6线性空间与线性变换.ppt

1、第六章线性空间与线性变换,第一节线性空间的定义与性质,第二节维数、基与坐标,第三节基变换与坐标变换,第四节线性变换,第五节线性变换的矩阵,6.1线性空间的定义与性质,定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素V，总有唯一的一个元素V与之对应，称为的和，记作；对于任一个数kR与任一个元素V，总有唯一的一个元素V与之对应，称为k与的积，记为,两种运算满足以下八条运算规律（对任意V,R）：,返回,上一页,下一页,V就称为R上的向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).,(3)在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何V，都有；,(4)对任何V，都

2、有V中的元素,使（称为的负元素）；,返回,上一页,下一页,凡满足上面八条运算规律的加法及数量乘法，称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，称为向量空间（或线性空间）。,向量不一定是有序数组；向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。,注意：,例实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为Pxn，即Pxn=anxn+a1x+a0|an,an-1,a1,a0RP对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间。,返回,上一页,下一页,例实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即W=anxn+an-1xn-1+a1x+a0|an,

3、an-1,a1,a0R，且an0。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R上的向量空间。,例n个有序实数组成的数组的全体Sn=x=(x1,x2,xn)|x1,x2,xnR对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k(x1,x2,xn)=(0,0,0)不构成R上的向量空间。,返回,上一页,下一页,因为0(anxn+a1x+a0)=0W，即W对数乘不封闭。,因为1x=0，不满足运算规律（5）,对数乘封闭：对任意kR,aR，有kaakR；,证实际上要验证十条.对加法封闭：对任意a,bR，有ababR；,返回,上一页,下一页,因此，R对于上面定义的运算构成R上的线性空间.,返回,上一页,下一页,性质零

4、元素是唯一的。,假设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何V，有01，02，于是特别有020102，010201故010102020102,性质任一元素的负元素是唯一的。（的负元素记作）,假设有两个负元素与，即,返回,上一页,下一页,于是,性质,因为,所以,又因为,所以,而,返回,上一页,下一页,定义2R上线性空间V的一个非空子集合W,如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）。,定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。,性质4如果,那么或者。,假设，那么,返回,上一页,下一页,例在全体实函数组成的线性空

5、间中，所有实系数多项式组成V的一个子空间.,6.2维数、基与坐标,如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。,维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。,返回,上一页,下一页,这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,xn)之间存在着一种一一对应关系，因此可用这组有序数来表示.,若知为V的一个基，则对任何，都有一组有序数x1,x2,xn使：,并且这组数是唯一的(否则线性相关)。,反之，任给一组有序数x1,x2,xn，可唯一确定Vn中元素：,返回,上一页,下一页,定义4设是线性空间Vn的一个基，对于任一元素，有且仅有一组有序数x1,x2,xn使x1,x2,xn这组有序数就

6、称为在基下的坐标，记作(x1,x2,xn)。,返回,上一页,下一页,例在线性空间Px3中，就是Px3的一个基，Px3的维数是4，Px3中的任一多项式,可写成,因此f(x)在基下的坐标为,返回,上一页,下一页,返回,上一页,下一页,于是,返回,上一页,下一页,在线性空间Vn中取定一个基，则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设,一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。,返回,上一页,下一页,Vn与Rn有相同的结构，

7、称为Vn与Rn同构。,则,同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，如内积。,定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。,返回,上一页,下一页,6.3基变换与坐标变换,不同基与不同的坐标之间的关系,设及是线性空间Vn的两个基，且,返回,上一页,下一页,(6-1),上两式称为基变换公式.,或表示为,矩阵C称为由基到基的过渡矩阵，C一定是可逆矩阵。,返回,上一页,下一页,(6-2),定理3设Vn中的元素在基下的坐标为（），在基下的坐标为（），若两

