二次函数与圆的综合

1、二次函数与圆的综合5（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点a（3，0），b（1，0），与y轴相交于点c，o1为abc的外接圆，交抛物线于另一点d（1）求抛物线的解析式；（2）求coscab的值和o1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为p，连接bp，cp，bd，m为弦bd中点，若点n在坐标平面内，满足bmnbpc，请直接写出所有符合条件的点n的坐标考点：二次函数综合题1171131分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）如答图1所示，由aoc为等腰直角三角形，确定cab=45，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定bo1c为等腰直角三角形，从而求出半径的长

2、度；（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点d坐标，进而求出点m的坐标和线段bm的长度；点b、p、c的坐标已知，求出线段bp、bc、pc的长度；然后利用bmnbpc相似三角形比例线段关系，求出线段bn和mn的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点n的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点a（3，0），b（1，0），解得a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，c（0，3），oc=oa=3，则aoc为等腰直角三角形，cab=45，coscab=在rtboc中，由勾股定

3、理得：bc=如答图1所示，连接o1b、o1c，由圆周角定理得：bo1c=2bac=90，bo1c为等腰直角三角形，o1的半径o1b=bc=（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）21，顶点p坐标为（2，1），对称轴为x=2又a（3，0），b（1，0），可知点a、b关于对称轴x=2对称如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点d、点c（0，3）关于对称轴对称，d（4，3）又点m为bd中点，b（1，0），m（，），bm=；在bpc中，b（1，0），p（2，1），c（0，3），由两点间的距离公式得：bp=，bc=，pc=bmnbpc，即，解得：bn=，mn=设n（x，y），由两点间的距离公式可得：

4、，解之得，点n的坐标为（，）或（，）点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点n有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点n的坐标6（2011遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过a（3，0），b（4，1）两点，且与y轴交于点c（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a0）的函数关系式及点c的坐标；（2）如图（1），连接ab，在题（1）中的抛物线上是否存在点p，使pab是以ab为直角边的直角三角形？若存在，求出点p

5、的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接ac，e为线段ac上任意一点（不与a、c重合）经过a、e、o三点的圆交直线ab于点f，当oef的面积取得最小值时，求点e的坐标考点：二次函数综合题1171131分析：（1）根据a（3，0），b（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当pab是以ab为直角边的直角三角形，且pab=90与当pab是以ab为直角边的直角三角形，且pba=90，分别求出符合要求的答案；（3）根据当oeab时，feo面积最小，得出om=me，求出即可解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3（a0）经过a（3，0），b（4，1）两点，解得：，y=x2x+

6、3；点c的坐标为：（0，3）；（2）假设存在，分两种情况：当pab是以ab为直角边的直角三角形，且pab=90，如图1，过点b作bmx轴于点m，a（3，0），b（4，1），am=bm=1，bam=45，dao=45，ao=do，a点坐标为（3，0），d点的坐标为：（0，3），直线ad解析式为：y=kx+b，将a，d分别代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x 23x=0，解得：x=0或3，y=3，y=0（不合题意舍去），p点坐标为（0，3），点p、c、d重合，当pab是以ab为直角边的直角三角形，且pba=90，如图2，过点b作bfy轴于点f，由（1）得，f

7、b=4，fba=45，dbf=45，df=4，d点坐标为：（0，5），b点坐标为：（4，1），直线bd解析式为：y=kx+b，将b，d分别代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4（舍），y=6，p点坐标为（1，6），点p的坐标为：（1，6），（0，3）；（3）如图3：作emao于m，直线ab的解析式为：y=x3，tanoac=1，oac=45，oac=oaf=45，acaf，sfeo=oeof，oe最小时sfeo最小，oeac时oe最小，acafoeafeom=45，mo=em，e在直线ca上，e点坐标为（x，x+3），

8、x=x+3，解得：x=，e点坐标为（，）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握7（2011襄阳）如图，在平面直角坐标系xoy中，ab在x轴上，ab=10，以ab为直径的o与y轴正半轴交于点c，连接bc，accd是o的切线，ad丄cd于点d，tancad=，抛物线y=ax2+bx+c过a，b，c三点（1）求证：cad=cab；（2）求抛物线的解析式；判断抛物线的顶点e是否在直线cd上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点p，使四边形pbca是直角梯形？若存在，直接写

9、出点p的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题1171131分析：（1）连接oc，由cd是o的切线，可得occd，则可证得ocad，又由oa=oc，则可证得cad=cab；（2）首先证得caobco，根据相似三角形的对应边成比例，可得oc2=oaob，又由tancao=tancad=，则可求得co，ao，bo的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得focfad，由相似三角形的对应边成比例，即可得到f的坐标，求得直线dc的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（3）根据题意分别从pabc与pbac去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（

10、1）证明：连接oc，cd是o的切线，occd，adcd，ocad，oca=cad，oa=oc，cab=oca，cad=cab；（2）解：ab是o的直径，acb=90，ocab，cab=ocb，caobco，即oc2=oaob，tancao=tancad=，ao=2co，又ab=10，oc2=2co（102co），co0，co=4，ao=8，bo=2，a（8，0），b（2，0），c（0，4），抛物线y=ax2+bx+c过点a，b，c三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x+4；设直线dc交x轴于点f，aocadc，ad=ao=8，ocad，focfad，8（bf+5）=5（

