环境规划与管理的数学基础培训教程(ppt 82页).ppt

1、第四章环境规划与管理的数学基础,第0节环境规划与管理对数学的依赖第一节环境数据处理方法第二节最优化分析方法第三节常用决策分析方法第四节环境数学模型思考题与习题,引言：在环境规划与管理中，遇到大量的有关环境质量、污染物排放、生态指标、水文气象以及经济和社会发展的基础数据。这些数据的特点是量大、多元和具有不确定性。如何整理分析这些基础数据，并从这些基础数据中概况出一些描述环境的基本特征和概念？如何从这些数据中探讨和分析各种环境因素之间的关系，预测各种环境因素和环境系统的变化发展趋势？在进行环境规划时，如何将环境系统规划的决策问题简化为在预定目标函数和约束条件下，对由若干决策变量所代表的方案进行优化

2、决策？如何建立此类优化决策的数学模型？这些都需要概率论、数理统计、最优化理论的基本计算方法。本章内容将介绍这些数学理论在环境规划与管理中的应用。,第0节环境规划与管理对数学的依赖,0.1、环境规划与管理对数学的依赖,数据处理的需要环境科学、环境规划与环境管理、环境工程、环境评价过程中有大量的观测数据、调查数据、实验数据和工程数据需要进行统计分析、拟合、回归，旨在从这些杂乱无章的数据中发现科学规律对更高级别的环境系统的模拟通过模拟达到对环境系统的量化认识，优化规划、准确预测以及科学决策的目的，定量化、模型化成为环境科学研究、环境规划、环境管理等实践工作的工具，这些是环境科学发展的一种趋势,数学基

3、础的重要性体现：环境科学以其所依托的传统学科之间交叉互动发展的需要传统学科如化学、水文学、地学、流体力学、生态学、经济学的定量化、模型化发展促使数学模拟在环境科学的大发展。环境科学的许多模型都依托这些传统学科的发展而发展的。流体运动方程用来描述水、大气环境介质中污染物迁移的重要基础。物理化学中的吸附、挥发方程和流体力学基本方程结合用于模拟吸附或挥发的污染物质在环境介质中的迁移扩散。量化认识、准确预测复杂环境系统的需要环境系统是一个动态开放系统。对其量化认识和准确预测调控必须借助计算机为工具的环境数学模型。原来那种将复杂环境系统分割研究，简单相加的形而上的研究方法明显不足，反映系统整体功能的模型

4、比其某一个子系统模型要复杂很多。这些模型往往是以常微分方程组或偏微分方程组的形式出现。这就需要借助计算机工具进行模拟计算。,环境科学研究的重要工具相对简单的对数据的统计、拟合、回归分析还是较为复杂的数学模型都是我们从事环境科学研究的重要能力之一。环境科学研究中的定量化、模型化发展趋势也就是环境科学研究的发展趋势，是走向成熟的标志。任何学科的发展都遵循从现象到本质、经验到理论、定型到定量的研究发展模式。环境规划、环境评价的核心技术之一环境规划，很多时候需要求解几十个或上百个变化的规划模型；环境评价中的环境影响定量预测，需要对模型进行大量计算，甚至需要求解复杂的偏微分方程。相关的环境规划模型和评价

5、模型的建立，求解、甚至模型运行结果的计算机直观图形表述都是环境规划、环境评价的核心技术。,0.2环境科学研究者用于模拟计算和数据处理的计算语言或软件环境科学研究者用于模拟计算和数据处理的计算语言或软件分为四类一般的高级计算机语言如VC+、VB、VFortran、Pascal。这类语言的特点是没有很强的针对性，可用于编程计算解决各类问题。需要的知识：计算机语言语法的熟练掌握、计算的数学原理和复杂的数值计算方法（如有限元法、有限差分分析等），这样才能写出算法，进而编写计算机程序。难度很大。为解决某类数学问题而发展起来的计算数学软件包目前流行的求解线性规划问题的软件LINDO和求解非线性规划问题的软