8、个基满足基变换公式（6-2）,则有坐标变换公式,返回,上一页,下一页,(6-3),证因,而线性无关，故即有关系式(6-3).,返回,上一页,下一页,解,返回,上一页,下一页,故,返回,上一页,下一页,6.4线性变换,定义5设A、B是两非空集合，如果对于A中的任一元素，按照一定的法则，总有B中的一个确定的元素与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合B的映射，如果A=B，A到A的映射称为A的变换。,映射常用表示，A的变换常用T表示。,A到B的映射使B中的与A中的对应，就记,称为在映射下的像，称为在下的原像.,返回,上一页,下一页,的像的全体构成的集合称为的像集，记作(A)，即,返回,上一页,下一页

9、,例设A=R,B=R+,(x)=x2+3是R到R+的一个映射,它把x映射到x2+3,7是-2在下的像.,例在线性空间Px3中，微分运算D是一个线性变换。,定义6设U,V是R上的两个线性空间，是V到U上的一个映射，如果满足,当V=U时，V到U的线性映射称为V的线性变换。,返回,上一页,下一页,那么，就称为V到U的线性映射。,例由关系式,确定xOy平面上的一个线性变换，T把任一向量按逆时针方向旋转角。,例在线性空间R3中，变换,验证T不是R3的线性变换.,返回,上一页,下一页,线性变换的性质,(4)线性变换T的像集是V的子空间，称为T的像空间。,(3)若线性相关，则也线性相关。,也是V的子空间，称

10、为线性变换T的核，记为T-1(0).,返回,上一页,下一页,例设有n阶方阵,返回,上一页,下一页,证,返回,上一页,下一页,解空间.,6.5线性变换的矩阵,(1)设是线性空间Vn的一个基，如果Vn的线性变换T与T在这组基上的作用相同，即那么，T=T.,证T与T相等的意义是它们对Vn的每个向量的作用相同，即,返回,上一页,下一页,(2)设是线性空间Vn的一个基，对于Vn任意一组向量，一定有一个线性变换T使,证设，作变换T,容易验证T是Vn的线性变换，且,返回,上一页,下一页,定理4设是线性空间Vn的一个基，是Vn中任意n个向量，则存在唯一的线性变换T使,定义7设是线性空间Vn的一个基，T是Vn的

11、一个线性变换，基向量的像可以被基线性表出：,返回,上一页,下一页,用矩阵来表示,其中,矩阵A称为T在基下的矩阵。,因线性无关，aij是由T唯一确定的。可见A由T唯一确定。,返回,上一页,下一页,给定一个方阵A，定义变换T:,T是由n阶矩阵A确定的线性变换，且T在基下的矩阵是A.,在Vn中取定一个基后，Vn的线性变换与n阶矩阵之间，有一一对应的关系。,返回,上一页,下一页,例在Px3中，取基，求微分运算D（线性变换）在这个基下的矩阵。,返回,上一页,下一页,解,例在R3中，取基e1(1，0，0)，e2(0，1，0)，e3(0，0，1)，表示将向量投影到yOz平面的线性变换，即T(xe1ye2ze

12、3)ye2ze3.(1)求T在基e1,e2，e3下的矩阵；(2)取基为求T在该基下的矩阵.,解(1)Te1(e10e20e3)0，Te2(0e1e20e3)e2，Te3(0e10e2e3)e3，,返回,上一页,下一页,即,返回,上一页,下一页,(2)由,即,返回,上一页,下一页,定理5设线性空间Vn的线性变换T在两组基下的矩阵分别为A和B，从基到的过渡矩阵为P，则B=P-1AP(此时，称A与B相似)。,返回,上一页,下一页,于是,返回,上一页,下一页,因线性无关，所以,返回,上一页,下一页,例在R3中，取基e1(1，0，0)，e2(0，1，0)，e3(0，0，1)，表示将向量投影到yOz平面的线性变换，即T(xe1ye2ze3)ye2ze3.(1)求T在基e1,e2，e3下的矩阵；(2)取基为求T在该基下的矩阵.,解,的过渡矩阵,返回,上一页,