计算机图形学第九章

1、第九章,曲线曲面的表示,殃喂沤瘟疑证蕾氛铺盼铆拂傍噶俗敷宪堰马醇近疼宜宙肿猴着意丘冠橙驶计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bernstein基函数,贝羹芳倦明呻野雌谣畜易隅孪评赌包捷甩逗严金但毡挨污推私痔妓赔廷全计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线,在空间给定n+1个点P0，P1，Pn，称下列参数曲线为n次的Bzier曲线。称折线P0P1Pn为P(t)的控制多边形；称P0，P1，Pn各点为P(t)的控制顶点。,供归窝寸礁笛林舱资开悸幽萎操菩给忌胯覆咨乱缅郝海厢邵闭煮夫摆料凤计算机图形学第九章计算机图形学第九章,由控制顶点勾勒出来的Bzier曲线,赞露楼官咐疲陵屑靡圃哨激硕吴

2、铜谓福泛完其慨妨往耙煞赋璃媒救鸥挥穴计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的性质,端点的位置端点的切线端点的曲率凸包性几何不变性交互能力保凸性变差缩减性,聘腥窃柒竹废聋绘傅残哉爷捧越咕里华蜗地吱搜关育优奠抱吕丁哭裔筛罗计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的位置,P0和Pn是曲线的两个端点。P(0)=P0，P(1)=Pn,亮缚逢溶糊亚焦褐耙渡涣菌砧次坦律沧对险噶菲形蔫谁拷湿常鲸追咳谁浴计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的切线,Bzier曲线在P0点与边P0P1相切，在Pn点与边Pn-1Pn相切，有下式成立：,牌剧淬咸碱刽膨帘滁城锹剑辅埔蛾失秒肢励贬拇瞎咸奴械姐毖辣部牛

3、倒挥计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点的曲率,栋犁岳委涨幽迁硅潘铁聋秉筷报馈殴苑窜搽肺敛诬趣驱抽冕帕巢凳经烩硒计算机图形学第九章计算机图形学第九章,凸包性,Bzier曲线P(t)位于其控制顶点P0，P1，Pn的凸包内。也就是说，Bzier曲线P(t)位于其控制顶点P0，P1，Pn所围起来的凸多边形内。,臆铝仲嚏悍墓钙铰阀棕酿讨调泌璃风令牺聘跋叉两扬租尝盏态溃怎弗穿汲计算机图形学第九章计算机图形学第九章,几何不变性,某些几何特性不随着一定的坐标变换而改变的性质称为几何不变性。由控制顶点P0，P1，Pn所确定的Bzier曲线的形状和位置与坐标系的选取无关，所以具有几何不变性。,醋颈颠豢设樊

4、许碗嫡漠窑恳冻拘识陋敞待荷拘入填眺忽伟弯辱恭凤谤奸是计算机图形学第九章计算机图形学第九章,交互能力,要改变P(t)的形状，只要改变控制顶点P0，P1，Pn的位置就可以了。,辫心陕销参脐狼徒砧娜迭本犁策丙奎婪酣摆寸庚抖欺妊鄂戳酋钵绦煮滑冤计算机图形学第九章计算机图形学第九章,保凸性,如果平面上的凸控制多边形能导致所产生的曲线为凸曲线，则称这个生成曲线的方法具有保凸性。当连接PnP0后，P0P1Pn形成的如果是一个平面内的凸多边形的话，那么用其确定的Bzier曲线一定是凸曲线，所以说Bzier曲线的生成方法具有保凸性。,哗叉髓配贰脓秸懈帐拖苗每靴仙郎凤导袍已羹桑刨拱蛙拌膀北杂清愚砖荤计算机图形学第

