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1、二、函数展开成幂级数,一、泰勒级数,7.4函数展开成幂级数,两类问题:,在收敛域内,和函数,求幂级数的和函数,就是说函数f(x)在其收敛域内能展开成幂级数.,问题:,2.展开式是否唯一?,3.在什么条件下才能展开成幂级数?,等式反过来写即为,一、泰勒(TAYLOR)级数,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1.,n+1阶导数,设函数f(x)在点x0的某一邻域,内具有直到,则对任一,其中,泰勒公式,定理2.,各阶导数,则f(x)在该

2、邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式余项满足:,设函数f(x)在点x0的某一邻域,此时，f(x)可展开成,定理2.,若f(x)能展成x的幂级数,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,证:设f(x)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,则这种展开式是,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;,第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;,第三步判别在收敛区间(R,R)内,是否为0.,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,的函数展开,例1.将函数,展开成x的幂级数.,解:,其收敛半

3、径为,对任何有限数x,其余项满足,故,(在0与x之间),故得级数,例2.将,展开成x的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数x,其余项满足,对上式两边求导可推出:,例3.将函数,展开成x的幂级数,其中m,为任意常数.,解:易求出,于是得级数,由于,级数在开区间(1,1)内收敛.,因此对任意常数m,则,为避免研究余项,设此级数的和函数为,称为二项展开式.,说明：,(1)在x1处的收敛性与m有关.,(2)当m为正整数时,级数为x的m次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.,由此得,对应,的二项展开式分别为,例3附注,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成x的幂级数.,解:因为,把x换成,得,将所给函数展开成幂级数.,例5.将函数,展开成x的幂级数.,解:,从0到x积分,得,定义且连续,域为,利用此题可得,上式右端的幂级数在x1收敛,所以展开式对x1也是成立的,于是收敛,例6.将,展成,解:,的幂级数.,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,

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