为失效判据时，则此时也应该使用模糊可靠性设计,设论域为系统或零件的寿命T，概率密度为,，模糊事件,为“寿命模糊地大于某一规定值”，,则此时的模糊可靠度为,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,上式中隶属函数应为戒下型，为了用本章给出的戒上型隶属函数，可由下式进行求解,以寿命为判据的模糊可靠性设计特别适用于根据现场试验数据进行的可靠性计算,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,系统功能失效的模糊可靠性设计,衡量一个系统的好坏常常有很多指标。在这些指标中，除少数影响系统的零部件失效（如脆断等）造成系统不能正常工

16、作外，大部分故障都是由于系统的功能下降引起的。例如，对于汽车来说，载重量降低、耗油量增大、制动力下降、噪声水平增高、漏油量增大等都是功能性故障，即当某一功能达到某一规定水平时即判其发生故障。这一水平值，通常都是人为规定的，不是产品本身固有的特性。因此，对于这些功能失效也都应该用模糊可靠性进行计算。,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,机械强度可靠性的近似计算,在机械强度的可靠性设计中，强度条件为“应力小于极限应力”。应力和极限应力都是随机变量，具有相应的概率分布，因此应该采用普通的可靠性设计方法进行计算。但当应力或强度的概率分布不知道时，可以用模糊可靠性来近似进行计算。由应力-强度干涉模型求可靠

17、度的计算公式知可靠度,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,式中,可以看成是戒上型的隶属函数；,可以看成是戒下型的隶属函数。,或应力的概率密度,可采用模糊统计的方法确定其相应的隶属函数，然后进行模糊可靠度的计算，以近似代替普通的可靠度计算,当强度的概率密度,无法获得时，,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,计算举例,例6-1某型号花键，工作温度为120，用JP-5号油润滑的条件下不同工作时间时磨损量的数据列于表6-1中。试求不同时间时磨损的模糊可靠度,磨损量,上界,下界,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,解由表中数据按最小二乘法分别对上界及下界进行拟合计算得方程,设在某一工作时间的磨损量服从正态分布

18、，按“,得正态分布的均值和标准差为,”原则,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,目前，在磨损的可靠性设计中有两种方法：,(1)在指定的某一工作时间，按给定的许用磨损量（定值或具有一定的分布）和实际磨损量，利用磨损量的应力-强度干涉模型进行磨损的可靠性计算,(2)在达到许用磨损量（定值）时，按给定的工作时间（定值或具有一定的分布）和达到许用磨损量时的时间，利用时间的应力-强度干涉模型进行磨损的可靠性计算,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,在这两种磨损的可靠性设计方法中，都必须规定许用磨损量。如前所述，许用磨损量是人为给定的，其概念本身是模糊的。因此，在磨损的可靠性设计中应使用模糊数学的方法,为了说

19、明计算方法，按三种不同的隶属函数进行计算。设降半矩形隶属函数的分布参数a=0.225mm；降半梯形隶属函数的分布参数a1=a=0.225mm，a2=0.23mm；降半正态分布的分布参数,mm，,实际计算时可用模糊统计的方法确定分布参数,6.4模糊可靠度的应用及计算举例,计算结果列于表6-2中。由表6-2可以看出，用降半矩形隶属函数时（这种情况即为普通的可靠度）模糊可靠度比用其它两种隶属函数时的可靠度小；采用降半梯形比降半正态隶属函数时模糊可靠度的计算值小,6.5最大应力和最小强度组合的模糊可靠度,有些文献将模糊概念用于机械强度准则中，即认为应力小于许用应力的许用应力是一个模糊概念。但就强度准则

20、而言，其实质是应力小于极限应力时零件就不会破坏。许用应力只是以往用确定值计算时，为了更安全而采用的。应力和极限应力实际上是随机变量，可以通过试验确定其概率分布，用概率理论计算零件的可靠度，或用模糊事件的概率方法求零件近似的可靠度,6.5最大应力和最小强度组合的模糊可靠度,在机械可靠性设计中，以应力-强度干涉模型计算可靠度是最基本的模型。它是以常规的机械强度理论为基础，将设计中的变量（应力和强度）作为随机变量来处理，可以定量给出零件的可靠度。这是一种比较符合实际的设计方法，理论也比较成熟。但是这种设计方法要求已知设计中每一个设计变量的概率分布。为了获得它们的精确分布，需要花费大量的人力、物力和财

21、力，尤其对新设计的产品更是困难，因为待设计的产品还没有实物，故无法获得。为此，本节拟从另一个角度出发重新定义零件的可靠度，即模糊可靠度,6.5最大应力和最小强度组合的模糊可靠度,张骏华121提出了最大应力和最小强度的概念。他指出：传统的强度分析就是用最小强度和最大应力。例如，机械设计手册中给出的强度极限,和屈服极限,的是不小于表中值）。同样，对于工作载荷、工作应力也不可能为无限大。因此，为了充分使用机械设计手册中的强度数据，又适用于新设计的产品，这里定义强度准则为“最小强度大于最大应力”。由此认为应力有最大值、强度有最小值。最大值和最小值用模糊统计的方法确定,常常是最小值（给出,6.5最大应力

22、和最小强度组合的模糊可靠度,现在，用模糊子集来定义最大应力和最小强度（极限应力）,设论域为应力,，则最大工作应力为论域上的一个模糊子集,，隶属函数为,；最小极限应力也为论域上的,，隶属函数为,模糊可靠度定义为,一个模糊子集,若最大应力的上限小于最小极限应力的下限，则此时可靠度等于1,6.5最大应力和最小强度组合的模糊可靠度,一般情况下，最大应力和最小极限应力的隶属函数取值区间如图所示。在这种情况下如何计算式(6-31)给出的模糊可靠度，现在模糊数学的有关文献中都没有给出计算方法,这里借用概率的应力-强度干涉模型理论来求解这种模糊可靠度的问题。由于隶属函数并不符合概率密度的条件，所以应对隶属函数进行修正，即将隶属函数归一化得,式中，,满足概率密度的三个条件，,的积分在整个取值区间,6.5最大应力和最小强度组合的模糊可靠度,仔细推敲