数学建模流水问题的实验报告

1、.数学建模实验报告-流水问题1 .问题的说明3个横截面积为常数a，高度分别为H1、H2、H3的池子里充满了水，从池底第一的横截面积为b的小孔中放水。 设水从节流孔流出的速度为v(i)=sqrt(2*g*h(i ) )，求出水流变空为止的时间。2 .前提条件1 .假设在极短的时间间隔dt内，三个浴缸的高度变化率和三个排水口的排水率是一定的。2 .排水速度只与池塘的高度有关。3 .排水口的高度在池子的最低处，不会发生因水位比排水口低而无法排水的现象。3 .问题分析把这个问题抽象为数学问题：求出初始值分别为H1、H2、H3的函数H1、H2、H3随时间变化的函数，以及他们变为0所需的时间(设池1、2、

2、3的流出速度为v1、v2、v3 )。 通过哪个池内的水量在时间微单元内的减少量等于流出量减去流入量，可以得到以下关系一个浴缸。两个池塘。 两侧取了界限-dh2*A=ds2*B- dh1*A。 注意|dh1*A|=|ds1*B|，如果除以dt，则可以简化取入(-dh2/dt)*A=(v2-v1)*B、v1的函数式，代入h1的式，则可以得到如下的常微分方程式。 这是非线性常微分方程式，很难得到解析解(并非不能求得，可以用未定系数法等求解，但在此求解解并不是建模的要点。 由于即使h2中存在解析解，h3也不一定存在，所以求排水时间图，更重要的是求近似解)，这里使用计算方法的几个数值计算方法求h2和t2

3、、v2的近似解。浴缸3 :根据这个递归式可以得到以下微分方程式：可以用欧拉法求近似解。4 .解决问题关于h1，本给出了解法，关于用一个微分方程式解，在此不作论述。 在代码中，使用阵列arrayt记录时间，使用阵列h1记录水位的高度，并画画。此部分中的Matlab代码如下A=2；B=1；H=10；g=10；h=H；temp=0；t=0；tf=0i=1；h1=；h2=；h3=；temp=；tempt=；arrayt=；阵列T2= ；阵列T3= ；sqrtH=sqrt(H )h1=h1，H；arrayt=arrayt，t；while (h0)t=t 0.01；arrayt=arrayt，t；h=sq

4、rt(H)-(B/2/A)*(sqrt(2*g )*t )h1=h1，h*h；结束关于h2，我们得到了递归式，得到了常微分方程式，所以本来可以直接解，但是因为这个方程式是不可解的类，所以只求近似解。 因为第二步的数值会影响后续的浴槽，所以选择了高精度的Runge-Kutta法(longer-kutta法，以下简称RK法，具体的方法参照数值计算方法第六章)。 其原理是一种改进的欧拉法，将x的区间分成几个小的间隔逐步应用欧拉法，在matlab中给出了实现可变步长Runge-Kutta法的函数t y=ODE45(odefun，tspan，y0)，其中，t，y Runge-Kutta法是近似解法，因为

5、只有局部区间收敛，出现了虚解和负解，因为解h3需要h2的解，所以筛选得到的解，只留下非负的实数解。此部分中的Matlab代码如下funt.M :函数y=函数(t，x )A=2； B=1； g=10； H=10；if(x0 )x=0结束y=-1 * b/a * (sqrt (2* g * x )-sqrt (2* g * h ) b/a * g * t )结束可变步骤Runge-Kutta法的实现：tf=2*t；临时、临时=节点45 (函数、0、TF、h )解的过滤器：i=1；while (临时(I )0)阵列T2=阵列T2，时间(I ) ；h2=h2，暂停(I ) ；i=i 1；结束关于h3，浴槽3: -Dh3*A=Ds3*B- Dh2*A，递归式可以得到以下微分式只有三步，得到的h2点是离散的，所以Runge-Kutta法很难使用。 在此，使用简单的欧拉法(欧拉法，具体的方法参照数值计算方法第6章)进行了数值计算。 通过该方法可以获得与h3数值解，即，h