二次函数根的分布#优推内容

1、总结二次方程式根的分布和二次函数在闭区间的最大值1、一次二次方程式根的分布情况假设方程的不均匀两条为，对应的二次函数为方程式的根据是二次函数图像和轴的交点，它们的分布如下表所示(与各种情况对应的是充分条件)。表1:(比较2根和0的大小，根的正负时)分布情况两根负根，即两根都小于0两个正根也就是两个都大于0正根和负根，也就是根小于0，一个大于0大致图像()得出结论大致图像()得出结论综合结论表2:(与2根的大小比较)分布情况两球都比马上小两球都比马上大根小，根大大概的图像得出结论大概的图像得出结论综合结论表3:(根在区间的分布)分布情况两球都在里面有两条，只有一条(图像有两种情况，只画了一种。)

2、把一根放在内侧，另一根放在内侧大致图像()得出结论或者大致图像()得出结论或者综合结论根的区间中的分布有时满足2根位于区间外、即区间的两侧(图形分别如下)的条件(1)的情况(2)的情况下面对上述根的分布表的几种特殊情况进行说明(1)有2条，且仅包括1条，有以下特殊情况：如果是这样的话，这个时刻不成立，但在这种情况下，知道方程式有一条和，能够再求出一条，接下来另一条在区间内，因此能够求出参数的值。 如果区间里有一个方程式，那么就再求一个有方程式且只有一个，该根在区间内，即，在这种情况下，求出参数的值，接着将参数的值代入方程式，求出相应的根，验证根是否在规定的区间内，如果不存在，则截断相应的参数。

3、 求得的值的范围，使得有方程式，一条在区间内。 分析：马上得到马上，或者，那时，根据分析，问题的意义可以满足当时根据分析，问题的意义不满足以上条件。根的分布练习题例1、已知的二次方程式有正根和负根，求实数的取法。解：即，在被求的范围内。例2、已知方程有两个不等实根，求实数取值的范围。解：由或者在要求的范围内。例3、已知的二次函数和轴有两个交点，一个大于1且小于1，求出实数的可能范围。解：那是要求的范围。例4、已知的二次方程式只有一个正根，该根小于1，求实数的可能范围。解：从问题的意思来看，方程式在区间中只有一个正根的话，就是求出的范围。 (注：有可能出现的特殊情况方程式，而且只有一根，如果还包

4、含该根，通过计算验证，问题的意义不复合，计算量有点大)。1 .对于二次函数和图像，一次函数y=ax2 bx c(a0 )，判别式=b2-4ac，0时，y=f当0时，y=f(x )图像和x轴交点为x10，=0，a00时，可以容易地知道绝对不等式f(x)0解为x-r .在a0的情况下，绝对不等式f(x)0)，方程式ax2 bx x=0的根为，()，m，n为常数，且nm，则方程式的根的分布有以下两种情况、同时存在的区间中，不仅要考虑端点函数值的符号，还需要考虑三、好的问题给你(1)预习问题1 .一次二次函数y=2x2-8x 1.试问在x- 3，4 的情况下，随着x变大，y的值变大还是变小？y=f(x

5、 )在 3，4 中的最大值和最小值分别是什么？解：经方有y=2(x-2)2-7 对称轴x=2，区间 3，4 在对称轴的右侧由于y=f(x )在 3，4 上随着x变大，y的值也变大，所以ymax=f(4)=1. ymin=f(3)=-5 .2 .有一次二次函数y=2x2-4ax 2a2 3。 这个函数的对称轴是什么？在x- 3，4 的情况下，随着x变大，y的值变大还是变小？ 和a的值有什么关系？由此，求出y=f(x )在 3，4 上的最大值和最小值.解：经方为y=2(x-a)2 3 .对称轴为x=a在a3的情况下，区间 3，4 位于对称轴的右侧，因此在x- 3，4 的情况下，随着x变大，y的值也

6、变大.在3a4的情况下，对称轴x=a处于区间 3，4 内，在此情况下，如果3xa，y的值随着x的增大而变小，但是如果ax4，y的值随着x的增大而变大.在4a的情况下，区间 3，4 位于对称轴的左边，因此在x- 3，4 的情况下，随着x变大，y的值反而变小.根据以上的分析可知，在a3的情况下，ymax=f (4)=2a2-16a 35.ymin=f (3)=2a2-12a 21 .在3a4的情况下，ymin=f(a)=3.但是，在a3.5的情况下，ymax=f(4)=2a2-16a 35 .在a3.5的情况下，ymax=f(3)=2a2-12a21.a4的情况下，ymax=f (3)=2a2-1

