2011年电工杯数学建模竞赛全国二等奖论文

1、 1 拔河比赛中人员排布问题与游戏规则分析 摘 要 本文通过分析拔河比赛中的队员排序和游戏规则，提出了最优化的排序方案，对目 前的游戏规则的科学性进行了分析，并提出了更有效的游戏规则。 第一问中通过对各参赛队员进行受力分析， 由力矩平衡条件建立绳子的拉力和队员 体重以及地面摩擦力之间的数量关系。以参赛队员给予对方的拉力最大作为优化目标， 考虑绳子的伸长对各个位置参赛队员力矩增量的影响， 通过 0-1 规划设计 lingo 程序得 到相应的数值结果。数值模拟表明，当参赛队员排序为高个在前且体重大的队员在后方 时，比赛时该队伍将占有优势。 在第二问中， 建立了一个带吸收壁的齐次马尔可夫链模型描述拔

2、河绳索中点小旗的 随机运动过程，在设定两只队伍拉力分布前提下，计算出拉力差值的分布规律，计算出 该马尔可夫链中的一步转移概率矩阵，从而求得 n 步转移概率，建立了获胜概率与绳索 中点偏移距离的关系。特别，对概率标准 95%，计算经过第150n状态时，小旗从中间 到达端点出的概率大于该标准值时的端点m的位置，得到16m，即绳索中点偏移距离 为 4m。进一步，建立每个队伍在一个状态中的位移与比赛场地摩擦因数的关系，得到最 终的比赛胜利条件所拉过的绳索距离与比赛场地摩擦因数成正相关的线性关系， 从而得 到地面摩擦系数与获胜时绳索偏移距离的关系。作为特例，计算出拔河比赛一方胜利条 件为：室外比赛中拉过

3、绳索 4 米的距离即为比赛胜利；在室内比赛中拉过绳索 2 米的距 离即为比赛胜利。 在第三问中，根据前面得到的结果，并分析对拔河比赛规则的分析，设计了一个适 用于大学生群体的比赛规则，对室内和室外的比赛规则分别进行了讨论。 在第四问中，就拔河项目作为大学生的基本运动项目写出了提案。 关键词：拔河 0-1 规划 排序 吸收壁 齐次马尔可夫链 胜利条件 2 1.问题重述 1.1 背景 拔河比赛始于我国春秋时期， 是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育 运动。拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精 神。此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的

4、体力，且比赛现 场气氛热烈。 拔河比赛有各种比赛分级方法。 常见的分级是以参赛双方每方8人的总体重来分级， 从 320 公斤到 720 公斤，每隔 40 公斤一级。拔河比赛的绳子中间有一个标记，在比赛 中，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧 4 米则该方获胜。 1.2 问题 1) 在某种分级比赛中，最占优势队员位置的安排方式； 2) 通过数学建模的方式说明拉过绳索 4 米则获胜的规则的科学性； 3) 设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规 则； 4) 向全国大学生体育运动组委会写一个将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的 提案。 2.模型假设 1） 忽略比赛过

5、程中绳子的倾斜，即绳子保持水平； 2） 假定游戏过程中绳子不会滑出手中； 3） 每个参赛队员的重心相对于其身高的比例是相同的； 4） 假设两支队伍在每个时期移动的距离相同，即将小旗移动的区间 m 等分； 5） 每一个时刻两支队伍竞争所产生的位移为一确定常数； 6） 两支队伍发生竞争的时间间隔相同。 3.符号说明 i l 参赛队员 i 的身高； 重心相对于身高的比例； 肩部下方的最佳施力点相对于身高的比例； 膝盖相对于身高的比例； 地面的摩擦系数； h绳子的高度； i 队员上半身与水平面的夹角； i g 参赛队员i的重力； i m 参赛队员i的质量； j m 位置j拉力的力矩； 3 j x 位置

