第一章-空间直角坐标-平面和直线

1、第三章 二次曲面1求下列球面的中心和半径：1）；解：原方程化为：，则球面中心（6,-2,3），半径R=72）；解：原方程化为：，则球面中心（1,-2,3），半径R=63）。解：原方程化为：，则球面中心（-4,0,0），半径R=42求下列圆的中心和半径：1）解：球面方程为：，则球面心0（6,-2,3），半径R=5球心O到平面a:2x+y+z+1=0的距离 平面a与球不相交 故只能形成虚圆。2）解：球心O（0，0，0），半径为R，则：球心O到平面的距离要能形成圆，则球面必须与平面相交，即：设球O到平面上的垂足为为球面与平面相交所形成的圆的圆心，即平面，又设：，则：，即：设圆的半径为r，则：r=圆的

2、中心，半径r=3求下列球面的方程：1）过点（1，-1，1），（1，2，-1），（2，3，0）和坐标原点；解：设球面方程为：，则：所求球面方程为：2）过点（1，2，5），与三个坐标平面相切；解：设球面方程为：，则：所求球面方程为：3）过点（2，-4，3），且包含圆：。解：由题可知球心在z轴，设球心坐标为（0，0，C），则：球的半径为：R2=C2+5设球的方程为：，则：4+16+（3-c）2=c2+5 c=4所求球的方程为：4求半径为、对称轴为的圆柱面的方程。解：法一：设点（x, y, z）为圆柱面上任意一点，则该点到对称轴的距离为：d=2 即：所球圆柱面的方程为：法二：对称轴方程为 对称轴过原点

3、（0，0，0）设为圆柱面上任意一点，再在对称轴上取一点使得对称轴，由题意有：对称轴在对称轴上消去参数得圆柱面方程为：5设圆柱面的对称轴为直线：，且知点M（1，-2，1）在这个圆柱面上，求这个圆柱面的方程。解：法一：圆柱面的对称轴：点M到对称轴的距离为： 设点（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则：即：所球圆柱面的方程为：法二：设圆柱面的对称轴为即M（1，-2，1）到l的距离：，l过点A（0，1，-3）设点P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则：为对称轴上一点，使得：PM0在同一纬圆上，且M0为该纬圆的圆心，依题意有： 在l上消去数得圆柱方程为：6求顶点为（1，2，3），轴与平面2x+

4、2y-z+1=0垂直、母线和轴夹角为的圆柱面的方程。解：设顶点A（1，2，3），在圆锥面上任取一点M（x, y, z），则过点A，M的直线l的方向数为（x-1, y-2, z-3）因轴与平面2x+2y-z+1=0垂直，则轴的方向数为（2，2，-1），即轴的方向余弦为（），直线l的方向余弦为因直线l与轴的夹角为，则： 整理即得圆锥面方程为：7求顶点为（1，2，4），轴与平面垂直且经过点（3，2，1）的圆锥面的方程。解：设M（1，2，4），P0（3，2，1），=（2，0，-3）轴的方向数为：（2,2,1)的夹角为：设点P（x, y, z）是圆锥面上的任意一点，则：以： 即：所求圆锥面的方程为：8给

5、定球面，求1）过点（1，5，2）的切平面的方程；解：球面方程为：平面的法向量为：（2，3，4）所求平面方程为：2）以（2，6，10）为顶点的切锥面的方程。解：球心0（-1，2，-2），半径R=，切锥面顶点P（2，6，10）轴的方向数为： 轴与母线夹角的余弦为：设点M（x, y, z）为切锥面上的点，则：故：所求方程为：9已知圆柱面的三条母线为求这圆柱面的方程。解：法一：由题知圆柱面的轴线的方向数为（1，1，1）， 设点A（x1, y1, z1）在轴线上，则： 令x1=1，则：A（1，0，2） 轴线方程为：x-1=y=z-2母线与轴线间的距离为：，设点P（x, y, z）为圆柱面上的任意一点，则

6、： 即故：所求圆柱面的方程为：法二：因三条母线，分别过定点A1（0，0，0），A2（1，-1，0），A3（1，-1，0），设过A1，A2，A3后平面则有：则：A=B=C，D=0即平面，则圆柱面的准线为平面相交所形成的圆，设圆的方程为：A1（0，0，0），A2（-1，0，1），A3（1，-1，0）在圆上，则有C是任意的 取C=0，则：A=2，B=4，C=0，D=0故准线方程为：设M0（x0, y0, z0）是准线上的任意一点，M（x, y, z）为相应母线上一点，则有：消去参数，得圆柱面方程：10求柱面的方程：1）准线为： 母线平行于X轴；解：母线的方向数为（1，0，0）设P（x, y, z）是

7、柱面上的点，M（x, y, z）是准线上的点且使MP为一条母线，则：过M的母线方程为： *再设，则：x1=x-t, y1=y, z1=z代入*得：y2=2z所求柱面的方程为：y2=2z2）准线为： 母线平行于向量（1，-1，1）。解：设P（x, y, z）是柱面上的点，M（x1, y1, z1）是准线上的点且使MP为一条母线，则：过M的母线方程为： *再设，则：x1=x-t, y1=y+t, z1=z-t代入*得：故：所求柱面方程为：11求顶点（4，0，-3）准线为 的锥面的方程。解：设点M（x1, y1, z1）是准线上的一点，P（4，0，-3）是顶点，则：PM为一条母线： *令，则：代入*

