02 高等数学下第8-10章讲义

1、研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 1 / 21 高等数学（下）零基础教材课精讲 主讲：高昆轮 第八章 向量代数与空间解析几何（仅数一） 第一节 向量及其线性运算 一、 向量的概念与向量的坐标表示 1.向量的概念 ,. , 10 AB ABAB 既有大小 又有方向的量称为,记为 或 用有向线段表示向量 线段的长度表示向量的大小 又称向量的长度或 大小相等方向相同的两个向量称为， 模等于 的向量称为,模等于 的向量称为. 定义1:向量 模 相等 单位向量零向量 2.向量的坐标表示 , , ,. ,. xyzxyzxxyyzz OxyzOMMx y zx y z a a a

2、bb b bbab ab ab 在空间直角坐标系中,若点的坐标称为 的坐标 记为 设则 3.向量的模与方向余弦 222 , ,. , ,;cos,cos,cos. Oxyzx y z xyz x y zxyz 在空间直角坐标系中,称 与三个坐标轴轴的夹角为 的 设则 的模的 方向角 方向余弦 二、 向量的线性运算 , ,. ,; ,. xyzxyz xxyyzzxyz a aabb b b bab ab abaaa bbbcabc aaaaaaabab 设则 向量的加法与数乘有以下性质: 加法 :数乘 : 1212 12,2, 21,3,0 ,.MMM M 例 已知两点和计算向量的模、方向余弦

3、和方向角 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 2 / 21 第二节 数量积 向量积 混合积 一、两向量的数量积 1.:cos , 2.:, 3., 4.:00. xyzxyzxxyyzz xxyyzz a ba bab aa a abb b ba ba ba ba b a bb aab ca cb ca ba b aba ba ba ba b 几何表示其中 是 与 的夹角； 代数表示 设（） （） 则； 运算规律:（）（）（）； 应用（判定两向量垂直） 二、两向量的向量积 1.:. sin ,. 2.:, 3.,

4、xyzxyzxyz xyz a b a ba baba bab ijk aa aabb b ba baaa bbb a bb aabca cb cababa b 几何表示是一个向量 模:其中 是 与 的夹角；方向:同时垂直于 和 代数表示 设（） （） 则； 运算规律:（）（）（）（） （） /4./:0 y xz xyz a aa aba b bbb ； 应用（判定两向量平行） 1231223 11, 1,23,3,13,1,3 ,.MMMM M M M 例设、和求与、同时垂直的单位向量 三、混合积 1.:, , ,. 2., 4.: xyz xyzxyzxyzxyz xyz a b ca

5、b cabc aaa aa aabb b bcc c ca b cbbb ccc abcbcacababcacbcbabac 定义 称（） 为三个向量的混合积,记为（）. 设（） （） （） 则（） 运算规律:（）（）（）（） （） （） （）； 应用（判定, ,0.a b ca b c 三向量共面）共面（） 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 3 / 21 第三节 平面及其方程 一、建立平面方程 ,.平面由一个定点与法向量确定 与平面垂直的向量称为它的法向量基本点 : 1.平面的点法式方程 000 000 0,

6、, ,. A xxB yyC zz xy znA B C 这里为平面上一定点,为平面的法向量 2.平面的一般式方程 0, ,AxByCzDnA B C这里为平面的法向量. 3.平面的截距式方程 1, ,0 xyz a b c abc 这里分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为 . 二、 平面与平面的位置关系 123 2, 1,41,3, 20,2,3.MMM 例1 求过三点、和的平面方程 12 1,1,10,1, 10,.MMxyz 例2 一平面通过两点和且垂直于平面求它的方程 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师

