应用统计学-经管类-第4章-概率

1、为什么要学习概率？,推断统计：利用一定的方法根据样本数据去估计总体的数量特征。基于样本数据的推断也是不确定的，一个样本很少给出它来自总体的的完美精确的叙述。因此，我们需要用概率对估计的不确定程度进行度量,1,本章主要内容：,第一节随机事件与概率第二节随机变量及其概率分布第三节随机向量及其分布简介,2,第一节随机事件与概率,一、随机试验与随机事件随机抽样原则-随机现象-随机试验试验：任何一个获得观测值的过程称之为一次试验（掷筛子）随机试验必须满足以下的性质：（1）每次试验的可能结果不是唯一的；（2）每次试验之前不能确定何种结果会出现（3）试验可在相同条件下重复进行。,在随机试验中，可能出现也可能

2、不出现的结果，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件是一个试验的基本结果，不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件也称样本点，设试验有n个基本事件，分别记为(i=1,2,，n)。集合=1,2,，n，称为样本空间，中的元素就是样本点。例：产品抽样检验，产品质量等级1、2、3、4、5=1,2,，5样本空间随机事件产品合格A=1,2,3,确定性现象，是指在一定的条件下，其结果能够明确预见的现象。我们把确定性现象的结果也看作一种特殊的随机事件：必然事件，用样本空间表示。还有一种特殊的随机事件：不可能事件；不可能事件

3、就是不可能出现的试验结果，用空集表示。“A发生或B发生”事件记为AB；把“A与B同时发生”事件记为AB，或AB。如果AB=，称A与B不相容。,二、随机事件的概率1.概率的定义概率又称机率，是对随机事件发生可能性的度量。如何理解概率？最直观的办法就是进行重复试验，通过试验的频率来体现概率。,频率试验结果,从频率到概率：进行n次试验，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着n不断增大，频率摆动浮动越来越小，则称p为事件A发生的概率,8,如果随机试验的样本空间是有限集合，所有样本点出现的可能性相同，则事件A的概率可根据以下公式计算：这样的概率计算模型，称为古典概型。,2.概率的基

4、本性质性质1：P(A)0；性质2：P()=1。性质1称为概率的非负性，性质2称为概率的规范性。性质3：若事件A与事件B互不相容，则：P(AB)=P(A)+P(B),3关于主观概率一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出的个人信念，这样给出的概率称为主观概率。如明年GDP增长幅度为8%自主观概率提出以来，使用者越来越多，特别是在经济领域和决策分析中，应用非常广泛，因为在那里遇到的随机现象大多是不能重复试验的，无法通过频率来确定概率主观概率建立在贝叶斯公式基础上，并通过经验数据进行不断修正,三、条件概率与事件独立（一）条件概率已知某一事件B已经发生，我们如何利用这项信息，求与事件B有联

5、系的事件A发生的概率，这时所求的概率称为条件概率。设A，B为任意两个事件，其中，在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记为。,缩减的样本空间,从条件概率公式我们可得到以下的“乘法定理”：,【例4-3】甲、乙两企业存在既竞争又合作的关系，知道甲企业一年中能推出新产品的概率是20%，乙企业一年中能推出新产品的概率是18%，两企业一年中都能推出新产品的概率是12%。若以A记“甲企业一年中推出新产品”，B记“乙企业一年中推出新产品”，则=0.20，=0.18，=0.12。试求：,2、事件的独立性,如果p(A/B)=p(A)对于事件A与B，若p(AB)=p(B)p(A)，则称它们是统计

6、独立的，简称相互独立。,四、全概率公式与贝叶斯公式,（一）全概率公式从简单事件概率推算复杂事件概率设事件A1，A2，An是样本空间的一个分割，即所有Ai两两互不相容，0，i=1，2，n。而且：，则有：这个公式称为全概率公式,乘法定理,【例4-5】某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的25%、35%、40%，其次品率分别是5%、4%、2%。从全厂产品中任取一件产品，该产品是次品的概率是多少？,（二）贝叶斯公式,在B事件已经发生的条件下，的大小问题在全概率公式的条件下，进一步设，则对任意的i=1，2，n，有：,【例4-6】为了提高某产品的质量，公司经理考虑增加投资改进生产

7、设备。但从投资效果看，有二种状况可能发生：A1：改进生产设备后，高质量产品可占90%；A2：改进生产设备后，高质量产品可占70%。按经理过去的经验，p(A1)=0.4，p(A2)=0.6；这是事前概率。经理为了慎重起见，做了一项小规模试验，试验结果是：改进设备生产五个产品，全是高质量的产品。试问该经理根据试验的结果，会不会改变原来的信念？,第二节随机变量及其概率分布,一、随机变量的含义随机变量就是其取值带有随机性的变量，在给定的条件下，这种变量取何值事先不能确定，只能由随机试验的结果来定，并且随试验的结果而变。随机变量离散型随机变量-随机变量的取值有限（掷筛子）连续型随机变量（大学生身高）,二

8、、离散型随机变量的概率分布,概率分布有以下性质：(1)0p(xi)1(i=1,2,)；(2)。,离散型随机变量X的期望值(平均值)为：方差为：,集中趋势,离散程度,贝努力试验（特殊的离散型变量）,只有两种结果的试验，A出现的概率为p,P(Bk)表示A事件出现的次数K是个随机变量,三、连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的密度函数有以下的性质：(1)p(x)0；(2)；(3),概率的几何意义,重要的连续型分布正态分布,正态分布是最重要的一种连续型随机变量分布，原因有三：第一，它是最常见的一种分布，许多随机变量服从或近似服从正态分布；第二，许多有用的分布可以由正态分布推导出来，如卡方分布、t分布

9、和F分布都可由正态分布导出；第三，正态分布在一定条件下，还是一些其他分布的近似分布，如大样本下的t分布与正态分布近似。,正态分布图形,正态分布的密度函数：,标准正态分布的密度函数,统计意义：将统计变量转化为标准正态随机变量Z，可使用标准正态分布表计算概率，注意其对称性,【例4-7】某企业年销售额服从均值为75万元、标准差为12万元的正态分布。那么某年该企业销售额在75万元到90万元之间的概率应为多少？,解：设X表示该企业的销售额，要计算的概率是P(75X90)。首先对X进行标准化：Z=将计算X的概率转化为计算Z的概率：P(75X90)=0.3944,正态分布常见对称区间概率,（1）-分布。设是

10、相互独立，且服从标准正态分布的随机变量，则称随机变量：所服从的分布为自由度为n的-分布。,（2）t-分布设X服从标准正态分布，Y服从自由度为n的卡方分布，且它们相互独立，则随机变量：所服从的分布是自由度为n的t-分布。一般当n大于或等于30时，t-分布与标准正态分布的差别已非常小，可用标准正态分布代替它。,（3）F-分布。设X和Y是相互独立的卡方分布，自由度分别是m和n，则称随机变量：所服从的分布为F-分布，（m，n）称为它的自由度。,第三节随机向量及其分布简介（略）,一、随机向量及其分布设为某一随机试验涉及的p个随机变量，称为p维随机列向量，（）为p维随机行向量；无论列向量还是横向量，都简称为p维随机向（变）量。,二、随机