11 等边三角形教师初一培优

1、 1 / 6 第十一讲 等边三角形 一、定义 “等边三角形”也被称为“正三角形”； 等边三角形的性质： 1) 等边三角形的三条边相等； 2) 等边三角形的三个内角都等于 60. 二、判定 如果一个三角形满足下列任意一条，则它必必为等边三角形： 1. 三边长度相等； 2. 三个内角度数均为 60 度； 3. 一个内角为 60 度的等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）. 三、性质 1等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为 60 . 2等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一） 3等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的

2、平分线所在的所在的 直线直线. 4等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高). 5等边三角形拥有等腰三角形的一切性质. C A B 三线合一 2 / 6 【例题1】（1）等边三角形 是 轴对称图形， 不是 中心对称图形. （填“是”或“不是” ） （2）等边三角形 ABC 中，A的角平分线 AD 和B的角平分线 BE 交于点 F，则AFB 120. （3）在等边三角形 ABC 中，如果延长 BC 边到 D，使 CD=BC，那么BAD= 90. （4）BD 为正ABC 的边 AC 上的中线，E 为 BC 延长线上一点，DB=DE，若 AB=6，则CE _ （5）如图，ABC 中，BA

3、C=90，B=60，ADBC 于点 D，E 点在斜边 BC 上，且 DE=DB， 若 DE=4，那么 AB= 8 ，BC= 16 .（提示：ABDABD AEDAED ，BD=DE=4，AB=8，BC=16） (2) （4） （5） 【例题2】如图，ABC 是等边三角形，90CBD，BDBC，则AEC 的度数是_ 答案：75 【例题3】如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，C、D、E 在一条直线上，20ABE，则CAD 的大小是_ 答案：40 【例题4】如图，B、C、D 在一直线上，ABC、ADE 是等边三角形，若15CE cm，6CD cm， 则AC _，ECD_ 答案：9，60 （例题

4、2） （例题 3） （例题 4） F D E C B A D B A C E 3 / 6 【例题5】如图，在边长为 6 的等边三角形中，D 是 BC 边上一点，且 BD=2DC，DEAB 于 E，DF BC 交 AC 于 F，BE=2，求 AF 的长 解：ABC 是等边三角形，A=B=C=60 BD=2DC， BC=6，BD=4，DC=2，BDECFD CF=BD=4 AF=2 【例题6】如图，已知点 D、E 分别是等边ABC 的边 BC、CA 上的两点，且 BD=CE，AD 与 BE 相 交于点 P. 求证：ABDBCE 的理由； 求APE 的度数. 解： (1)ACAB ，ABCCBDCE

5、， ABDBCE (SAS) (2)ABPBAPAPE=ABPEBC= 60ABC 【例题7】如图，ABC为等边三角形，AD 为 BC 边上的高，AE 是ABD中BAD的平分线 求AED的度数 【例题8】如图，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，且 A、E、D 三点在同一直线上， 求证：BD+CD=AD. 解：CBDABEBDBEBCAB, ABE()CBD SAS BDCDDECDDEEAAD F E D CB A A B C DE 4 / 6 【例题9】如图，C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 都是等边三角形，直线 AN、CM 交于点 E， 直线 BM、CN 交于点 F . （1）

6、说明 AN=BM 的理由； （2）为什么CEF 也是等边三角形？ 解：(1)ACN()MCB SAS BMAN (2)由(1)知MBCANC ECN()FCB ASA CECF， 0 60ECF CEF为等边三角形 F E AB C M N 5 / 6 【作业1】 如图，已知等边ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BC 延长线上一点，且CECD，DM BC 于 M，说明 M 是 BE 的中点的理由 答案： 1 30 2 DBCABC， 1 30 2 ECDEACB ，DBCE， DBDEDMBC，BMEM 【作业2】 正ABD 和正CBD 的边长均为 a，现把它们如图拼合起来，E 是 A

7、D 上一动点，F 是 CD 上一动点，满足AECFa （1）求证：无论 E、F 怎样移动，BEF 总是正三角形； （2）填空：当BEF 的面积取到最小时，AE _ 答案：（1）AECFa，AEDF，ABEDBF， BEBF，ABEDBF，60EBF，BEF 是正三角形； （2） 1 2 a 【作业3】 在ABC 中，90BAC，ADBC 于 D，BE 平分ABC 交 AD 于 F （1）说明AEF 是等腰三角形的理由 （2）需要增加怎样的条件，才能使AEF 是等边三角形？简要说明理由 答案：（1）BADC，ABECBE，AEFCBECABEBADAFE； （2）60ABC或30C 【作业4】

8、如图，点 C 在 AB 上，DAC 和EBC 均是等边三角形，AE、 BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结论：ACEDCB； CMCN； ACDN其中，正确结论的个数是（ ） A、3 个 B、2 个 C、1 个 D、0 个 答案：B F A C B D E 6 / 6 【备用】 1. 如图，正ABC 的边长为 a，D 为 AC 边上的一个动点，延长 AB 至 E，使BECD，联结 DE， 交 BC 于点 P（1）说明DPPE的理由；（2）若 D 为 AC 边中点，求 BP 的长 答案：（1）过点 D 作 DFAE 交 BC 于 F 60CDFA ，60C，CDF 为正三角形CDD

9、F， BECD，DPFEPBDPPE （2） 11 2224 aa BPBF 2. 如图，已知 E 是线段 AD 上一点，ABC 和BED 都是正三角形求证：BECD 答案：ABECBD，120BDCBEA，180BDCEBD 3. 已知等边ABC，延长 BC 至点 D，延长 BA 至点 E，并使 AE=BD，求证：CE=DE 证明：延长 BD 至 BF，使 DF=BC ABC 是等边三角形，AB=BC，B=60，DF=BC=AB AE=BD，AE+AB=BD+DF，即 BE=BF，BEF 是等边三角形 BE=FE，F=60，B=F， EBCEFD（S.A.S.） ，CE=DE. 4. 如图已知等边三角形 ABC 内一点 D，DA=DC，ABC 外一点 P，CP=