7、4 / 21 第四节 空间直线及其方程 一、 建立空间直线方程 空间直线由一个定点与方向向量确定,与直线平行的非零向量称为它的方向向量.基本点: 1.空间直线的点向式方程 000 000 , , xxyyzz xyzsm n p mnp 这里为直线上一定点,为直线的方向向量. 2.空间直线的参数式方程 0 0000 0 , , xxmt yyntxy zsm n p zzpt 这里为直线上一定点,为直线的方向向量. 3.空间直线的一般式方程 1111 12 2222 0 ,. 0 AxB yC zD snn A xB yC zD 这里的直线为两个平面的交线,方向向量 二 、空间直线与空间直线、

8、平面与空间直线的位置关系 三、一组距离公式 222 11112222212121 000 0000 222 0 000 0000 1.,; 2.,0 3., , ,. P x y zP xyzdxxyyzz AxByCzD P xyzAxByCzDd ABC P Ps xxyyzz P xyzd mnp s Psm n p 两点和的距离 点到平面的距离； 点到空间直线的距离 这里 是直线上任一点（）是直线的方向向量 10 . 2340 xyz xyz 例1 用点向式及参数方程表示直线 21, 2,4340.xyz 例求过点且垂直于平面2的直线方程 3432513,2,5.xzxyz 例求与两平

9、面和的交线平行且过点的直线方程 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 5 / 21 第五节 曲面及其方程 一、 曲面的方程 , ,0,F x y zS三元方程在空间表示一张曲面叫做曲面的一般式. 二、 旋转曲面 1.旋转曲面的概念 , . 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面 旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴 定义1: 2.建立旋转曲面方程 22 22 ,0 :, 0 ,0; ,0. fy z yozL x zfxyz yfyxz 1.设坐标面上的一条曲线 绕 轴旋转一周所得旋转

10、曲面方程为: 绕 轴旋转一周所得旋转曲面方程为: 22 22 1 xz xozzx ac 例1 将面上的曲线分别绕 轴和 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面方程. 三、 柱面 1.柱面的概念 ,. CL CL 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 形成的轨迹叫做柱面, 定曲线 叫做柱面的准线 动直线 叫做柱面的母线 定义2: 2.建立柱面方程 ,0 ,0. 0 F x y F x yzxoy z 方程在空间中表示柱面,它的母线平行于 轴,准线是面上的曲线 三、二次曲面 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 6 / 21 第

11、六节 空间曲线及其方程 一、 空间曲线的方程 , ,0 , , ,0 , F x y z C G x y z xx t yy tC zz t 方程组在空间表示一条曲线叫做空间曲线的一般式. 方程组在空间表示一条曲线叫做空间曲线的参数式. 二、 空间曲线在坐标面上的投影 , ,0 :, , ,0 ,0, ,0 0,. 0 F x y z C G x y z zH x yCxoy H x y zCxoy z 设由空间曲线 在此方程组中消去 得它表示空间曲线 关于面的投影柱面, 若在令即表示空间曲线 在面上的投影 2222 43zxyzxyxoy 例1 求上半球面和锥面围成的立体在面上的投影. 配套

12、教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 7 / 21 第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一、二维邻域的概念 000 00000 22 000 oo 22 00000 , , ,. ,0. P xyxoy P xyP x yPU P U Px yxxyy PU PU Px yxxyy 设是平面上的一个点是某一正数, 与点距离小于 的点的全体 称为点 的记作 即 点 的,记作即 邻域 去心邻域 二、二元函数的概念 , , , , ,. ,. x y zx yDDP x y fz zx yzf x y

13、x yDz 设有三个变量变量的变化域为若对 中每一点 按照某一对应规则变量 都有唯一确定的一个值与之对应, 则称变量 是变量的二元函数 记作 这里称为自变量称为定义域称为因变量（函数值） 定义1: ,.zf x y二元函数的图形是一张曲面注: 三、多元函数的极限 0 0 00 lim,. xx yy f x yAf x yAx yxy 定义2: 0 0 00 lim,0,. xx yy f x yAf x yAx yxy 其中定理: 00 , 3. x yxy1.二元函数中是指的沿任意路径方式; 2.除洛必达法则、单调有界准则外其余求极限的方法适用于二重极限； 要会用不同的路径或某一特殊的路径