6、件LINGO、用于绘图的surfer软件、用于数据拟合分析和绘图的origin软件、用于动态模拟的Modelmaker和stella软件、以及专门解决数理统计问题的spss和SAS软件包。,专门为解决某一类环境模拟计算或数值分析问题而发展起来的专业计算或绘图软件目前针对河流、湖泊、环境空气和地下水等环境介质已有一些模拟模型软件系统。这类软件是为解决某一类环境系统数学模拟问题而编制的。如WASP(waterqualityanalysissimulationprogram),美国环保局开发的水质分析模拟软件包；WQRRS(waterqualityforRiverandReserviorSystem

7、):水质动态和水流动力学分析计算软件包；CALPUFF：美国加州空气资源局开发的多种类、非稳态高斯烟团扩散模式软件包；ISC3是用于计算污染源排放的大气污染物扩散模型软件包；ISC-AERMOD是由美国LAKES环境公司开发、美国环保署（EPA）推荐的大气扩散模型软件，有界面已经汉化的版本。EIAA：这款大气预测软件在国内用的比较多,计算机数学语言此类计算机语言的特点是和数学运算紧密结合。典型的，算法成熟的数值计算和符号运算可直接通过命令调用（如矩阵特征值求解、逆矩阵等）。比较复杂一点的要编写程序，但是程序较高级语言程序要简单很多。目前国际上流行的四种计算机数学语言：A、MATLAB语言，美国

8、Themathworks公司编写B、Mathematica语言，WolframResearch公司编写C、Maple语言，WaterlooMaple公司编写D、Mathcad语言，Mathsoft公司编写。计算机数学语言相对于一般高级语言、一些专门的数学软件包括以及专业软件包，具有编程快捷方便、数值计算功能强大，功能全面、可扩展性强等优点。,1.1、数据的表示方法与数据特征1.2、异常数据的剔除1.3、数据的误差分析1.4、数据的标准化处理,第一节环境数据处理方法,在环境规划与管理中，有许多监测数据调查所获得的数据需要处理后才能进行进一步的定量分析与研究。因此，数据的处理显得十分重要。本节学习

9、内容：,1.1、数据的表示方法与数据特征,第一节环境数据处理方法,1.1.1、数据的表示方法,、列表法例：研究电阻的阻值与温度的关系时，测试结果如下：,、图示法图示法的第一步就是按列表法的要求列出因变量y与自变量x相对应的yi与xi数据表格。作曲线图时必须依据一定的法则，只有遵守这些法则，才能得到与实验点位置偏差最小而光滑的曲线图形。坐标纸的选择-常用的坐标系为直角坐标系，包括笛卡尔坐标系（又称普通直角坐标系）、半对数坐标系和对数坐标系。,A、半对数坐标系一个轴是分度均匀的普通坐标轴，另一个轴是分度不均匀的对数坐标轴。右图中的横坐标轴（x轴）是对数坐标。在此轴上，某点与原点的实际距离为该点对应

10、数的对数值，但是在该点标出的值是真数。为了说明作图的原理，作一条平行于横坐标轴的对数数值线。,、插值法计算数值A、作图插值法例：用分光光度计法测定溶液中铁的含量,测得标准曲线数据如下：Fe（g/mL）24681012吸光度（A）0.0970.2000.3040.4080.5100.613测得未知液的吸光度为0.413，试求未知液中铁的含量。在图的纵坐标上0.413处找到直线上对应点，读出其对应的横坐标即为未知液中铁的含量8.122,、比例法（略）、牛顿内插公式一般的非线性函数都可以展开为多项式,1.1.2、数据特征数据特征是对环境总体状况进行估计判断的基础，是认识数据理论特性的基本出发点，通常

11、可分为以下三类：、位置特征数:表示数据集中趋势或刻画频数分布图中心位置的特征数；、离散特征数:用来描述数据分散程度；、分布形态特征数:刻划了根据所获数据绘制的分布曲线图的形态、位置特征数A、算术平均数：式中：x1,x2,xn为样本个体数据，n为样本个数,B、加权平均数如果样本个体数据x1,x2,xn取值因频数不同或对总体重要性有所差别，则常采取加权平均方法。,式中：wi是个体数据出现频数，或是因该个体对样本贡献不同而取的不同的数值。,C、几何平均数,D、调和平均数,E、中位数环境数据有时显得比较分散，甚至个别的数据离群偏远，难以判断去留，这时往往用到中位数。样本数据依次排列（从大到小或者从小到