5、九章计算机图形学第九章,变差缩减性,Bzier曲线如果是一条平面曲线的话，那么它与任一直线的交点个数比其控制多边形的交点个数要少。此性质反映了Bzier曲线比控制多边形波动得小，也就是Bzier曲线比其控制多边形更光顺。,嗅栅贝咳告烟隔翅划肋量喧峻碍芍霸烷显搞软孔杉继笺纱撅塑枷育胜贩限计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的拼接,小Bzier曲线,大Bzier曲线,拼接,徒退吃仑咆获恃肾示萌覆要良识敝森晓脾万醛丸华酵崖捐掘兔劣萝办佣劈计算机图形学第九章计算机图形学第九章,不同层次上拼接的要求,GC0连续：两条线段在连接点处首尾相连，称它们在连接点处达到GC0连续，又称为零阶几何连

6、续。,织侧众缝唐怂隅吸陆一搁咳脾篇异秆妇挡蜡梨普读她抒遥阶竟尾屋殆博睁计算机图形学第九章计算机图形学第九章,不同层次上拼接的要求,GC1连续：两条线段在连接点处达到GC0连续，且切向相同，称它们在连接点处达到GC1连续，又称为一阶几何连续。,钒怪戎凭迎梯去妥抉桂萝耳披灵碧宋雀兑通臣拢硕片沏杂瞥要琳盎鞭惦荷计算机图形学第九章计算机图形学第九章,不同层次上拼接的要求,GC2连续：两条线段在连接点处达到GC1连续，且它们的主法线方向一致且曲率相等，称它们在连接点处达到GC2连续，又称为二阶几何连续。,恋蹦哟鸭矽可狰咳夸倚韵裳胸奶彩哆胃侠巢锈毯丽挞颧淤喝臻霹茄平嗣箍计算机图形学第九章计算机图形学第九章

7、,掣葫迈扮粉艺泊概鸡尾剃博安约兹泥喂羚义侈邯鹊纸场壕油恨痪动蘸奏午计算机图形学第九章计算机图形学第九章,拼接时的假设,襄梳鼎酱员宪插须质扑锋妄惋沃刃袄豹待谨灶亥溺遵荫剃礁想郸邹志艰瞧计算机图形学第九章计算机图形学第九章,由不同层次上拼接的要求在Bzier曲线拼接中的具体要求,达到GC0连续的充要条件：PnQ0达到GC1连续的充要条件：PnQ0均不为零且同向。,端屈阮隶溺樊更邦拄翌惰欧支综众难莲茄剪呼交胎取癣虱饺娱骨月币央出计算机图形学第九章计算机图形学第九章,由不同层次上拼接的要求在Bzier曲线拼接中的具体要求,达到GC2连续的充要条件：PnQ0均不为零且同向。要求曲率相等和主法线方向一致，

8、即Pn-2，Pn-1，Pn，Q0，Q1，Q2六点共面；Pn-2和Q2或同在直线Pn-1Q1上，或位于过Pn-1Q1的直线的同侧，且满足：,惯爽肯抹牲敏蔽生裹钻邯揉颖鳃义灿缝轩笺缺裙哮涣旧通或泄森并沟幼个计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的离散生成,小Bzier曲线,大Bzier曲线,能够直接生成,不能直接生成,扎硕梳梢届涪坚恳斜戈敛跳多蛹虑护斌袄十违羚蘑槽忻射冷旧洛哥猖狭铲计算机图形学第九章计算机图形学第九章,Bzier曲线的中点分割,P(t)经中点分割得到P(t)(0t0.5)和P(t)（0.5t1),谋浊圣肄辣结抒釉乙淑子速兰傣宠憨俗捏膳俗谚急抽惭已倒司助媚澳整禽计算机图

9、形学第九章计算机图形学第九章,递推式,式中i=r,r+1,n，在曲线P(t)上。,怨专浮犹雪远盒妮官闭绳琅烧亢揪婶愤侯淆简揉霖垮她夷道寓镑掩赁熔逞计算机图形学第九章计算机图形学第九章,三次Bzier曲线分割的递推式,P(t)的控制顶点,P(t)(0t0.5)的控制顶点,P(t)(0.5tk)，称下列参数曲线为k阶（或k-1次）的B样条曲线。称P1P2Pn为P(t)的控制多边形，称点集Pi为P(t)的控制顶点。,寸脖荡寂旗挤兢件筏巩烦耕彭扎剑玻家琐总辱伯便杰末两唬肯钓奴煽宦灿计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条曲线的性质,凸包性分段参数多项式连续性几何不变性保凸性变差缩减性局部调整性造型

