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文档简介
1、一 （本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，与分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式，。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有对右边的质量块，有在位移足够小的条件下，近似写成： 即（2）定义状态变量，则或写成二（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为，其中。若时，状态响应为；时，状态响应为。试求当时的状态响应。【解答】系统的状态
2、转移矩阵为，根据题意有合并得求得状态转移矩阵为当时的状态响应为三（本题满分10分）已知某系统的方块图如下，回答下列问题：（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数的取值范围。【解答】（1）系统的状态空间表达式为（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数且。四（本题满分10分）离散系统的状态方程为（1）是否存在一个有限控制序列，使得系统由已知的初始状态，转移到，？试给出判断依据和判断过程。（2）若存在，求的最小值及控制序列。【解答】（1）由题意，由系统能控性的定义可知：存在有限控制序列，使得在有限时间内由状态初值转移到零。（2）由系统状态完全能
3、控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的，使得，即的最小值为1。 根据状态方程进行递推如下：，由上面最后一步可得即即，。五（本题满分10分）对下列系统试设计一个状态反馈控制器，满足以下要求：闭环系统的阻尼系数；阶跃响应的峰值时间等于3.14秒。【解答】假设状态反馈控制律为，代入状态方程得闭环系统闭环特征多项式为根据题意的要求，期望特征多项式为根据多项式恒等的条件可得：解得状态反馈控制律为。六（本题满分10分）设系统的状态空间表达式为若该系统的状态不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为，要求写出降维观测器动态方程，并写出状态的估计方程。【解答】将状态空间表达式写成：进一步写成设降维观测器方程为引入中间变量，两边求导数得根据题意，降维观测器的极点为-10，即，解得。 最终得到降维观测器的动态方程为状态估计的表达式为。七. （本题满分10分）证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变。【证明】设原线性系统为其传递函数矩阵为 设线性变换为，变换后的线性系统为该系统的传递函数矩阵为显然，即其传递函数（矩阵）保持不变。 证毕八. （本题满分10分）某2阶非线性系统的状态方程为，证明该系统在坐标原点处渐近稳定。【证明】取李雅普诺夫函数，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数
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