7、2a 21.ymin=f (4)=2a2-16a 35。(1) (2)基础问题例1 .一次二次方程式x2 2(m-1)x (m 2)=0.试问：(1)m为什么取值，有正根和负根.(3)m为什么取值，有两个正根，(4)m为什么取值，有两个负根.(5)m为什么有值，只有一条在 1，4 内？解： (1)设方程式的正根x2、负根x1，明显是x1、x20，根据违反定理，m 20 m-2 .反省审查：在x1、x20的条件下，因为ac0如果(x11，则x1-10只要求(x1-1)(x2-1)0，即x1x2-(x1 x2) 10.根据韦德定理，(m 2) 2(m-1) 10，x20，则x1 x20且x1，x2

8、0，因此必须满足条件根据韦尔德定理(5)从图像可知，方程式f(x)=0只是在 3，4 内实根条件为f(3)f(4)0“九六(m-1 ) (m2)”“十六八(m-1 ) (m2)”。(7m 1)(9m 10)0。m为什么取值，方程式有两个负根吗？解：负根首先是实数根，8756； 从根与系数的关系：要使方程式的两实数根为负，必须使两条之和为负两条积是正的。 如上分析，有也就是说当时，原方程式有两个负根(3)应用问题例1. m取什么实数值时，关于x的方程式x2 (m-2)x 5-m=0的两个实根都大于2吗？解：设f(x)=x2 (m-2)x 5-m，则像原来的方程式一样，两个实根都大于2因此，在-5

9、m-4时，方程式的两个实根大于2对于例2.x方程式已知： x2-2ax a=0具有两个实根，且满足02，求出实根a的可取范围.解：若设f(x)=x2-2ax a，则方程式f(x)=0的两个根，是抛物线y=f(x )和x轴的两个交点的横轴，图02的条件是2。例3.m为实数时，关于x的方程式x2 (m-2)x 5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2解：若设f(x)=x2 (m-2)x 5-m，则如图所示，原方程式一个实根大于2，另一个实根小于2的充分条件是f(2)0，即，4 2(m-2) 5-m0.m-5 .因此，m-5的(2) (4)提高问题例1 .已知函数的所有图像都在x轴上，求出实数k

10、的值的范围解：在(1)的情况下，给定的函数是二次函数，图像满足如下也就是说(2)当时如果是这样的话，并不是所有的图像都在x轴上由此，y=3的图像全部在x轴上从(1)(2)获得反省回顾：这个问题没有说明所给的函数是二次函数，所以必须按情况进行讨论已知与x有关的式(m-1)x2-2mx m2 m-6=0具有两个实数，且满足01，求出实数m的取值范围.解：设f(x)=x2-2mx m2 m-6，方程式f(x)=0的两根根，是抛物线y=f(x )和x轴的两个交点的横轴.如图所示，01的条件是能解开已知对于例3.x的方程式3x2-5x a=0，有两个实数，满足条件- 2，0，- (1，3 )，求出实数a

11、的可取范围.解：设f(x)=3x2-5x a，根据图像的特征，式f(x)=0的两条、，还有- (-2，0，0 )、- (1，3，3 )的-12a0.四、放学后演武场1 .已知方程式(m-1)x2 3x-1=0两条都为正，m的可取范围为(b )。PS PS PS2 .方程式x2 (m2-1)x (m-2)=0的一个根大于1，另一个根小于-1时，m的能取的范围为(c )。a.0 m 2b.-3m 1c.-2m 0d.-1m 13 .如果已知方程式具有两个不同的实数根，则k的可能值的范围为(c )。甲乙PS已知关于x的方程式3x2 (m-5)x 7=0中的一个根大于4且另一个根小于4，以确定实数m的

12、可能范围可知方程式f(x)=0的一条大于4、另一条小于4的充分条件是f(4)0.5 .已知x的方程式x2 2mx 2m 3=0的两个不等根都在区间(0，2 )内，并求出实数m的可能范围方程式f(x)=0这两条都是(0，2 )内的满足条件2 .二次函数在闭区间的最大最小值问题探讨于是，二次函数的闭区间中的最大最小值分布如下也就是说图像最大最小值如果开口朝下，请研究同样的问题。 实际上，无论嘴朝上还是朝下，只有以下两个结论(1)如果是这样的话(2)如果是的话如果二次函数的开口向上，则参数的取值越远离对称轴，对应的函数值越大。相反，如果二次函数的开口向下，则参数的取值越远离对称轴，对应的函数值越小。在闭区间练习二次函数的最大值二次函数在闭区间求出最大值只是从开口方向、对称轴、闭区间三个侧面开始，下面的三个例题分别表示一个状况。 例1，函数有最大值5和最小值2，求出的值。解：因为是对称轴，所以函数在区间上很单调。(1)当时，因为函数是区间性增加函数(2)当时，因为函数在区间上是减法函数例2 .求函数的最小值。解：对称轴(1)当时； (2)当时；(3)当时变更：1.本问题修正函数的最大值后，过程会