14、说明二元函数极限不存在. 注 : 22 22 0 0 1 1limsin. x y xy xy 例求 0 2 sin 2lim. x y xy x 例求 1 2 3lim. x y xy xy 例求 2222 22000 000 4: 1 lim2lim3 lim. xxx yyy xyxyxy xyxy xy 例求（ ）；（ ）；（ ） 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 8 / 21 四、多元函数的连续性 0 0 0000 lim,. xx yy f x yf xyf x yxy 若则称二元函数在处连续定义3:

15、 00 , 2. 3. f x yxy1.二元函数在处若不连续是不讨论其间断点类型的; 二元连续函数具有与一元连续函数相同的运算结论； （二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）或复合仍连续） 二元连续函数具有与一元连续函数在闭区间相同的基本定理； （有界性与最大值最小值定理、介值定理） 注 : 第二节 偏导数 一、 偏导数的定义及其几何意义 1.偏导数的定义 0 0 0000000 00 0 0 0000000 00 0 0 , ,limlim. , ,limlim. x xxx y yyy f xx yf xyf x yf xy fxy xxx f xyyf xyf xyf xy fxy

16、 yyy 定义1: 2 1sin2.zxy 例 求的偏导数 ,1 arcsin,1 . x x f x yxyfx y 例2 设求 22 0,0 ,0,0 1,; 2,. 0,0,0 xy x y xyf x yf x yxy x y 例3 讨论下列函数在点的连续性与可偏导性: （ ）（ ） 2.偏导数的几何意义 00000000 00000000 ,; , x y fxyzf x yyyP xyf xyx fxyzf x yxxP xyf xyy 是曲面与平面的交线在点处的切线对 轴的斜率 是曲面与平面的交线在点处的切线对 轴的斜率. 22 42,4,5 4 4 xy z x y 例曲线在点

17、处的切线对 轴的倾角是多少？ 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 9 / 21 二、高阶偏导数 22 2 2 , , ,: , xy xxxy zzzz zf x yDfx yfx yDx y xyxy zf x y zzzz fx yfx y xxxyxx y zz xyy x 设在区域 内具有偏导数在 内均是的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 称它们是的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同 二阶偏导数有以下四个 2 2 22 ,. . yxyy zz fx yfx y yyy zz x yy x 其中和称为

18、混合偏导数 0000 22 00 22 , , . xyxy zz zf x yxy x yy x zz x yy x 若的两个二阶混合偏导数和在在点处连续 则 定理1: 22 22 22 ln:0. zz zxy xy 例5 验证函数满足方程 2 ,0,. f zf x yf x y x y 例6 设在全平面有连续的偏导数 且求 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 10 / 21 第三节 全微分 一、全微分的定义 00 000000 22 0000 , , , , . xy zf x yxyzf xx yyf x

19、y zA xB yoxyABxy zf x yxyA xB yzf x yxy dzA xB y 设在点的某邻域有定义,若全增量 可表示为,其中 和 是不依赖于和的常数 则称在点处可微,而称为在点处的微分 记为 定义1: 二、可微的必要条件与充分条件 1.必要条件 00000000 00 00 00, , 1, 2,. xyxyxyxy zf x yxy f x yxy ffff f x yxydzxydxdy xyxy 若在点处可微 则 （ ）在点处连续； （ ）在点处可偏导 且 2.充分条件 0000 , ff zf x yxyzf x yxy xy 若的两个偏导数都在点处连续,则在点处可

20、微. 22 .zx yy 例1 计算函数的全微分 22 ,0,0 ,0,0. 0,0,0 xy x y xyf x yf x y x y 例2 设讨论在点是否可微 22 22 ,0,0 3,0,0. 0,0,0 x y x y xyf x yf x y x y 例设讨论在点是否可微 3342234 4,410315125,. ,. uu x yduxxyydxx yxyydyu x y du x yP x y dxQ x y dyu x yP x y dxQ x y dy 例设满足求 若称为的原函数注 : 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037

