结构力学第7章d.ppt

1、7.8利用对称性简化计算,1未知力分组,对称结构：指结构的几何形状、支承情况、杆件的截面尺寸及材料性质均关于某一轴线对称的结构。如：,利用结构的对称性，可简化力法的计算，在本节中将讨论如何利用结构的对称性，达到简化计算的目的。,对称的结构，选取对称的基本结构进行计算时，常可使计算得到简化。例如例2中,但是，在计算多跨对称结构时，选取对称的基本结构时，但多余力相对于结构的对称轴而言，不一定是正对称或反对称的，这样有关的副系数便不一定为零。如：,其力法典型方程为,容易发现，副系数ij0(ij),此时，可采用未知力分组的方法，做变量代换：,(a),即,如图(a)所示，这样把未知力分成正对称的X1、X

2、3和反对称的X2、X4两组，把原来的求X1、X2、X3及X4的问题转换为求X1、X2、X3及X4的问题。其力法典型方程为,(b),求解系数的单位荷载作用下的弯矩图形状如下,由图(be)可知,(d),整理可得,因此，做变量代换后，一组只含有正对称未知量，另一组只含有反对称未知量，使得原来的四阶代数方程组分解为两个二阶的代数方程组，计算工作得以简化。,除了未知力分组外，还可将荷载分组，仍以上面的刚架为例。原结构的荷载可分为图(f)和(g)两种情况的叠加,=,+,选取对称的基本结构，并把未知力分组,首先来分析正对称荷载部分,2荷载分组,首先来分析正对称荷载部分，采用未知量分组的方法，基本结构如图(h

3、)所示。,根据前面的分析结果有,正对称未知量:,(f),反对称未知量:,(g),因此必有X2=X4=0，即此时反对称的未知力全为零。根据以上分析，可得如下结论,对称结构在正对称的荷载作用下，其反对称的未知力必等于零，只需计算正对称的未知量，这一结论具有普遍意义。,再来分析反对称部分，同样采用未知量分组的方法，基本结构如图(i)所示,根据前面的分析结果有,正对称未知量:,(h),反对称未知量:,(i),不难得出如下结论,对称结构在反对称的荷载作用下，其正对称的未知力必等于零，只需计算反对称的未知量，这一结论具有普遍意义。,采用荷载分组的方法，同样可以把原来的四阶代数方程组分解为两个二阶的代数方程

4、组，达到简化计算的目的。,例8如图示结构，利用对称性作M图。已知：EI为常数。,解：,荷载分解为正对称与反对称两组后如图(a)、(b)所示。,对于正对称荷载部分,力法典型方程为,求系数,把系数代入典型方程整理得,解之得,对于反对称荷载部分,力法典型方程为,求系数,把系数代入典型方程整理得,解之得,最终结果为,M图为,结束语,3半刚架法,1未知力分组2荷载分组,根据上述对称结构的受力和变形分析，可进一步截出半边结构进行计算。,(1)对称结构受正对称荷载作用,(1-1)当结构为奇数跨时（1，3，5跨）,变形特点:,受力特点:,变形对称，B截面的水平位移为零，转角为零。,M、FN图是对称的，FQ图是

5、反对称的，B截面的剪力为零。,(1-2)当结构为偶数跨时（2，4，6跨）,变形特点：,受力特点：,变形对称，BC段任一截面的水平及垂直位移(因不考虑轴向变形)为零，转角为零。,M、FN图是对称的，FQ图是反对称的，BC段的剪力、弯矩为零，仅有轴力。,或：BC杆的抗弯刚度一分为二后，变为奇数跨，利用前面奇数跨的结论,(2)对称结构受反对称荷载作用,(2-1)当结构为奇数跨时（1，3，5跨）,变形特点：,受力特点：,变形反对称的，B截面的垂直位移为零。,M、FN图是反对称的，FQ图是正对称的，B截面的M、FN为零。,(2-2)当结构为偶数跨时（2，4，6跨）,BC杆的抗弯刚度一分为二后，变为奇数跨

6、，利用前面奇数跨的结论,按上述方法取半边结构后，解超静定结构，作出内力图，然后再按对称性作出另一半结构的内力图。象这样用半边刚架的计算简图来替代原刚架进行分析的方法称为半刚架法。,例9如图示结构，利用对称性作M图。已知：EI为常数。,解：,荷载分组后如图(b)、(c)所示。,仅需考虑反对称荷载部分即可。因为，对称结构受图(b)所示正对称荷载作用时，在不考虑杆的轴向变形情况下，容易证明，结构仅两横梁存在轴向压力，无弯矩。,=,+,二元体,反对称荷载部分:,力法典型方程为,M图如图(g)所示。,右半反对称,例10如图所示结构，作M图。已知：EI为常数，弹性模量E=2.0107kPa，=1.010-

7、5，杆为矩形截面，其高h=60cm，宽b=40cm。,解：,利用对称性，取半边结构如图(b)所示,基本结构如图(c)所示。,力法典型方程为,M图如图(d)所示。,FN图如图(e)所示。,例11如图(a)所示弹性支座上的连续梁，作M图。已知：梁的EI为常数，弹簧的刚度系数,解：,利用对称性，取半边结构如图(b)所示,基本结构如图(c)所示。,力法典型方程为,，,弹簧降低了最大负弯矩值。,M图如图(d)所示。,讨论：若使中跨的最大正弯矩与负弯矩相等，弹簧的刚度kN=?,根据题意，应有,解之得,7.9超静定结构的特性,与静定结构相比，超静定结构具有下列特性,(1)在静定结构中只有荷载能引起内力。而在超静定结构中，任何因素（包括：荷载、温度变化、支座位移、制造误差、材料伸缩等）都可能引起内力。,但此类杆伸缩不会产生内力,(2)静定结构的内力只需按静力平衡条件确定，其值与结构的材料性质、截面尺寸无关。而超静定结构的内力，除考虑静力平衡条件外，还需考虑结构的变形条件，其内力值与结构的材料性质、截面尺寸有关。,在什么情况下，形式上无关？当各杆的EI成比例时，形式上无关。,(3)超静定结构在多余约束被破坏后，仍能维持几何不变性，而静定结构在任一约束被破坏后，即变为几何可