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1、第三章微分中值定理与导数的应用,本章将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题.作为导数应用的基础，先要介绍微分学的几个中值定理.,一、微分中值定理,三、泰勒公式,四、函数的极值与最大值和最小值,五、函数的几何性态,二、洛必达法则,第一节微分中值定理,微分中值定理包括三个定理：罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理柯西(cauchy)定理.,结果：总有水平切线存在,曲线连续,每点都有不垂直于x轴的切线，,观察一个几何现象-曲线的切线,有水平切线,曲线连续,定理3.1（Rolle定理）,若函数满足下列条件：,定理的几何意义：,满足定理条件的函数，它的曲

2、线上至少有一条平行于弦AB的切线.,证,分两种情形讨论：,（1）若,则f(x)在a,b上为一常数M,于是，在(a,b)内每一点都可取作为,（2）若Mm,因,则M,m中至少有,有一点,一个不等于f(a).,设,则在(a,b)内至少,使得,下面证：,在a,b必有最大(小)值.,最大值点不在a,b端点,由假设知存在，,存在.,于是,即,故,现在证：,左导,右导,因是f(x)在a,b上的最大值,故有,当时，,根据极限的保号性，有,当时，,有,同理，,从而必然有,例1,证,由零点定理，,即为所求的实根.,存在且惟一,矛盾,定理3.1（Rolle定理）,若函数满足下列条件：,定理3.2（Lagrange）

3、,几何意义：,分析,直线AB的方程,构造辅助函数：,即,此时有,证,构造辅助函数：,易知函数适合罗尔定理的条件：,由罗尔定理，,有一点,可知在(a,b)内至少,使得,即,由此，得,注：,称为有限增量公式.,建立了函数在区间上的改变量与导数之间的关系,可用导数研究函数在区间上的变化性态.,推论,证,例2,证,例3,证,有,即,定理3.3（Cauchy）,小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,2.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系：,1.注意微分中值定理成立的条件；,3.中值定理的几个应用（1）证明方程根的唯一性（2）证明等式与不等式,.,思考题,并写出用中值定理证明不等式的步骤.,则有,有,对吗？,即有相同导数的两个函数,只差一个常数.,1.不对.,但,例,实际上，,则有,有,思考题参考答案,证,1.设一个函数

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