5.第五章.数学的魅力.ppt

1、1,第五章数学的魅力,2,你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！,3,一、数学的美妙1欧拉公式无论你用什么绳索织一片网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必须适合公式:V+FE=1(这是二维情况,三维情况是V+FE=2,可以考虑一个正方体为例),4,2“纯存在性证明”：学校里至少有两个人的生日是同一天。(抽屉原理或鸽笼),5,3陈省身：“三角形三内角之和为18

2、0”这个命题不好。,6,4圆的魅力,车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数,7,5素数的魅力,自然数的简单而基本的成员“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”梅森素数(1644年提出）Mn=2n1素数在加法方面的规律：哥德巴赫猜想素数在乘法方面的规律：整数的唯一分解定理造密码,8,6哥尼斯堡七桥问题(“抽象”的典型，图论的起源),9,10,7庞加莱：地球上任何时候总有一处风速为0,庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。,“一

3、个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑结构上看，这个空间是否就是一个球面”,11,世界七大数学难题,2000年5月24日，美国克莱数学研究所列出七个“千禧难题”（又称世界七大数学难题）。被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决。每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。分别是：庞加莱猜想NP完全问题霍奇猜想（Hodge）黎曼假设（Riemann）杨米尔斯理论（Yang-Mills）纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes）BSD猜想（BirchandSwinnerton-Dyer）。,12,解决情况,庞加莱猜想：已经破解黎曼假设：很多人攻关，

4、没看到希望霍奇猜想：进展不大杨-米尔理论：太难，几乎没人做P与NP问题：没什么进展波奇和斯温纳顿戴雅猜想：有希望破解纳威厄-斯托克斯方程：离解决相差很远,13,历史上著名的猜想,一、哥德巴赫猜想提出者：德国教师哥德巴赫；提出时间：1742年；内容表述：任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和；研究进展：尚未完全破解。,14,二、费马大定理提出者：法国数学家费马；提出时间：1637年；内容表述：x的n次方加y的n次方等于z的n次方，在n是大于2的自然数时没有正整数解；研究进展：由英国数学家安德鲁怀尔斯和他的学生理查泰勒于1995年成功证明。,15,三、四色猜想提出者：英国学生格思里；提出时间

5、：1852年；内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色；研究进展：于1976年被计算机验证。,16,四、女生散步问题提出者：英国数学家柯克曼；提出时间：1850年；内容表述：某学生宿舍共有15位女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每周一次；研究进展：已获证明。,17,五、七桥问题提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇(今俄罗斯加里宁格勒)；提出时间：18世纪初；内容表述：一条河的两条支流绕过一个岛，有7座桥横跨这两条支流，问一名散步者能否走过每一座桥，而且每座桥只能走一次，就让这名散步者回到原地；研究进展：

6、瑞士数学家欧拉于1736年圆满解决了这一问题。,18,8把5个重要常数和谐地统一在一个等式中,19,二、数学的“用处”1不应实用主义地理解“用处”数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”；不像一把斧头，拿来便可砍柴。,20,万有引力定律。基于开普勒行星运动的三大定律，牛顿发现了万有引力定律。他把其最重要的著作命名为自然哲学的数学原理，是因为他发现新宇宙的思维方式是数学的思维方式。在这本书中，牛顿用了大量“微积分”的知识和非常复杂的几何知识与技巧。有兴趣的同学可以阅读这本书。,21,相对论。爱因斯坦分别于1905年和1915年提出狭义相对论，广义相对论，这是对物理学的重大变革，其核心内容是

7、时空观的改变。爱因斯坦的时空观认为时间和空间是相互联系的。四维空间的洛仑兹变换是这种数学模型的表现形式。,22,电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为“方程的形式”，用纯粹数学的方法推导出可能存在着电磁波并且这些电磁波应该以光速传播者。据此，他提出了光的电磁理论。此外，他的结论还推动了人们去寻找纯电起源的电磁波。,23,最近，两位美国数学家解开了一个困扰科学界长达50年的“简单”问题：啤酒泡和肥皂泡在膨胀、收缩及合并时的数学规律。该研究成果将对工程学的泡沫材料设计、生物学的组织结构研究以及物理学的晶体颗粒排列探测产生深远的影响，相关论文发表在20

8、07年4月26日的自然杂志上。（气泡胀大、收缩或者合并，背后的驱动力都是表面张力，气泡的变化，取决于表面总曲率）,24,数学对人类文明的贡献（五）,神州七号的升空，证明了我国具有制造和发射航天飞机的能力。在神舟六号的研制过程中，数学起了不可替代了作用，尤其是在轨道测算，时间测算等方面。,25,1973年，美国芝加哥大学学者f布莱克与m肖莱斯提出了布莱克肖莱斯期权定价模型（black-scholesoptionpricingmodel），对股票期权的定价作了详细的讨论。此后，不少学者（Merton）又对该模型进行了修正、发展与推广，极大地推动了期权定价理论的研究。该模型中用到很多数学知识。他们也

9、因此获得了1997年的Nobel经济学奖。（上图为Merton，哈佛大学；下图为Scholes，芝加哥大学。）,26,2数学的应用常常是难以预料的1）素数在密码学中的应用2）圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用3）黎曼几何在广义相对论中的应用4）陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中的应用5）正电子、黑洞与电磁场的发现诺贝尔物理学奖获得者温伯格(SWeinberg)曾无可奈何地感叹：“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前数学家已经得到了。”,27,三、数学的语言1自然语言与数学语言1）自然语言具体的语言；数学语言形式化的语言2)科学工作者用数学语言使自己的工作精确化如：牛顿运动第

10、二定律；爱因斯坦广义相对论,28,2.数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言1）当你写下c2=a2+b2，S=v0t+0.5gt2，不同的民族虽然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种都能明白。2）20世纪70年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具有代表性的物件，其中包括一件用黄金制作的、体现勾股定理的图案。,29,3数学语言的特点1）明晰；2）严谨；3）简洁；4）规范4重视数学语言的学习口头表达和书面表达，是数学能力、数学素养的重要方面。,30,四、数学的发展1数学的分支越来越细以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支2数学对自然科学和

11、社会科学的渗透越来越广“一门科学应用数学的程度，标志着这门科学成熟的程度”3历史遗留许多难题，数学永远充满魅力“费尔马大定理”上世纪末刚被证明“哥德巴赫猜想”等难题仍未解决,31,32,33,解决问题方法的复杂性，迫使我们考虑，能否找到一种新手段、新方法，来解决这一问题。历史上有过多次类似的情形：笛卡尔引进坐标系，描述了过去难以描述的曲线；牛顿引进微分法和积分法，解决了变变速下的速度、路程问题；伽罗瓦引进“群”的概念，解决了5次方程根式解的问题，等等。,34,数学对人类科学的贡献（六）,美国哈佛大学日前发表一份研究报告称，伊斯兰世界对数学有过重要贡献。研究人员认为，中世纪伊斯兰世界的外墙砖设计图案说明它们的设计者掌握了西方世界500年后才掌握的数学概念。（中世纪的工匠用直尺和圆规来完成复杂的多边形图案，是“准晶体”设计）,35,数学新用场,1945年原子弹的蘑菇云使人们，也使哈代本人在生前看到了相对论不可能与战争有关的预言的可怕破产。他最钟爱的数论也已成为能控制成千上万颗核导弹的密码系统的理论基础。90年代的“海湾战争”甚至被称为数学战争了。,36,数学新用场,