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1、准则1：若数列、满足以下条件： （i） ，当时，有； （ii），。 那么数列极限存在，且。证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以 。准则1如果函数满足下列条件：（i）当时，有。（ii）当时，有。那么当时，的极限存在，且等于。第一个重要极限：作为准则I的应用，下面将证明第一个重要极限：。证明：作单位圆，如下图：设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即 ， （因为，所以上不等式不改变方向，若，不等式也成立） 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为，所以 而 ，证毕。真相：，g(x)为此极限变化趋势下的无穷小。例1 。例2

2、 。例3 。例4 。准则：单调有界数列必有极限如果数列满足：，就称之为单调增加数列；若满足：，就称之为单调减少数列；同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界；若，使得：，就称有下界。回顾：收敛于有界的关系：收敛有界。准则：单调上升，且有上界的数列必有极限。准则: 单调下降，且有下界的数列必有极限。注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则，可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。的几何解释：单增数列的点只可能向数轴右方移动，或者无限向右移动，或无限趋近于某一定点A，而有界数列只可能后者发生。第二个重要极限：作为准则的一个应用，下面来证明极限是存在的。先考虑取正整数时的情形：设，证明是单调有界的。 易得由上式知有界。由准则或知 存在，并使用来表示，即注 1：关于此极限存在性的证明，书上有不同的方法，希望同学自己看！ 2：我们可证明：，具体在此不证明了，书上也有，由证明过程知：。 3：指数函数及自然对数中的底就是这

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