6.5节变换群与几何学的关系课件

1、6.5变换群与几何学的关系,一、射影仿射平面,定义5.1在拓广平面上,指定一条直线作为无穷远直线,记作l,并约定对于某取定的射影坐标系,l的方程为x3=0.称为实射影仿射平面,并称指定的l为该射影仿射平面上的绝对形.,显然,射影仿射坐标变换的逆式必定形如,注1据定义5.1,实射影仿射平面上的射影坐标系必须总以l为坐标三点形的边x3=0,称为射影仿射坐标系.,6.5变换群与几何学的关系,其中,P(pi),Q(qi),R(ri)分别为新坐标三点形的顶点A1,A2,A3.,6.5变换群与几何学的关系,定义5.2在射影仿射平面上,保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换.,定理5.1射影变换,成为

2、射影仿射变换a31=a32=0.,显然,射影仿射变换形如,6.5变换群与几何学的关系,6.5变换群与几何学的关系,将(3.3)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式),得,注射影仿射变换保持直线的平行性不变,保持共线(通常)三点的单比不变.,6.5变换群与几何学的关系,二、群与变换群,定义5.3(群)设G为非空集合.在G上定义一个代数运算,称为乘法.如果满足下述4条公理,则称G对于这个乘法构成一个群,记作G.,注1定义中的运算是称为乘法,未必是通常的乘法.,注2群中的乘法不一定满足交换律.若满足交换律,可以将这种乘法称为加法,这样的群称为交换群或加法群或Abel群.,(1)封闭性.a,bG,有

3、abG.,(2)乘法满足结合律.即a,b,cG,有a(bc)=(ab)c.,(3)存在单位元.即eG,使得aG,有be=ea=a.,(4)存在逆元.即aG,a1G,满足aa1=a1a=e.,6.5变换群与几何学的关系,定义5.4(子群)设G为群,H为G的一个非空子集,若H对于G上的乘法也构成群,则称H为G的一个子群.,定理5.2群G的一个非空子集H为G的子群H满足下述条件.,(1)a,bH,有abH.,(2)若aH,则必有a1H.,6.5变换群与几何学的关系,定义5.5(群的同构)两个群G,G之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G之间的一个同构.如果群G与G之间存在一个同构映射,则称G同构

4、于G,记作GG.,定理5.3非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群.称为集合S上的全变换群.,6.5变换群与几何学的关系,定理5.4非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(全变换群的子群),(1)若g1,g2G,则g1g2G.,(2)若gG,则g1G.,定义5.6集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群.,6.5变换群与几何学的关系,三、平面上的几个变换群,K=平面上全体射影变换,KA=平面上全体射影仿射变换,KM=平面上全体射影正交变换,A=平面上全体仿射变换,M=平面上全体正交变换,射影平面,仿射平面,射影变换群K,射影仿射变换群KA,射影正交变换群KM,仿

5、射变换群A,正交变换群M,KS=平面上全体射影相似变换,射影相似变换群KS,S=平面上全体相似变换,相似变换群S,6.5变换群与几何学的关系,上述7个变换群之间显然有下列关系：,在射影平面P上,在仿射平面PA上,6.5变换群与几何学的关系,四、Klein变换群观点,定义5.7设S为一个非空集合,G为S上的一个变换群.称S为空间,S的元素称为点,S的子集称为图形,G称为空间S的主变换群.研究空间S中图形所决定的在G的每一个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量)的科学称为一门几何学(S,G).,6.5变换群与几何学的关系,S的子集(图形)在G下被分成若干等价类,属于同一等价类的图形具

6、有相同的G性质(G给S赋予空间结构),注显然,在S上给定不同的变换群G,则得到不同的几何学.,6.5变换群与几何学的关系,四、Klein变换群观点,定义5.8如果(S,G)为一个几何学,H为G的子群.则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学,简称子几何学.,S,几何学(S,G),子几何学(S,H),6.5变换群与几何学的关系,射影几何,射影仿射几何,射影相似几何,仿射几何,相似几何,射影欧氏几何,欧氏几何,6.5变换群与几何学的关系,五、几种几何学的比较,1、射影几何学,空间,射影平面P,主变换群,射影变换群K,研究内容,图形在射影变换下的不变性质和数量,(同素性),关联性,交

7、比,其余所有射影不变性,在射影平面上做演绎推理、对偶变换,基本射影不变性,6.5变换群与几何学的关系,五、几种几何学的比较,2、仿射几何学,空间,射影仿射平面P,主变换群,射影仿射变换群KA,研究内容,图形在射影仿射变换下的不变性质和数量,注通常也直接将仿射几何学作为射影几何学的子几何学.,射影仿射几何学,空间,仿射平面PA,主变换群,仿射变换群A,研究内容,图形在仿射变换下的不变性质和数量,仿射几何学,不可用对偶原则,不可用对偶原则,6.5变换群与几何学的关系,五、几种几何学的比较,2、仿射几何学,注简单比是最基本的仿射不变量.,定理5.5简单比是仿射不变量.,仿射不变性,平行性,简单比,平

8、行线段的比,两三角形面积之比,线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形,定理5.4仿射变换保持平行性不变.,注平行性是最基本的仿射不变性.,仿射几何首先包括射影几何的所有研究内容.,6.5变换群与几何学的关系,五、几种几何学的比较,3、相似几何学,空间,射影仿射平面P,主变换群,射影相似变换群KS,研究内容,图形在射影相似变换下的不变性质和数量,注通常也直接将相似几何学作为射影仿射几何学的子几何学.,射影相似几何学,空间,仿射平面PA,主变换群,相似变换群S,研究内容,图形在相似变换下的不变性质和数量,相似几何学,不可用对偶原则,不可用对偶原则,6.5变换群与几何学的关系,五、几种几何学的比较,3、相似几何学,注初等几何的研究内容基本属于相似几何.,定理相似变换保持平面上任意两线段的比值、两直线的夹角不变.,4、欧氏几何学,欧氏几何首先包括相似几何的所有研究内容.,定理正交变换保持平面上两点间的距离不变.,注距离是最基本的正交不变性.由此,一切刚体性质都是欧氏几何的研究对象.,相似几何首先包括仿射几何的所有研究内容.,6.5变换群与几何学的关系,五、几种几何学的比较,结论：在同一个几何学系列中(即,在