6、j绳子的伸长量； j t 位置j绳子的拉力； k绳子的劲度系数； f给对方的合力； ij s 绳子伸长所带来j位置的重力作用位移的增量； i j 0-1 变量； ij m绳子伸长所带来j位置重力矩的增量； )(tjt 时刻小旗所在位置的随机过程； a fa 队产生的拉力，为一随机变量； 21 、a、b 两支队伍所产生拉力的期望值； p在比赛过程中，下一时刻 a 取得优势的概率； ) 1 (p比赛过程的 1 步转移概率矩阵； )(np比赛过程的 n 步转移概率矩阵； )( 0, 2 npmn 时刻小旗从 2 m 转移至 0 点的概率)( 0, 2 npm； )( , 2 np m m n 时刻小

7、旗从 2 m 转移至 m 点的概率)( , 2 np m m ； 0 d每一个时刻两支队伍竞争所产生的位移； d使得比赛胜利所必须拉过的绳索长度。 4.问题 1 模型建立与求解 4.1 理论分析 图图 4.1 各参赛队员的受力分析图各参赛队员的受力分析图 1 2 8 t t1t t2 t t1 g g1 h h f f t t7 g g2g g8 1 1 2 8 2 8 o o1 o o2 o o8 xx8 xx1 4 假设参赛队员i的身高为 i l，重心相对于其身高的比例为，肩部下方的最佳施力 点相对于其身高的比例为，膝盖相对于其身高的比例为。对于队员i，假设初始时 刻绳子恰好位于其肩部下方

8、的最佳施力点，则此时队员上半身与水平面的夹角为 arcsin () i i i hl l （4.1） （受力分析如图4.1所示）由于重力g1、拉力t1和的地面摩擦力作用，位置1的队员 存在绕其膝盖部位o1点的转动，假设队员向地面的撑力等于其重力的二分之一，根据 力矩守恒，有 111111 1 1 () cos() 2 lgl gg t h （4.2） 同理，对于位置2的队员，有 222222 21 1 () cos() 2 lgl gg tt h （4.3） 由此递推，对于8号位置的队员，可知 888888 87 1 () cos() 2 lgl gg tt h （4.4） 上式的t8是8个队

9、员给对方的拉力的合力，其大小是拔河比赛成功的关键。 根据以上各式，可以得到 8 8 1 j j m t h （4.5） 其中 1 ( cos)() 2 jjjjjjj ml gl gg （4.6） 考虑到绳子的弹性，在拉伸过程中，绳子会发生伸缩。根据胡克定律，其伸缩长度 与受力成正比。第i号位置的队员处绳子的伸长效果是前8-i人伸长的总和，即 8 j j t x k （4.7） 特别，对于8号位置，有 8 8 t x k 。 由于绳子伸长所带来重力矩的增值可以由图4.2看出。 5 图图 4.2 考虑绳子伸长时带来重力矩位移的增值示意图考虑绳子伸长时带来重力矩位移的增值示意图 由图中几何关系可知

10、 1 () (cosarctancos) 1 tan jjj j jj sl x hl （4.8） 所以最终的给对方的合力为 8 1 () jj j mm f h （4.9） 其中 jjj mg s。 4.2 模型建立 f表达式中对 j m的求和部分是与参赛队员的排列无关的， 考虑对 j m的求和部分。参赛 队员的身高和体重是队员位置排列的主要影响因素。引入0-1变量 , 1 0 i j 第 个人在第 个位置 其他 i j 由于绳的身长之外的受力满足交换律，与人的位置无关，因此只考虑由于绳的伸缩引起 的拉力变化。定义拉力优化目标函数为 8888 1111 ijiiji j ijij maxmg

11、 s （4.10） 其中 i xj sj g gi g gi i i i i 6 88 1 1 () (cosarctancos) 1 tan 11 ( cos)() 2 arcsin () ii ijii ij ii jiiiiiii j i i i i gm g sl x hl xlgl gg kh hl l 约束条件为 8 1 8 1 1 1 i j i i j j （4.11） 由于绳索的伸长很小，上式可以利用微分近似化简为 3 tan1 () (cosarctancos)() 1cos tan j i ijiii j ii ii x sll x hl hl （4.12） 88 1 8

