07 三角形内切圆教师

1、07. 三角形内切圆 四平路校区：65107076；浦东校区：68869972第07讲 三角形内切圆【知识点】【三角形的内切圆】三角形的内切圆：如果一个三角形三边所在直线都与一个圆相切，称圆为三角形的内切圆；三角形为圆的外切三角形，内切圆的圆心称为三角形的内心（三条角平分线交点）.如图，为ABC内心，、平分、，其中：（1），；（2）内切圆半径：.（任意三角形）.（3）在直角三角形中（其中a、b为直角边，c为斜边），有这样两个简便公式：（i），（ii）.【证明】【三角形的旁切圆】与三角形其中一边和另外两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心，旁心是三角形一内角平分线和另外两外

2、角平分线的交点，每个三角形有三个旁心.【例题精讲】【内心的概念及应用】1. 如图，已知ABC中，cm，cm，cm，是ABC的内心，与分别相切于点.求线段的长.解：令由切线长定理，得2. 点是ABC的内心，交边于点，交ABC的外接圆于点，求证：（1）；（2）是和的比例中项3. RtABC的内切圆切斜边于点，切于点，的延长线交于点求证：证：连，即4. 已知ABC中，为它的内心，的延长线交于点，过A、B、D三点作，交于点求证：5. 在上，以为圆心的圆交于A、B，的弦交于，求证：为ABC的内心【综合练习】6. 内切于菱形，切点是E、F、G、H，求证：是对角线和的交点7. 如图所示，等腰ABC中，内切圆

3、半径为1，求腰长解：令与的切点为，与的切点为，则有三点共线，和都是直角三角形，设，则，又，于是有，解得，8. 设是ABC的内心，于，且有，求证：证明：设，则，由题意知，9. 等腰ABC中，ABC的面积为60，求ABC内切圆的半径分析：先求出底边与高的长，再计算内切圆半径，两步都分别有两种方法第一步：法一：设的内切圆圆心为，过作于，为的平分线在上设，而在中，由勾股定理知，解得或法二：设，则，由勾股定理知：，整理得，解得或，或第二步：法一：由面积知，当时，当时，法二：设切于，连，则，又，设的半径为，当时，解得当时，解得的内切圆半径为或10. 已知：O为ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，求的值1

4、1. 在ABC中，与是角平分线，是内心若C、D、I、E四点共圆，且，求的长解：四点共圆，而，连，即，12. 试证：对于任何三角形，其内切圆圆心和旁切圆圆心的连线都被其外接圆圆周所平分证明：平分，平分，即，平分，得证13. 如图所示，ABC的内心为，内切圆分别切于点如果交于，求证：14. 如图，点为上的一点，使得，ACD的外接圆交于点，证明：为CDE的内心法一：连，为的角平分线因此，只需再证明：为的角平分线，在以为圆心的圆周上，由同弧所对圆心角与圆周角的关系可知：，即为的角平分线法二：连，为的角平分线因此，只需再证明：为的角平分线设交的外接圆于点，则由，可知共线，为，为，于是为，又，故为，即为，

5、即为的角平分线【课后作业】1. 如果用分别表示直角边和斜边的长，那么直角三角形的内切圆半径长可以怎样表示？解一：设内切圆半径为则解二：且为正方形，设则或写为【注】内切圆半径：.2. 如图，ABC的面积为S，周长为，的三边在ABC外，且与对应边的距离均为，求周长与面积3. 是ABC的内心，线段延长交ABC的外接圆于，若，且，求解：，设，则有，即，解得，由角平分线定理得：，由等比性质可知：，4. 已知ABC中，AD、BE、CF是角平分线，则当且仅当【备用题】1. 如图，在凸四边形中，它的四个内角中，有两个是锐角，其度数分别为、求另外两个内角的度数2. 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明：这直角三角形为等