21、 新浪微博：考研数学高老师 11 / 21 第四节 多元复合函数的求导法则 一、 链式求导法则 1212 , , . uu x yvv x yx yx yzf u v zf u x yv x yx y zfufvuvzfufvuv ffff xuxvxxxyuyvyyy 设在点处有对的偏导数在对应点可微 则复合函数对的偏导数存在 且 ； 2 ,. ww wf xyz xyzf xx z 例1 设具有二阶连续偏导数,求及 2 2, ,. y z zf u x yuxef x y 例设具有二阶连续偏导数,求 2222 22 2 3600, . uxy zzzz a vxayxx yyu v z 例

22、用变换可把方程化简为求 值, 其中 有二阶连续偏导数 第五节 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 ,0, ,0,. y x y F x yF Fdy F x yyy x dxF 设有连续一阶偏导数 且 则方程确定且 隐函数存在定理1 , ,0, , ,0,. z y x zz F x y zF F Fzz F x y zzz x y xFyF 设有连续一阶偏导数 且 则方程确定且， 隐函数存在定理2 二、方程组情形（仅数一） , , ,0 , , , ,0 0 ,. 0 xuv xuv F x y u v uu x yvv x y G x y u v uv FFF uv xx x uvxx

23、GGG xx 设有方程组确定 在方程两端直接对 求偏导,有 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 12 / 21 2 22 00 2 1100,1,. xx dyd y xyyy x dxdx 例验证方程在点附近能确定函数并求和 2 222 2 240,. z xyzz x 例设求 0, ,. 1 xuyv uuvv yuxvxyxy 例3 设求和 4,0, . u vcxaz cybzzf x y zz abc xy 例设具有连续偏导数,证明由方程所确定的函数 满足 5, ,0, ,. yf x ttt x yF

24、x y t dy f F dx 例设而是由方程所确定的函数 其中都具有一阶连续偏导数,求 第六节 多元函数微分学的几何应用（仅数一） 一、 曲面的切平面与法线 :, ,0,=, :,=, 1 . xyz xy F x y znF F F zf x ynff 曲面 以隐式给出法向量； 曲面 以显示给出法向量 222 1141,2,3.xyz 例求曲面在点处的切平面及法线方程 22 212,1,4.zxy 例求曲面在点处的切平面及法线方程 二、空间曲线的切线与法平面 12 :,=, , ,0 :,=. , ,0 xx t Lyy ttx ty tz t zz t F x y z Lnn G x y

25、 z 空间曲线 以参数形式给出切向量； 空间曲线 以一般式给出切向量 2 3 31,1,1. xt yt zt 例求曲线在点处的切线及法平面方程 222 6 41, 2,1. 0 xyz xyz 例求曲线在点处的切线及法平面方程 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 13 / 21 第七节 方向导数与梯度（仅数一） 一、方向导数的定义 0 000 0000 0 ,cos ,cos cos ,cos, lim. l P t zf x yP xye f xtytf xyf lt 二元函数在点处沿着方向的 方向导数 定义1

26、: 二、方向导数的存在性及计算 0 000000 0000 , ,cos,cos,cos ,cos. Pxy zf x yP xyzf x yP xy f fxyfxyl l 若在点可微 则在点沿任一方向的方向导数都存在, 且其中是方向 的方向余弦 2 112, 1. y zxePPQ 例1 求函数在点，0 处沿从点，0 到点的方向导数 三、梯度 000000 ,. xy gradf xyfxyifxyj定义2: 00 0000, 0000 00 000000 ,cos,cos ,cos ,cos ,cos , xyxy y f fxyfxy l fxyfxy gradf xylgradf x