12、大）居中间位置的数即为中位数，若数据个数为偶数，则中位数为正中两个数的平均值。只有当数据的分布呈正态分布时，中位数才代表这组数据的中心趋向，近似于真值。,、离散特征数环境统计中常常用到几何平均数。不同的平均值都有各自适用场合，选择的平均数指标应能反映数据典型水平，并非随意采用。几何平均直径：,、离散特征数,最大值-最小值,、分布形态特征数,1.2、异常数据的剔除在处理实验数据的时候，常常会遇到个别数据偏离预期或大量统计数据结果的情况，如果把这些数据和正常数据放在一起进行统计，可能会影响实验结果的正确性，如果把这些数据简单地剔除，又可能忽略了重要的实验信息。这里重要的问题是如何判断异常数据，然后

13、将其剔除。判断和剔除异常数据是数据处理中的一项重要任务，目前的一些方法还不是十分完善，有待进一步研究和探索。目前人们对异常数据的判别与剔除主要采用物理判别法和统计判别法两种方法。物理判别法就是根据人们对客观事物已有的认识，判别由于外界干扰、人为误差等原因造成实测数据偏离正常结果，在实验过程中随时判断，随时剔除。统计判别法是给定一个置信概率，并确定一个置信限，凡超过此限的误差，就认为它不属于随机误差范围，将其视为异常数据剔除。,剔除异常数据实质上是区别异常数据由偶然误差还是系统误差造成的问题。若是人为因素的偶然误差就应剔除，如果没有足够的理由证实是偶然过失造成的时候，应对数据进行统计处理，采用一

14、定的检验方法来决定取舍。本节着重介绍统计判别法。1.2.1、拉依达准则若可疑数据xp与样本数据之算术平均值的偏差的绝对值大于3倍（2倍）的标准偏差，即：,则应将xp从该组数据中剔除，至于选择3s还是2s与显著性水平有关，显著性水平表示的是检验出错的几率为，或检验的可置信度为1。3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05。,1.2.2、格拉布斯准则用格拉布斯准则检验可疑数据xp时，选取一定的显著性水平，若：则应将xp从该组数据中剔除，称为格拉布斯检验临界值，可查相关表格得到。适于多组测量值均值的一致性检验，也可用于一组测量值的检验以上准则是以数据按正态分布为前提的，当偏离正态分布,特

15、别是测量次数很少时，则判断的可靠性就差。因此，对粗大误差除用剔除准则外，更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外,要保证测量条件稳定，防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。,格拉布斯(Grubbs)检验法具体方法：a.将一组数据由小到大排列b.计算、和统计量Tc.根据给定的显著性水平和测定次数查T的临界值d.对照判断：TTn,f，可疑值为正常值，应保留；若TTn,f，可疑值为离群数据，应舍去,表4.1格拉布斯检验临界值（Ta）表,例：10个实验室分析同一个样品，各实验室5次的平均值分别为4.41、4.49、4.50、4.51、4.64、4.75、4.81、4.95、5.01、5.

16、39，检验5.39是否离群数据。（T9,0.05=2.110;T9,0.01=2.332;T10,0.05=2.176;T10,0.01=2.410)经计算：T=2.11，查表得临界值T0.05=2.176T=2.11T0.05=2.176故5.39应保留。,1.2.3、狄克逊（dixon）法（适于一组测量值的一致性检验）狄克逊研究了n次测量结果，按其数值大小排列成如下次序：，当xi服从正态分布时，用不同的公式求得f值，再经过查表，得到相应的临界值，进行比较,若计算值f(n，)视为异常值，舍弃；再对剩余数值进行检验，直到没有异常值为止。狄克逊通过模拟实验认为：n7，使用f10；8n10，用f1

17、1；11n13，用f21；n14，用f22效果好。具体方法如下：a.将一组数据由小到大排列b.计算统计量Q(表4.2）c.根据给定的显著性水平和测定次数查Q的临界值(表4.3)d.对照判断：QQn,f，可疑值为正常值，应保留；QQn,f，可疑值为离群数据，应舍去,表4.2狄克逊检验统计量Q计算公式,表4.3狄克逊检验临界值（Qa）表,例题：用狄克逊法判断下列测试数据(40.02，40.15，40.20，40.13，40.16)中的40.02是否应舍弃？解：将数据排列，取=0.0540.0240.1340.1540.1640.200.6110.642所以40.02应保留。,1.3、数据的误差分析

