04 四边形加深3教师菱形 初二自招进度二

1、 1 / 8 第四讲 四边形加深（3）菱形 【例题1】 若从菱形的一个顶点到对边的距离等于边长的一半，则菱形最大的内角是 ； 解：菱形最大内角为150。 【例题2】 若菱形周长为12cm，一条对角线长3cm，则菱形的两个邻角分别是 ； 解：易求两个邻角分别为60和120。 【例题3】 某菱形的两条对角线长度之比是2 : 3，且它们的长度之和为50，则菱形面积 是 ； 解：设对角线长为2 ,3xx，325010 xxx， 对角线长为20,30， 1 20 30300 2 S 菱形 。 【例题4】 菱形ABCD中，,AE AF分别垂直平分,BC CD于,E F，则EAF ； 解：易求60EAF。

2、【例题5】 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC，2OC ，则点B的 坐标为 解：延长BC交y轴于点D，易求1,2ODCDBC， 21,1B A x y C B O 2 / 8 【例题6】 如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知 30BAD则重叠部分的面积是 ； 解：作AEBC于E，AFCD于F，易证ABEADF，ABAD， 又ADBC，ABCD，四边形ABCD是平行四边形， ABCD是菱形，又易求边长为2，2S 重 。 【例题7】 若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且此菱形的面积为S，则它的边长 为 ； 解：设两条对角线的

3、长为2 ,4kk，易求边长为5k， 又 11 24 22 SkkkS，边长 5 2 S 。 【例题8】 菱形的一个内角为60， 一条对角线长为5 3， 菱形周长为_cm， 面积为_ 2 cm； 解：若较长对角线为5 3，则周长为20，面积为 25 3 2 ； 若较短对角线为5 3，则周长为20 3，面积为 75 3 2 。 【例题9】 菱形ABCD的边长为1，面积为 7 9 ，则ACBD的值是 ； 解：设2 ,2ACa BDb，则 22 7 1,2 9 abab， 216 9 ab， 4 3 ab， 8 2 3 ACBDab。 【例题10】 菱形的周长为a， 高为h， 一条对角线长为m， 则另

4、一条对角线长可表示为 ； 解：设另一条对角线长为x，易求边长为 4 a ， 1 422 aah Shmxx m 菱形 ， 另一条对角线为 2 ah m 。 B C A D 3 / 8 A B C D E P EA B CD F MN 【例题11】 已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，且 4444 4abcdabcd，则 此四边形的形状是 ； 解：由已知等式配方得 444422222222 222240abcda bc da bc dabcd， 22 2 2222 20abcdabcd 22 ,ab cd abcdbdbd abcd，四边形的形状是菱形。 【例题12】 已知：如图，

5、在菱形ABCD中，4ABa，E在BC上，2ECa，120BAD，P 在BD上，则PEPC的最小值为 ； 解：连结,AP AE，易知点,A C关于BD对称，APCP PEPCPCPCAE， 由 1 ,60902 3 2 BEABABCAEBAEa，2 3PEPCa 【例题13】 如图：已知在ABCD中, 2ADAB，AEABBF，,EC FD分别交,AD BC于 ,M N，求证：四边形DMNC是菱形。 4 / 8 A B C D N M O A B C D E M N A B C D N M O A B C D N M O A B C D E M N A B C D E M N 【例题14】 如

6、图， 已知在四边形ABCD中，90ABCADC，M是AC的中点，BNMD， 且MNBD，垂足为点 O。求证：四边形BNDM是菱形 【例题15】 如图，已知在ABC中，90BAC，ADBC于点 D，BE平分ABC交AD于 点 M，AN平分DAC交BC于点N。求证：四边形AMNE是菱形。 【例题16】 在Rt ABC，90ACB，AD是A的平分线交BC于D。CH是AD边上的高交 AD于F，DEAB于E。求证：四边形CDEF是菱形。 F EH D B A C 5 / 8 【例题17】 ,M N分别是ABCD的对边,AD BC的中点，且2ADAB。连结,AN BM交于P。 连结,DN CM交于 Q。求

7、证：PMQN为矩形。 【例题18】 菱形ABCD中，120BAD，M是 BC 上一点，N为CD上一点。 求证：若AMN有一个角为60，则AMN为等边三角形。 【例题19】 边长a为的菱形ABCD中，60DAB，E为AD上异于,A D两点的移动点，F是 CD上的动点，且AECFa。 求证：不论,E F怎样移动，BEF为正三角形。 求BEF面积的最小值。 Q P NC MA D B N C D B A M 6 / 8 F B CD A E 7 / 8 1. 如图，菱形PQRS内接于矩形ABCD，其中P、Q、R、S分别是边AB、BC、CD、DA上 的点，已知15PB ，20BQ ，30PR ，40Q

8、S ，求矩形ABCD的周长。 2. 设一菱形的边长是一个两位数，对调这个两位数的个位数码与十位数码的位置得到新数恰为该菱 形的一条对角线长的一半。 若该菱形的另一条对角线长也是整数， 则该菱形的边长为_； 解：设：菱形的边长为：10ab，则其一条对角线长的一半为：10ba。 由题意1010abba即ab而 22 (10)(10)9 11()()abbaab ab 为完全平方数，又 09,218abab知11ab经验算得6,5ab 所以菱形的边长为65。 3. D为等腰直角ABC边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB于E、O、 F，2BC。 当2CD时， 求AE； 证明： 当2

9、22CD时， 四边形AEDF是菱形。 解： （1）设：AEx，则2ECx，又EF垂直平分AD，EDEAx 在RT ECD中，由勾股定理得： 222 (2)( 2)xx解得 3 2 x 3 2 AE O S R Q P DC BA 8 / 8 （2）当2 22CD 时，设AEx 在RT ECD中，由勾股定理得： 222 (2)(2 22)xx解得42 2x ECCD易证EDABAFEFED 又EF垂直平分AD AFDF进一步再证：EDFD AEEDFDAF 四边形AEDF是菱形。 4. 菱形ABCD中，120BAD，M是BC上一点，N为CD上一点，求证：若AMN中有一 个角为60，则AMN为等边三角形； 证：若60MAN，连结AC， 易证ABMACN，ANAM，AMN为等边三角形。 若60AMN，过点M作MEAC交AB于点E， 易证BME为等边三角形，