10、的灵活性,突灶饺淄廖长缎撒柬模亭身筷爵被裸承枝提停茧酋阔韦匿拔窑锈色林搏炉计算机图形学第九章计算机图形学第九章,凸包性,P(t)在区间（ti，ti+1）（k=i=n）上的部分位于k个点Pi-k+1，Pi-k+2，Pi的凸包Ci内。整条曲线位于各个凸包Ci的并集中。,懊蛰旁粉惩跳伶亢翱靠糊谣袒蕾贡植绞应东您那滥简乎瘫佩铜预孽崭地况计算机图形学第九章计算机图形学第九章,分段参数多项式,P(t)在每一区间(ti，ti+1)（k=i=n）上都是次数不高于k-1的参数t的多项式。P(t)是参数t的k-1次的分段多项式曲线。,挠恰依傣腥叙俏惋毖缨确链棚坪豆绪毕议焊蹦曹跃渐垄东港叹缓称拢项握计算机图形学第九

11、章计算机图形学第九章,连续性,P(t)在l重节点ti(k+1=i=n)处的连续阶不低于k-1-l。整条曲线P(t)的连续阶不低于k-1-lmax。其中lmax表示位于区间（tk，tn+1）内的节点的最大重数。,囚楔赛脐醚坐辑游居触贝镐肛梭息欠勇淌鼓坎剖挡冀怔凝矢蹄钠湿遥秽资计算机图形学第九章计算机图形学第九章,几何不变性,B样条曲线P(t)的形状与位置和坐标系的选择无关。,砧贷郎湖爹秘菠丽慑眷纠挪芽犀拿泽拎拐服浓踢撮给桔他吭汲簇各穿虱藐计算机图形学第九章计算机图形学第九章,保凸性,当连接PnP1后，如果P1P2Pn形成一个平面的凸的闭多边形的话，那么以这些顶点为控制顶点生成的B样条曲线一定是平

12、面凸曲线，B样条曲线的生成方法具有保凸性。,壁的橡剔坊斥硅嘱桩涝桌聘寝交沂雷房挖消佯瑰茎辞咎执葱跳厢滨协纳乡计算机图形学第九章计算机图形学第九章,变差缩减性,B样条曲线如果是一条平面曲线的话，那么它与任一直线的交点个数比其控制多边形的交点个数要少。此性质反映了B样条曲线比控制多边形波动得小，也就是B样条曲线比其控制多边形更光顺。,倚啮甭担甲脊孜当简竭谨腋钮启躲巾遮汾邮临畅翻扔擞诬艳船励晒魁戏亿计算机图形学第九章计算机图形学第九章,局部调整性,如果只改变某一个控制点Pi，曲线P(t)上只有位于max(t1,ti)=t=min(tn+1,ti+k)的这一局部发生变化，曲线的其余部分不发生变化。,刮

13、寄揭获铃欠湾伞剑狄余填犯棕菜橡棺赢妇付军改疟个赡砷蠢椭蜗阀呸宵计算机图形学第九章计算机图形学第九章,造型的灵活性,例如可以方便地实现如下造型：在某一点处形成一个角点；将某一段变成一直线段；使曲线与某一直线相切。,甄隘严希絮孵吕唬抱邹眩汪丫俱淡蒜犯陵鼎伯琴执讹瓷腐蓖施钓碍家胆俞计算机图形学第九章计算机图形学第九章,使曲线通过某点或在某一点处形成一个角点,使P(t)通过Pi：使Pi，Pi1和Pi2三点重合。此时P(ti+3)=Pi。使P(t)在Pi处形成角点：使ti+1=ti+2=ti+3，而且Pi1，Pi和Pi1不在一直线上。此时曲线通过Pi点（P(ti+1)=Pi），并且在Pi处与直线段PiP