12、8 1 11 ( cos)() 2 13 ( cos) 2 jiiiiiii j i iiii j i xlgl gg kh lg kh （4.13） 将(4.13) 式代入 （4.10）式得到 88 11 3 8888 111 3 8888 111 88 1 tan113 ()( cos) cos2 tan113 ()( cos) cos2 ( iiji j ij i iillllij ijj l ii i iillllij ijj l ii iijll jl maxg s m gllg hl kh m gllg hl kh mn 88 11 ) ij （4.14） 其中 3 tan11 (

13、) cos i iii ii mm gl hl kh （4.15） 3 ( cos) 2 llll nlg （4.16） 由目标函数 （4.14）和约束条件（4.11）组成所导出的模型。 7 4.3 数值模拟 在数值模拟过程中，取0.6,0.7,0.2,0.5，不妨取麻绳的劲度系数 5000/kn m。 1） 身高一定时按体重的排布 参赛队员的身高和体重设定见表4.1。 表表 4.1 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/米 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 体重/千克 70 55 80 65 50 75 60 85 经过数值模拟，得到的最优

14、排序见表4.2，序号所代表的位置请参照图4.1，详细程序运 行结果见附录四。 表表 4.2 排序 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/米 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 体重/千克 85 80 75 70 65 60 55 50 表4.2说明，在参赛队员身高一致的情形下，体重大的队员应当排列在绳子末端。 2） 体重一定时按身高的排布 参赛队员的身高和体重设定见表4.3。 表表 4.3 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/米 1.60 1.85 1.95 1.80 1.75 1.65 1.90 1.70 体重/千克 60 60 60 60

15、 60 60 60 60 经过数值模拟，得到的最优排序见表4.3，详细程序运行结果见附录五。 表表 4.4 排序 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/米 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 体重/千克 60 60 60 60 60 60 60 60 表4.4说明，在参赛队员体重一致的情形下，身高低的队员应当排列在绳子末端。 3） 同时考虑体重和身高两个因素的排布 参赛队员的身高和体重设定见表4.5。 8 team b team a 表表 4.5 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/米 1.72 1.75 1.83 1.85 1.78 1.7

16、7 1.78 1.73 体重/千克 54 65 65 60 67 75 80 77 经过数值模拟，得到的最优排序见表4.6，详细程序运行结果见附录六。 表表 4.6 排序 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/米 1.72 1.85 1.75 1.83 1.78 1.77 1.73 1.78 体重/千克 54 60 65 65 67 75 77 80 5.问题 2 模型建立与求解 5.1 理论分析 在拔河比赛中，将每个队伍看作一个整体，比赛选手的集合记为,ba，考虑拔河 绳中间的小旗位置的变化，将比赛过程分为m+1个状态，记为, 2 , 1 , 0mm，在比 赛开始即 0 t时刻，小旗位于状态

17、 0 2 )0(m m j 处，在每一个时刻, 3 , 2 , 1t小旗的位置为itj)(，经过双方的对抗使得小旗位置发生 改变，若t时刻a队占优势，则在t+1时刻小旗位置变为1) 1(itj；若t时刻b队占 优势， 则在t+1时刻小旗位置变为1) 1(itj。 因此两支队伍在t时刻胜利的条件为： 若小旗到达位置0， 即0)(tj， 则左侧的队伍a胜利， 若小旗到达位置m， 即mtj)(， 则右侧的队伍b胜利（如图5.1） 。 图图 5.1 拔河绳索中点小旗位置示意图拔河绳索中点小旗位置示意图 分析比赛双方所产生的拉力。在比赛过程中的每个状态，两支队伍各自产生的拉力 是不断变化的，假设两支队伍

18、产生的拉力服从正态分布。即 ),( 2 1 nfa，),( 2 2 nfb （5.1） 由于我们考虑的是两支队伍的相对拉力的大小，不妨令1 21 ，则 21, 分别是两支 队伍产生的拉力所占两者总拉力的比例， 则再考虑时刻t， 小旗的位置为jtj)(的情况。 记 j p为从时刻t到时刻t+1，a队取得优势的概率为 9 )0()0()(epeepeepp baba （5.2） 两队的拉力差的分布为 )2 ,( 2 21 nfi （5.3） 因此 dxeepepp x 0 2 )( 2 2 21 2 1 1)0(1)0( （5.4） a队取得优势即a队在)(tj状态所产生的拉力大于b队在)(tj位