18、1.3.1、几种误差的基本概念。,例题:滴定的体积误差,1.3.2、误差的来源及分类、随机误差随机误差是在一定条件下以不可预知的规律变化着的误差。这些偶然因素是操作者无法严格控制的，故无法完全避免随机误差。但它的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布。、系统误差系统误差是指由某个或某些不确定的因素所引起的误差。当条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次测量取平均值的方法来消除，只能根据仪器的性能、环境条件或个人偏差等进行校正，使之降低。、过失误差过失误差是由于操作人员不仔细、操作不正确等原因引起的，它是可以完全避免的。,1.3.3、误差分析误差可能是由于随机误差或系统误差单

19、独造成的，还可能是两者的叠加。误差分析中，常采用精密度、正确度和准确度来表示误差的性质。精密度反映了随机误差大小的程度，是指在相同条件下，对被测对象进行多次反复测量，测量值之间的一致(符合)程度。正确度指测量值与其“真值”的接近程度。对于一组数据来说，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当测量次数相当多时，有时也会得到好的正确度。准确度指被测对象测量值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度。准确度、正确度和精密度的关系,1.4、数据的标准化处理在大批的环境统计数据中，当数据的物理量不同、单位或量值差别较大时，常常会给下一步分析带来困难，这时就有必要对数据进行标准化处理，从而提高

20、计算的精度。环境管理与规划中，常采用下面的公式进行标准化处理：,环境规划与管理中，将环境系统规划决策问题简化成在预定的目标函数和约束条件下，对若干决策变量所代表的规划方案以及进行优化决策的数学规划模型。本节内容：2.1、线性规划2.2、非线性规划2.3、动态规划,第二节最优化分析方法,2.1、线性规划在环境规划管理中，线性规划常常用来解决两类优化问题：一是如何优化资源配置使产值最大或利润最高，二是如何统筹安排以便消耗最少的资源或排放最少的污染物。,2.1.1、环境规划与管理的污染控制规划模型比例下降规划模型求解(成比例削减规划模型、总量削减模型)其前提是污染源排放的污染物数量的削减，将导致大气

21、环境中的污染物浓度的等比例下降。最简单的控制方案是要求各个污染源按其排放的负荷比例进行削减。根据上述假设，一个地区的气象条件相对一致，污染源位置不变，若对所有的污染源的污染物按相同比例削减，则可使该地区的污染物浓度以相同比例下降。对小的污染源，大气污染份额很小，在大气污染控制规划中不宜将其按比例削减。故可进一步假设所有的污染源排放的污染物总量按比例削减，则污染物浓度也可同比例下降。比例削减规划模型数学模型建立的前提是在大气污染控制规划模型中不必纳入大气环境质量标准的约束。只需将现实的大气环境质量与规定的标准比较，确定出现实大气环境某种污染物浓度下降的百分比。就是污染物排放量必须下降的百分比。,

22、例如：某一个规划区有m个污染源，每个污染源存在n种可供选择的污染控制方法，控制p种污染物。根据环境规划的基本原理，按比例削减模型的通用线性规划形式建立模型,式中：m、n、q分布为污染源、排放控制方法、大气污染物的总数量；i、j、p分别表示第i个污染源、第j种控制方法、第p种污染物；Cij为污染源i采用j种控制方法生产单位产品所需支付的污染控制费用；xij为决策变量，表示污染源i采用j种污染控制排放方法生产产品的数量；aij为生产逻辑变量，若污染源i采用j种控制污染排放方法可行，则aij=1，否则aij=0；Si表示对第i污染源实施各种污染源控制方法（j为0-n）后产品产量约束；bijp为排放系

23、数，表示污染源i采用j种排放污染排放方法生产单位产品是排放的污染物p的数量，若污染源i采用j种污染物控制排放方法不行，则bijp=0，否则bijp=1-；而表示污染源i采用j种污染控制方法时对第p种污染物的治理效率。Ap表示大气环境质量标准确定的第p种污染物的区域污染源排放总量限值。,污染迁移规划模型比例削减模型在建模时较为简单，但其最大缺点是没有考虑污染物在大气环境中的扩散和运动规律以及气象条件的一下，没有考虑污染物在时间、空间分布上的不均衡性。因此对污染物的控制分配也不太合理。应用比例削减模型规划的结果，整个区域平均和大气环境质量可能达标，但在局部地区可能造成污染物浓度超标。因为局部地区环