8、得：故：所求锥面方程为：12求旋转面的方程：1）绕旋转；解：轴过点A（0，0，1），设M0（x0, y0, z0）为直线上一点，M（x, y, z）为旋转面上任意一点，使M0，M在同一纬圆上，则： 轴在直线 消去参数，得旋转面方程：2）绕旋转；解：轴过点A（0，0，1），设M0（x0, y0, z0）为上一点，P（x, y, z）为旋转面上任意一点，且M0，P在同一纬圆上，则： 点M0在上，旋转轴由上可得旋转面方程为：3）绕z轴旋转；解：因z轴为旋转轴，则旋转轴过A（0，0，1），设M0为直线上一点，M（x, y, z）为旋转面上一点，且M，M0在同一纬圆上，有： M0为直线上一点 z=z0由

9、上可得，旋转面方程为：10z2+6z+9=9（x2+y2）4）绕旋转；解：旋转轴过A（0，0，1），设M0（x0, y0, z0）为上一点，M（x, y, z）为旋转面上一点，且M0，M在同一纬圆上，则有： M0在 上 由以上得旋转面方程：5）圆 绕Z轴；解：设M0（x0, y0, z0）为圆上一点，M（x, y, z）是旋转面上任意一点，且M0与M共纬圆，则由圆绕z轴旋转有：由上可得旋转面方程：6）空间曲线绕Z轴。解：因z轴为旋转轴，记A（0，0，1）为z轴上一点，设M0（x0, y0, z0）是曲线上一点，M（x, y, z）为旋转面上的一点，且M，M0在同一纬圆上，则有： 由上得，旋转面

10、方程：13画出下列曲面的简图：1） 2）；3） 4）；5）； 6）7） 8）9） 10）14适当选取坐标系，求下列轨迹的方程，并画图：1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；解：选取合适的坐标条，使两定点A（a，0，0），B（-a，0，0），则P（x, y, z）为空间内一点，则设即：当k=1时，轨迹为平面x=0当k1时，轨迹为以点（）为球心，为半径的球面。2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；解：选取合适的坐标条，使两定点A（a，0，0），B（-a，0，0），则P（x, y, z）为空间内一点， 即：轨迹方程为：3）到两定点距离之差等于常数的点的轨迹；解：选取合适的坐标条，使两定点A（a，

11、0，0），B（-a，0，0），设P（x, y, z）为任意一点， 即：当k=0时，轨迹方程为：x=0当k1时，轨迹方程为： 4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹；解：以定点O为坐标原点，建立空间直线坐标条，设定平面为Ax+By+Cz+D=0，设P（x, y, z）为任意一点，由已知可得：，即：轨迹方程为：5）求与二给定直线等距离的点轨迹的方程，已知二直线之间的距离为a，夹角为a（取公垂线为z轴，中点为原点，X轴与二直线成等角）。解：以两直线的公垂线为z轴，公垂线中点为原点，x轴与二直线成等角建立坐标条设两直线分别为l1, l2,l1与z轴交点A（0，0，），l2与z轴交点B（0，0

12、，-），l1, l2,与x轴夹角都为，l1, l2与z轴夹角都为，由方向余弦公式，可知：，则：，因l1与l2异面，则l1与l2的方向余弦不相等，即：l1的方向余弦为（），l2的方向余弦为（）或l1的方向余弦为（），l2的方向余弦为（）则：l1的方程为：，l2的方程为：，设p（x, y, z）为满足条件的一点，则有：当l1的方向余弦为（），则同理有：综上：轨迹方程为：15已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆 及点，求这个椭球面的方程。解：由题可设椭球面的方程为：又过点M（1,2, ），则有： 故：所求椭球圆的方程为：16已知椭圆抛物面的顶点为原点，对称面为XZ和YZ平面，且过点（）和（），求这

13、个椭圆抛物面的方程。解：由题可设椭圆抛物面的方程为：，则：所求椭圆抛物面的方程为：17求直线族所成的曲面。解：由得：所求曲面的方程为：18求下列三条直线同时相交的直线所产生的曲面：解：先写出通过直线l1和l2的两个平面来的方程：（1） （2）直线l3上的动点坐标为：（3）分别将（3）代入（1）得：，代入（2）得： 于是得线来：所求曲面的方程为：19求下列曲线在各坐标面上投影的方程，画出简图：1）解：在YOZ平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影：（2，3，0），（2，-3，0）2）解：在YOZ平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影： 3）解：在YOZ

14、平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影：4）解：在YOZ平面上的投影： 在XOZ平面上的投影： 在XOY平面上的投影：20用不等式表出下列曲面所围成的区域，并作简图：1）解：2）解：3）解：第四章 正交变换和仿射变换1求出把点（2，3，0）变成点（0，-1，1）的平移的公式。把曲面和变成什么曲面？解：a1=0-2=-2，a2=-1-3=-4，a3=1-0=1， 设该平移的a后的点为（x, y, z），则平移前的点为：（x+2, y+4, z-1）把曲面变成曲面把曲面变成曲面2求出绕Y轴左旋的旋转的公式，把曲面和变成什么曲面？解：旋转：把曲面变成曲面：把曲面变成曲面：3求前两题中变换乘积和的公式。解：的公式：的公式：4设,是三个变换，证明证明：设点P为任意一点，则： 故：5设,是两个变换，证明证明：又 6求出把点（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1）分别变成点（0，0，0），（0，0，1），（1，0，0）的旋转。解：由题可设旋转公式为：将（0，1，0），（0，0，1）代入得：a12=0，a22=0，a32=1，a13=1，a23=0，a33=0而：又：故：旋转公式为：7求出对于平面的反射公式。解：设点（x, y,