19、置所产生的拉力。 如果 在某时刻两支队伍产生的拉力相同，则比较下一时刻。从而t+1时刻小旗到达j1位置 的概率为 jj pq1。当0)(tj或mtj)(，之后的时刻始终停留在该位置，因此整个 比赛过程构成一带两个吸收壁的齐次markov链，其转移概率为 m)j(0 1 1 1 1 , ,0 , 0 jrp jrp p pp rj mm 当 当 （5.5） 其1步转移概率矩阵有如下形式 )1()1( 10 00 00000 0000 000001 ) 1 ( mm qp qp qp p （5.6） 其中 pq1 （5.7） 由于该markov链是齐次的，因此，n步转移概率为 npnp) 1 ()

20、( （5.8） 从而第n步时小旗位于0)(nj点处的概率 00 0mp n 即为)(np中第m+1行第1 列的元素。第n步时小旗位于mnj)(点处的概率 00 mmp n 即为)(np中第m+1 行第m+1列的元素。 当 21 时，即a队的总体实力要强于b队，在长时间的比赛中，小旗到达0点 处的概率显著大于小旗到达m点处的概率， 故此时应考虑n步转移概率矩阵)(np中第 2 m 行，第一列的元素大小，即)( 0, 2 npm。当该概率大于某一规定值时，我们称此时的m是 合理的规定值。即在确定m值后，当a队的实力期望值大于b队时，a队有超过该规 定值的概率在比赛中获胜。相应的，对于 21 的情况

21、，对)( , 2 np m m 用同样的方法进行 10 分析即可。 在运用上述方法确定m之后， 不妨假设每一个时刻两支队伍竞争所产生的位移为一 确定的常数 0 d，则比赛获胜的条件是一方将绳索拉过 2 )0 2 ( 0 md d m d， 再将该结果与目前的规则相对比，再提出进一步的改进方案。 5.2 数值模拟 假设一场比赛的时间为5分钟，每一次拉绳的时间为2秒钟，那么拉绳次数的上限 为150n 。不妨设 12 1，此时 1 和 2 分别表示a队和b队所提供的拉力所占的 总拉力的比例。假定每次进攻成功后a队每个参赛队员后退一步即5 . 0 0 d米，则比赛 获胜规定应为拉过绳索m/4米。 经过

22、数值模拟，以转移概率( )0.95p n 作为a队胜出的评价，m值的下限随 1 的 变化可由图2.2给出。 图图 2.2 m 值的下限随值的下限随 1 的变化的变化 由图易见，当a、b两队能力差异非常不明显时，无法找到100之内的m，使得a 队在150n 的条件下胜出比赛。条件16m 能够保证在a队、b队产生的拉力有一定 差距时，使a队在150n 的条件下胜出比赛。在这个条件下，比赛获胜规定应为拉过 绳索 1 4 4 m 米。 下面计算当16m，15. 0 21 ， 即425. 0,575. 0 21 ， 在方差为 2 2 2 1 时， 11 中心小旗在5分钟即150n步，从 2 m 转移至0

23、点的概率)( 0, 2 npm。 由（5.4）知 5840. 0 2 2 1 1 1 2 1 1 0 2 2 15. 0 0 2 )( 2 2 2 2 21 dxedxep x x j （5.9） 此时一步转移矩阵 1717 10 0.416005840. 00 0000.416005840. 00 0000.416005840. 0 000001 ) 1 ( p （5.10） 求得 )150( 0, 2 m p0.95 （5.11） 5.3 场地地面摩擦系数对比赛规则的影响 假设同组比赛队伍的各自队员的总体重大致相同， 由于每个队伍所能产生的最大拉 力的期望与的比赛场地摩擦系数 场地 成线性