24、境质量要达标所需要污染源削减的比例可能要更大一些，或者局部地区环境质量要更加严格一些。大气污染物迁移规划模型的优点是引入大气污染物扩散模型，并以此模型构成环境质量约束条件。其模型可表示为：,式中表示污染物p在接受点k处的环境质量标准；k表示污染物的接受点；r表示接受点的个数；表示i污染源至k接受点的污染物迁移扩散系数。其余符号与比例削减模型的符号相同。,一般线性规划问题的求解，最常用的算法是单纯形法。,一般线性规划问题的标准形式可表示为：,其中：,其秩为m，若是中的一个满秩子阵，则称B是线性规划问题的一个基。这就是说，矩阵B是由m个线性独立的列向量构成的。构成矩阵B的每一个列向量（）称为基向量

25、，与每一个基向量对应的决策变量称为基变量。线性规划中基变量以外的决策变量称为非基变量。,线性规划的标准化见教案,单纯形法表,单纯形法的计算步骤将线性规划问题化成标准型。找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。计算各非基变量xj的检验数j=CBPj-Cj，若所有j0，则问题已得到最优解，停止计算，否则转入下步。在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk0，则此问题是无界解，停止计算，否则转入下步。根据maxjj0=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按规则计算：=minbi/aik|aik0=bl/aik确定xBl为换出变量。建立新的单纯形表，此时基变量中xk取

26、代了xBl的位置。以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即aik变为1，同列中其它元素为0，转第步。,线性规划单纯形解法举例见教案,2.2、非线性规划在环境规划与管理中，某些问题的决策模型可能会出现下面的情况：目标函数非线性，约束条件为线性；目标函数为线性，约束条件非线性；目标函数与约束条件均为非线性函数。上述情况均属于非线性规划问题，其数学模型的一般形式是：数值求解非线性规划的算法大体分为两类：一是采用逐步线性逼近的思想，通过一系列非线性函数线性化的过程，利用线性规划获得非线性规划的近似最优解；二是采用直接搜索的思想，根据部分可行解或非线性函数在局部范围内的某些特性，

27、确定迭代程序，通过不断改进目标值的搜索计算，获得最优或满足需要的局部最优解。,2.2.1线性规划与非线性规划的区别如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的任意一点达到。例1某商店经销、两种产品，售价分别为20和380元。据统计，售出一件产品的平均时间为0.5小时，而售出一件产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为。若该商店总的营业时间为1000小时，试确定使其营业额最大的营业计划。解：设和分别代表商店经销A、B两种产品的件数，于是有如下数学模型：,2.2.2非线性规划的Matlab解法

28、Matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式其中是标量函数，是相应维数的矩阵和向量，是非线性向量函数。,Matlab中的命令是：X=FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON,OPTIONS)它的返回值是向量X，其中FUN是M文件定义的函数；X0是的初始值；A,B,Aeq,Beq定义了线性约束;如果没有等式约束，则A=,B=,Aeq=,Beq=；LB和UB是变量X的下界和上界，如果上界和下界没有约束，则LB=，UB=，如果X无下界，则LB=-inf，如果X无上界，则UB=inf；NONLCON是用M文件定义的非线性向量函数；OPTIONS定义了优化参数，

29、可以使用Matlab缺省的参数设置。,例求下列非线性规划问题,非线性规划的matlab实现：（i）编写M文件fun1.mfunctionf=fun1(x);f=x(1)2+x(2)2+8;和M文件fun2.mfunctiong,h=fun2(x);g=-x(1)2+x(2);h=-x(1)-x(2)2+2;%等式约束（ii）在Matlab的命令窗口依次输入options=optimset;x,y=fmincon(fun1,rand(2,1),zeros(2,1),.fun2,ptions)就可以求得当时，最小值。,2.3、动态规划在环境规划管理中，经常遇到多阶段最优化问题：多阶段决策问题是指这

30、样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。即各个阶段相互联系，任一阶段的决策选择不仅取决于前一阶段的决策结果，而且影响到下一阶段活动的决策，从而影响到整个决策过程的优化问题。这类问题通常采用动态规划方法求解。将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的