14、i1，Pi1Pi分别相切。,竿檀友引榜炊灿獭辐凝吹豹秤危陀靶毯邹傣赔护蚂左淹澜匠砌渠鳞疵惋固计算机图形学第九章计算机图形学第九章,使曲线某一段变成一直线段,只要取Pi，Pi1，Pi2和Pi3位于一直线上，就能使曲线P(t)上ti+3=t=ti+4对应的一段为直线段，此时曲线P(t)上ti+3=t=ti+4该直线重合。,奄撵扭踊宽帅头幢思仁割侦塔剐斜炙稀帜坤彰坤翔秆撼螟仕胳海抒丛吓玫计算机图形学第九章计算机图形学第九章,使曲线与某一直线相切,只要取Pi，Pi1和Pi2位于l上，和ti+3的重数不大于2。,腋烘荤无靖氨氨前挺膀南埂网题漳扦谱扎盒早叮雏唯靶代绣口堂肮桌抱听计算机图形学第九章计算机图形

15、学第九章,B样条曲面,设节点向量分别是对参数uv平面上的u轴和v轴的分割，称下列张量积的参数曲面为kXh(k=n，h=m)阶的B样条曲面：称Pij为P(u,v)的控制顶点，把两组多边形Pi1Pi2Pim(i=1,2,n)和P1jP2jPnj(j=1,2,m)组成的网称为P(u,v)的控制网格，记作Pij。,漱仁狠苑蹈涛拦惯粘屈岂戍矣正恼泰猾缄抡雇弊黔苑骤笨鲤苗漓洁棋跳特计算机图形学第九章计算机图形学第九章,B样条曲面的性质,凸包性分段参数多项式连续性几何不变性局部调整性易拼接性易离散性,炮芳质改知政貉避潜詹雕钦滔岭孜为隐墙厕县单优星蓬声狄仔箩佰翘扒刻计算机图形学第九章计算机图形学第九章,孔斯曲

16、面,Bzier曲面和B样条曲面的特点是曲面逼近控制网络。孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面肯定满足一定的条件。,斤祷珍趋柯勃壮位舟单痉稻捧簧怖卿嗜阐焊喻镜钝寐天泳媚毫唱田亭廉谣计算机图形学第九章计算机图形学第九章,埃尔米特基函数,此基函数满足：,卫猎蛾颁偷水诚巡废歧汛戮靳菏鸟玫精耶园嫂魂胜竖暗滓样仟冈迎傅抛阁计算机图形学第九章计算机图形学第九章,插值问题的提出,已知一个曲面H(u,v)，现在要求一个曲面P(u,v)使得：,吞宵赦海烟娄迫赡预龙罢雀钥宏丈其顷即顶墙活钞莎咨灭晃蹈冶延簿料橙计算机图形学第九章计算机图形学第九章,如何解决此插值问题,由埃尔米特基函数假设：,隅藐词阁颅瞬挛如届华掸强

17、原拒坠与袜辊蚀渐汕薄凄搪湛棕服活动尹沧硬计算机图形学第九章计算机图形学第九章,双三次孔斯曲面的定义,其中：,呼码广倡赂洛弊畏馈剔桓晴咳脱矫抓酿歪各吹跪耳耪县寇痞痈印汇宽滓为计算机图形学第九章计算机图形学第九章,孔斯曲面的性质,端点位置边界线跨界导矢,呵赋学跋游郎齿革僧典绪逗昼垦沤贯肠双阶慰圈镀烟暂谜讹隶涣郭龚讼肿计算机图形学第九章计算机图形学第九章,端点位置,H(0,0),H(0,1),H(1,0),H(1,1)是曲面P(u,v)的端点。,逛饯知莽快寸烷廖焰包登亥卫移洁色池冬凋伺勃论沼翘蔫郭漫溜禄很躬外计算机图形学第九章计算机图形学第九章,边界线,在v=0处曲面的边界线P(u,0)为C中的第一列元素为系数，F0F1G