24、关系 gbafe） 场地 ()( （5.12） 由之前分析知，双方的拉力差值服从 2 2121 2,)()(gbbaanf 场地 分布， 而每个状态中的各个队伍的位移与拉力差有 2 00 2 1 ats （5.13） 由于每个状态持续的时间相同，因此 0 t为一个常数，其中a为加速度，有 gbbaag g gbbaa g g f m f a 场地 场地 )()( )()( 2121 2121 （5.14） 令 21 aaa， 21 bbb，则上式为 场地 bgaga （5.15） 代入（5.15）得 12 2 0 2 0 2 1 2 1 tbgagats）（ 场地 （5.16） 根据之前确定的

25、16m，在整场比赛中，小旗的位移为 2 0 2 00 8 2 1 tbgagmtbgagmss）（）（ 场地场地 （5.17） 其位移与场地摩擦因数有关，与队伍所在重量级无关。因此原比赛规则未考虑比赛场地 对比赛胜利条件的影响，缺乏一定的科学性。 根据以上分析， 发现绳索位移大小与场地摩擦因数正相关， 因此， 作为具体的例子， 我们分室内拔河比赛与室外拔河比赛进行分析，因为室内场地摩擦因数较小，我们假设 其为室外的一半，并由于式（5.17）中常数项影响较小，因此比赛胜利条件可以修改为： 室内比赛：某一方拉过绳索2米即为比赛胜利； 室外比赛：某一方拉过绳索4米即为比赛胜利。 6. 问题 3 的解

26、答 第一条 拔河竞赛的定义 拔河竞赛是比赛双方以绳子为主要器械，凭借身体素质和心理素质以及技、 战术等将对方拉至相应标记线的对抗性比赛。 第二条 比赛类别 1.室内（体育馆）和室外 2.男子和女子 第三条 重量级别 320 至 360 公斤级；360 至 400 公斤级；400 至 440 公斤级；440 至 480 公斤 级；480 至 520 公斤级；520 至 560 公斤级；560 至 600 公斤级；600 至 640 公斤 级；640 至 680 公斤级；680 至 720 公斤级。 第四条 称重 参赛队员的体重以小数点后一位为有效，小数点后两位按四舍五入原则计算， 小数点后三位忽

27、略不计。即：队员体重位 70.1070.14 公斤，则记为 70.1 公斤； 体重位 70.1570.19 公斤则记为 70.2 公斤，依此类推。 8 名上场队员的总体重以 0.5 公斤为单位计算， 即 639.1639.4 公斤记为 639 公斤，639.5639.9 公斤记为 639.5 公斤，依此类推。 第五条 参赛队和替补 设置：领队 1 人、上场队员 8 人、替补队员 1 人。比赛进行中替补队员可以 替换任何一名选手。替补行为只能发生一次，被替换下的选手不允许参加该级别 的后续任何比赛。 第六条 比赛服装 1.参赛队必须正常身着，允许使用树脂（或镁粉）来帮助抓紧绳子，但仅限 用于手上

28、。如在室内进行比赛，只有在获得体育馆的可以使用树脂（或镁粉）的 授权，才可以使用。如果允许在体育馆中使用树脂（或镁粉），也只能在裁判的 指导下使用。 2.比赛用鞋： 1）室外比赛用鞋 鞋底和鞋跟以及鞋跟的侧面应完全齐平，不允许使用金属鞋尖，但可以使用 13 不超过 6.5 毫米的金属鞋跟上有长鞋钉和突出的鞋钉。 2）室内比赛用鞋 鞋底必须由橡胶或其他类似的适于增加粘着力的材料制成，但不能带有齿粒。 第七条 比赛用绳 绳子的周长必须在 100mm125mm 之间，上面不可以有结节或其它抓手。绳子 的长度应为 28m34m，质地为麻。绳子上粘贴的标记或标记带应便于裁判在绳子 伸缩时调整，标记宽 5