31、效果。,动态规划同前面介绍过的各种优化方法不同，它是一种求解多阶段决策问题的系统技术，不是一种特定的算法，而是考察问题的一种途径。因而它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，动态规划必须对具体问题进行具体的分析处理。动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在环境规划与管理方面，动态规划可以用来解决最少投资、资源分配问题以及管理过程最优控制问题等，是环境规划与管理中一种重要的决策技术。把多阶段决策问题分解成许多相互联系的小问题，从而把一个大的决策过程分解成一系列前后有序的子决策过程，分阶段实现决策的“最优化”，进而实现“总体最优化”

32、方案。为使最后决策方案获得最优决策效果，动态规划求解可用下列递推关系式表示：,2.3.1动态规划的基本概念有这样一类活动过程，其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策，以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段（stage，即决策点）都是由输入（input）、决策（decision）、状态转移律（transformationfunction）和输出（output）构成的，如下图（a）所示。其中输入和输出也称为状态（state），输入称为输入状态，输出称为输出状态。,已知边界条件，利用式即可求得最后一个阶段的最优指标函数；继续利用即可求得最后两个阶段的最优指标函数；进一步

33、又可以求得最后三个阶段的最优指标函数；反复递推下去，最终即可求得全过程个阶段的最优指标函数，从而使问题得到解决。由于上述最优指标函数的构建是按阶段的逆序从后向前进行的，所以也称为动态规划的逆序算法。,决策是指通过对解决问题备选方案的比较，从中选出最好的方案。决策贯穿于环境管理与规划的各个方面，是管理与规划的核心。技术经济分析中的决策，是指对多方案进行评价与择优，从而选定一个最满意的方案。决策的分类：按决策的条件分：确定型、非确定型、风险型按决策的对象：宏观、微观按决策在企业组织中的地位分类：高层决策、中层决策、基层决策,第三节常用决策分析方法,本节内容：,决策树,决策矩阵,多目标决策方法,3.

34、1、决策树3.1.1、决策树技术的含义是把方案的一系列因素按它们的相互关系用树状结构表示出来，再按一定程序进行优选和决策的技术方法。决策树技术的优点：、便于有次序、有步骤、直观而又周密地考虑问题；、便于集体讨论和决策；、便于处理复杂问题的决策。决策树图形,决策树图形,策略方案分支,策略方案节点,3.1.2、适用对象多阶段决策、前一阶段的决策影响后续阶段的结构和决策的项目。3.1.3、方法用决策树的形式列出决策问题的逻辑结构。从决策树的末端向决策点倒退，计算出不同决策方案下的期望值，将未占优的方案去掉，直到得出最终的决策方案。运用决策树技术的步骤、绘制决策树图；、预计可能事件（可能出现的自然状态

35、）及其发生的概率；、计算各策略方案的损益期望值；、比较各策略方案的损益期望值，进行择优决策。若决策目标是效益，应取期望值大的方案；若决策目标是费用或损失，应取期望值小的方案。,单级决策有一个决策点的决策,例：某项目工程,施工管理人员要决定下个月是否开工。若开工后遇天气不下雨，则可按期完工，获利润5万元；遇天气下雨，则要造成1万元的损失；假如不开工，不论下雨还是不下雨都要付窝工费1000元。据气象预测下月天气不下雨的概率为0.2，下雨概率为0.8。施工管理人员如何作出决策？,2,概率分枝,可能结果点,3,自然状态点,画图,计算,决策树例题有一石油化工企业，对一批废油渣进行综合利用。它可以先作实验

36、，然后决定是否综合利用；也可以不作实验，只凭经验决定是否综合利用。作实验的费用每次为3000元，综合利用费每次为10000元。若做出产品，可收入40000元；作不出产品，没有收入。各种不同情况下的产品成功概率均已估计出来，都标在图1上。试问欲使收益期期望值为最大，企业应如何作出决策。根据图中给出之数据求解。决策树采用逆顺序计算法。,0.85,0.15,0.1,0.9,0.55,0.45,解题步骤：A、计算事件点、的期望值400000.8500.1534000400000.1000.904000400000.5500.4522000原决策树根据以上算出的期望值可简化为（图2a）：,B、在决策点2