11、bf+10），bf=，f（，0）；设直线dc的解析式为y=kx+m，则，解得：，直线dc的解析式为y=x+4，由y=x2x+4=（x+3）2+得顶点e的坐标为（3，），将e（3，）代入直线dc的解析式y=x+4中，右边=（3）+4=左边，抛物线顶点e在直线cd上；（3）存在，p1（10，6），p2（10，36）a（8，0），c（0，4），过a、c两点的直线解析式为y=x+4，设过点b且与直线ac平行的直线解析式为：y=x+b，把b（2，0）代入得b=1，直线pb的解析式为y=x1，解得，（舍去），p1（10，6）求p2的方法应为过点a作与bc平行的直线，可求出bc解析式，进而求出与之平行的直线

12、的解析式，与求p1同法，可求出x1=8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=36p2的坐标（10，36）点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用8（2011潍坊）如图，y关于x的二次函数y=（x+m）（x3m）图象的顶点为m，图象交x轴于a、b两点，交y轴正半轴于d点以ab为直径作圆，圆心为c定点e的坐标为（3，0），连接ed（m0）（1）写出a、b、d三点的坐标；（2）当m为何值时m点在直线ed上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示aed的面积s，并在

13、给出的直角坐标系中画出s关于m的函数图象的示意图考点：二次函数综合题1171131专题：压轴题；分类讨论分析：（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出a、b、d三点的坐标；（2）待定系数法先求出直线ed的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当0m3时，当m3时两种情况讨论求得关于m的函数解答：解：（1）令y=0，则（x+m）（x3m）=0，解得x1=m，x2=3m；令x=0，则y=（0+m）（03m）=m故a（m，0），b（3m，0），d（0，m）（2）设直线ed的解析式为y=kx+b，将e（3，0），d（0，m）代入得：解得，k=，b=m直线ed的解析式为y=mx+

14、m将y=（x+m）（x3m）化为顶点式：y=（xm）2+m顶点m的坐标为（m，m）代入y=mx+m得：m2=mm0，m=1所以，当m=1时，m点在直线de上连接cd，c为ab中点，c点坐标为c（m，0）od=，oc=1，cd=2，d点在圆上又oe=3，de2=od2+oe2=12，ec2=16，cd2=4，cd2+de2=ec2edc=90直线ed与c相切（3）当0m3时，saed=aeod=m（3m）s=m2+m当m3时，saed=aeod=m（m3）即s=m2_ ms关于m的函数图象的示意图如右：点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x轴，y轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定

15、，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法注意分析题意分情况讨论结果9（2011邵阳）如图所示，在平面直角坐标系oxy中，已知点a（，0），点c（0，3），点b是x轴上一点（位于点a的右侧），以ab为直径的圆恰好经过点c（1）求acb的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过a、b两点，求抛物线的解析式；（3）线段bc上是否存在点d，使bod为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点d的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题1171131专题：综合题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到acb的度数（2）利用三角形相似求出点b的坐标，然后把a，b两点的坐标代入抛物线求出抛物线

16、的解析式（3）分别以ob为底边和腰求出等腰三角形中点d的坐标解答：解：（1）以ab为直径的圆恰好经过 点c，acb=90（2）aoccob，oc2=aoob，a（，0），点c（0，3），oc=3，又co2=aoob，ob=4，b（4，0）把 a、b、c三点坐标代入得（3）od=db，如图：d在ob 的中垂线上，过d作dhob，垂足是h，则h是ob中点dh=，d，bd=bo，如图：过d作dgob，垂足是g，=，ob=4，cb=5，cd=bcbd=bcob=54=1，=，=，=，og=，dg=，d（，）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据圆周角的性质求出角的度数（2）用待定系数法求出抛物

17、线的解析式（3）根据等腰三角形的性质确定点d的坐标一个人懂你，就是时时关心你；就是刻刻在乎你；就是凡事想着你。懂你的人，会想着你的冷暖，想着你的忧乐，想着你是否安好。懂你，是心灵的一种呵护，是生命的一种温度，是彼此间的一种温馨。因为有人懂你，你流在眼角的泪水有人擦；因为有人懂你，你欢笑时有人陪你笑；因为有人懂你，你寂寞时有人陪；因为有人懂你，你有难时有人帮；因为有人懂你，你痛苦时有人安慰。懂你的人是你的知己，甚至比知己更知己。知己也只能是无话不说，心心相印，情同手足，休戚与共。而懂你的人则更进一层，如若懂得，你的一个眼神，便能会意；你的一个暗示，便能心领；你任何一个神情，便会心有灵犀。懂你的人

18、，会对你心领神会，了如指掌，会对你的了解犹如了解自己。懂，是世界上最温情的语言。浅浅的微笑，却包含着深深的喜欢；淡淡的祝福，却包含着浓浓的情意；短短的问候，却包含着长长的思念。有时只说了只言片语，却胜似万语千言；有时只是一个眼神，一个动作，却能让你心间温暖如春。懂你的人，最懂你的苦衷，最懂你的心累，最懂你的真诚，最懂你的内心世界。因为懂得，所以心相同；因为懂得，所以才心疼；因为懂得，所以才感动！懂你，是一种深深的理解；懂你，是一种默默的喜欢；懂你，是一种暖暖的陪伴。有一个懂你的人，真的就是一种幸福。你不会十全十美，他也不会十全十美，但两个都不完美的人却能撞出心灵的火花，却能达到无与伦比的默契，却能达成无法形容的融合，该是怎样的互懂？！最懂你的