29、cm。 第八条 比赛场地和标记 比赛场地必须水平且平整，室外比赛场地的地面的干摩擦系数大致为 0.5，室 内比赛场地的地面的干摩擦系数大致为 0.25。 场地一般应为（1-2）m 宽（33-37）m 长，各条标记线线宽均为 5cm。中心 线为红色，2m 线为白色，其他标记线使用白色，标记线间距为 2m。 第九条 拔河姿势 选手不得握在绳子中心线标记与第二标记之间的部分，在每次比赛开始时， 排在首位的选手应抓在尽量靠近第二标记的地方。 不得在绳子上打结或系圈，也 不得将绳子系在任何一名选手身上的任何部分。 每名选手应以正常的姿势赤手握绳，手心向上。绳子应从身体和上臂之间穿 过，脚的位置应伸在膝盖

30、之前，选手们应在比赛中自始至终保持这一拔河姿势。 第十条 赢得比赛 1.室外比赛中，当一方绳子上的第一标记（4m 处标记线）被拉超过地面的中 心线时，判对方获胜。 2.室内比赛中，当一方绳子上的第一标记被拉超过地面的对侧 2 米线标记时， 判对方获胜。 3.比赛中，一方被取消资格，判对方获胜。 7. 问题 4 的解答 案由： 案由： 将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的建议 内容： 内容： 拔河比赛起源于中国的春秋战国时期，唐宋后渐在民间盛行，是中华民族传统的 民间体育娱乐项目。拔河运动强度大，对抗性强，需要很大的静止力和耐久力， 能够锻炼参加者的身体机能。在拔河过程中，团队协作能力是至关重

31、要的，这样 便能够培养参赛者的合作精神，由此拔河比赛能够使参赛者身心受益。 为此，我们建议： 1. 增强学生体育锻炼的意识，以组织比赛的形式为平时缺乏体育锻的大学生们创 造运动机会，提供展现个人、集体风采的舞台。通过拔河比赛，发扬团队精神， 增强组织凝聚力，使学生们体会集体的力量。 2. 在大学生春季、秋季运动会中加入拔河运动项目，比赛以学院与学院对决的形 式进行。 3. 在全国大学生运动会中加入拔河运动项目。 14 参考文献 1 kai a.konrad,dan kovenock，equilibrium and efficiency in the tug-of-war，cesifo work

32、ing paper no.1564 2胡五生，李小平， 拔河比赛中，身子越向后倾越好吗？ ，物理教师，2003 年第 24 卷第 1 期 3 李林，石文星， 拔河史话与力学分析 ，力学与实践，2000 年第 22 卷 4李茂， 拔河比赛的物理模型 ，物理通报，2009 年第 1 期 5伊藤 清， 随机过程 ，人民邮电出版社 6漆安慎， 力学 ，高等教育出版社 15 附录 附录一：第一问排序的规划 sets: hang/1.8/:l,ang,mass,cos,tan,deltax; lie/1.8/; people(hang,lie):m,x,g,s; endsets data: mass=54

33、 65 65 60 67 75 80 77;!此处替换为需要的数据 l=1.72 1.75 1.83 1.85 1.78 1.77 1.78 1.73 ; !此处替换为需要的数据 h=1; u=0.5; lamda=0.6; k1=30000; k=0.2; beta=0.7; enddata max=sum(people:m*x); for(hang(i):for(lie(j):g(i,j)=mass(i)*9.8); for(hang(i):ang(i)=asin(h-k*l(i)/(beta-k)*l(i); for(hang(i):cos(i)=cos(ang);); for(hang

34、(i):tan(i)=tan(ang);); for(lie(j):sum(hang(i):x(i,j)=1); for(hang(i):sum(lie(j):x(i,j)=1); deltax(1)=sum(hang(i):sum(lie(j):1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)*l(i)*g( i,j)/k1/h); deltax(2)=sum(hang(i):sum(lie(j)|2#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i)*g(i,j)/k1/h); deltax(3

35、)=sum(hang(i):sum(lie(j)|3#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i)*g(i,j)/k1/h); deltax(4)=sum(hang(i):sum(lie(j)|4#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i)*g(i,j)/k1/h); deltax(5)=sum(hang(i):sum(lie(j)|5#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i)*g(i,j)/k1/