37、、3、4作出决策2按max（3400010000），024000，决定综合利用。3按max（400010000），00，决定不综合利用。,4按max（2200010000），012000，决定综合利用。决策树继续简化为（图2b）：,C、计算状态点的期望值：240000.600.414400D、在决策1作出决策。E、最后得出整个问题的决策序列为：不作实验、直接综合利用，收入期望值为12000元。,3.2、决策矩阵,决策矩阵又称为损益矩阵，它是利用损益的期望值进行决策，常用于有限条件下资源分配的最优化决策问题。,3.3、多目标决策方法在环境管理与规划问题中,同时存在着多个目标，每个目标都要求达到其

38、最优值，并且各目标之间往往存在着冲突和矛盾，这类问题就是多目标决策问题。解决这类决策问题的方法就是多目标决策方法。,使偏离目标值的偏差最小,3.3.1目标规划模型的目标函数建立目标规划的目标函数是根据各目标约束的正、负偏差变量、和其优先因子P来构造的，一般而言，当每一目标值确定后，我们总要求尽可能地缩小与目标值的偏差，故目标规划的目标函数只能是的形式。可将目标函数分为以下三种情形：当决策值要求恰好等于规定的目标值时，这时正、负偏差变量、都要尽可能小，即对应的目标函数为：当决策值要求不超过规定的目标值时，这时正偏差变量要尽可能小，即对应的目标函数为：当决策值要求超过规定的目标值时，这时负偏差变量

39、要尽可能小，即对应的目标函数为：,目标规划数学模型的一般形式为：,优先因子（优先级）与权系数在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标赋予优先因子，要求第二位达到的目标赋予优先因子，并规定，即级目标的讨论是在级目标得以实现后才进行的（这里）。若要考虑两个优先因子相同的目标的区别，则可通过赋予它们不同的权系数来完成。,假定有K个目标，L个优先级(LK)，n个变量。在同一优先级中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为、，,绝对约束,目标约束,教材page79例43课题先预习，后讲解,4.1、概述,第四节环境数学模型,环境数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生

40、物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。它是建立在对环境系统进行反复的观察研究，通过实验或现场监测，取得大量的有关信息和数据，进而对所研究的系统行为动态、过程本质和变化规律有了较深刻认识的基础上，经过简化和数学演绎而得出的一些数学表达式，这些表达式描述了环境系统中各变量及其参数间的关系。环境数学模型主要应用于环境规划与管理、环境影响评价和环境质量预测几个方面，其类型主要包括大气扩散模型、水文与水动力模型、水质模型、土壤侵蚀模型、沉积物迁移模型和物种栖息地模型等，每一类模型又可按模型的空间维数、时间相关性、数学方程特征等来进行分类。,图4-1环境数学模型的分类,图4-1环境数学模型的

41、分类（续上页）,4.2、环境数学模型的建立,环境数学模型常用的建模方法有图解法、质量平衡法、概率统计法、灰色系统法、模糊数学法、投入产出分析法等。4.2.1、建立数学模型的步骤、建模准备了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。、模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步，建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。,4.2.2、建立模型的方法、图解法采用点和线组成的用以描述系统的图形称为图模型，可用于描述自然界和人类社会中大量事物和实物

42、之间的关系。图模型形象、直观，对决策者了解系统结构和功能之间的关系很有帮助。但图解建模法作为一种描述性方法，往往精确度较差，而且受人的视觉影响而局限于三维空间中，因此它通常作为建立系统方程式模型的辅助分析工具来用。、质量平衡法根据质量平衡原则建立微分方程是最常用的建立白箱模型的方法。应用质量平衡方法必须知道物质流的方向和通量，污染物质反应的方式和速度，以及各种污染物之间的相关关系和关联作用。,环境数学模型中很多都是在质量平衡的基础上建立的。值得注意的是，几乎每一个利用质量平衡原则建立的模型中都包含了一个或多个待定参数，它们一般很难由过程的机理确定，且数值又随时间、空间变化，因此需要借助于大量的观测数据最终确定参数。、概率统计法回归分析法和时间序列预测法是广泛应用在环境规划和管理领域的基本预测方法。回归分析法建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，是一种用来寻找隐藏在某些现象中的规律性的数理统计方法。回归分析法就是通过分析因素之间的因果关系和影响程度进行预测，用过去和现在的环境监测数据确定函数关系式，按最小二