36、h); deltax(6)=sum(hang(i):sum(lie(j)|6#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i)*g(i,j)/k1/h); deltax(7)=sum(hang(i):sum(lie(j)|7#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i)*g(i,j)/k1/h); deltax(8)=sum(hang(i):sum(lie(j)|8#le#j:1.5*k*u*l(i)*g(i,j)*x(i,j)+(lamda*cos(i)-k)* l(i

37、)*g(i,j)/k1/h); for(hang(i):for(lie(j):s(i,j)=lamda*l(i)*(cos(atan(1/(1/tan(i)+deltax(i)/(h-k*l (i)-cos(i); for(hang(i):for(lie(j):m(i,j)=g(i,j)*s(i,j); 16 for(people:bin(x); end 附录二：计算马尔柯夫链的 n 步转移概率 segma=0.5; j=0; mm=zeros(50,1); for u1=0.51:0.01:1 j=j+1; u2=1-u1; d=(0-(u1-u2)/(sqrt(2)*segma); f=n

38、ormcdf(d); pp=1-f; for m=4:2:100 p1=zeros(m+1); p1(1,1)=1; p1(m+1,m+1); for i=2:m p1(i,i-1)=pp; p1(i,i+1)=f; end pp150=p1150; if(pp150(floor(m/2),1)=0.95) if(mm(j)=0 mm(j)=m; end end end end u=0.51:0.01:1; figure; plot(u,mm) 附录三：计算马尔柯夫链转移矩阵 segma=0.5; j=0; mm=zeros(50,1); u1=0.575; u2=1-u1; d=(0-(u1

39、-u2)/(sqrt(2)*segma); f=normcdf(d); pp=1-f; m=16; 17 p1=zeros(m+1); p1(1,1)=1; p1(m+1,m+1); for i=2:m p1(i,i-1)=pp; p1(i,i+1)=f; end p1 pp150=p1150; pp150(m/2,1) 附录四：体重相同时，不同身高的排序结果（部分省略） global optimal solution found. objective value: 651.1867 objective bound: 651.1867 infeasibilities: 0.000000 ext

40、ended solver steps: 1 total solver iterations: 1429 variable value reduced cost h 1.000000 0.000000 u 0.5000000 0.000000 lamda 0.6000000 0.000000 k1 30000.00 0.000000 k 0.2000000 0.000000 beta 0.7000000 0.000000 l( 1) 1.600000 0.000000 l( 2) 1.650000 0.000000 l( 3) 1.700000 0.000000 l( 4) 1.750000 0

41、.000000 l( 5) 1.800000 0.000000 l( 6) 1.850000 0.000000 l( 7) 1.900000 0.000000 l( 8) 1.950000 0.000000 mass( 1) 60.00000 0.000000 mass( 2) 60.00000 0.000000 mass( 3) 60.00000 0.000000 mass( 4) 60.00000 0.000000 mass( 5) 60.00000 0.000000 mass( 6) 60.00000 0.000000 mass( 7) 60.00000 0.000000 mass( 8

42、) 60.00000 0.000000 x( 1, 1) 1.000000 -0.1373307e-01 18 x( 2, 2) 1.000000 0.000000 x( 3, 3) 1.000000 0.000000 x( 4, 4) 1.000000 0.000000 x( 5, 5) 1.000000 0.000000 x( 6, 6) 1.000000 0.000000 x( 7, 7) 1.000000 0.000000 x( 8, 8) 1.000000 -0.1914537e-01 附录五：体重不同时，相同身高的排序结果（部分省略） global optimal solution

43、 found. objective value: 677.1313 objective bound: 677.1313 infeasibilities: 0.000000 extended solver steps: 1 total solver iterations: 1211 variable value reduced cost h 1.000000 0.000000 u 0.5000000 0.000000 lamda 0.6000000 0.000000 k1 30000.00 0.000000 k 0.2000000 0.000000 beta 0.7000000 0.000000 l( 1) 1.700000 0.000000 l( 2) 1.700000 0.000000 l( 3) 1.700000 0.000000 l( 4) 1.700000 0.000000 l( 5) 1.700000 0.000000 l( 6) 1.700000 0.000000 l( 7) 1.700000 0.00