27、ygradf xyl 其中 是与 的夹角. 方向导数与梯度向量的关系 : 22 1 .grad xy 例2 求 22 0 0 0 0 1 ,1,1 ,: 2 1, 2, 3,. f x yxyP f x yPf x y f x yPf x y f x yP 例3 设求 （ ）在 处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数； （ ）在 处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数； （ ）在 处变化率为零的方向 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 14 / 21 第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 0000

28、00 00000 , , zf x yP xyP xy x yf x yf xyP xyf x y 设在点的某邻域内有定义,对该邻域内任何异于的 点有（ ）则称是的极大（小）值点. 定义1: 2 022 0 , ,0,0lim1, 0,0, 0,0, 0,0, 0,0, x y f x yxy f x y xy Af x y Bf x y Cf x y Df x y 例1 已知函数在点的某个邻域内连续,且 则下列说法正确的是_. 点不是的极值点 点是的极大值点 点是的极小值点 根据所给条件无法判断是否为的极值点 二、极值的必要条件和充分条件 1.必要条件 00000000 ,0,0. xy z

29、f x yxyxyfxyfxy设在处具有偏导数,且在处取极值,则 2.充分条件 000000 000000 2 00 0000 2 00 2 ,0,0, , 0, 0,0, 0, xy xxxyyy zf x yxyfxyfxy fxyAfxyBfxyC BACxyf x y Axyf x yAxyf x y BACxyf x y BAC 设在的某邻域内有二阶连续偏导数,且 记，则 （1）若则是的极值点 且 时,为的极小值点；时,为的极大值点. （2）若则不是的极值点. （3）若 00 0,xyf x y则可能是也可能不是的极值点. 3322 2,339f x yxyxyx 例求的极值. 22

30、2 3,246110,zz x yxyzxyzzz x y 例设由方程确定 求的极值. 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 15 / 21 三、条件最值 ,0 , , ,0 ,0 ,0 ,. , , ,0 , ,0 , ,0 xxx yyy zf x yx y F x yf x yx y Ffx yx y Ffx yx y Fx y zf x y zx y z x y z x y z 求在条件下的最值 （1）构造拉格朗日函数， （2）列方程组， （3）解上述方程组， （4）根据实际问题 所得即所求 上述方法可推广求

31、在一个条件 或两个条件下的最值. 构造 , , , , , , , , , , ,0. F x y zf x y zx y z F x y zf x y zx y zx y z 或 1111 4, , ,0.uxyzx y z a xyza 例求在条件下的最值 四、连续函数在闭区间上的最大值最小值 , , , zf x yD f x yD f x yD 以二元函数为例:求连续函数在有界闭区域 上的最值 （1）求在 内部的偏导数为零和偏导数不存在的点， （2）求在 的边界上的最值点， （3）比较上述各函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值. 22 22 :1, ,2. D xy x yTx

32、yx 例5 设有一圆板占有平面闭区域该圆板被加热, 以致在点的温度是求该圆板的最热点和最冷点. 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 16 / 21 第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 一、 二重积分的概念及其几何意义 1.二重积分的概念 0 1 ,lim,. , n iiii i D f x y df f x yDf x yD 其中 表示最大小区域的直径 在 上存在二重积分 也称在 上可积. 定义1: 2.二重积分的几何意义 ,0, D f x yf x y dzf x yD 若则表示以曲面为顶,以区域

33、为底, 侧面是柱面的曲顶柱体的体积. 二、二重积分的性质 12 1212 1212 11 , , 1, 2, 3, D D DDD DDD DD DD dA k f x yk g x ydkf x y dkg x y d f x y df x y df x y dDDD DD Df x yg x yf x y dg x y d f x y df x y d Dmf （ ）； （2）； （3）； （ ）在 上 若则； （ ）； （ ）在 上 若 1.等式性质 2.不等式性质 , ,=,. DD D D D x yMm Af x y dM A f x yDDf x y dfA 则； 设在 上连续

34、则存在一点使 3.中值定理 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 17 / 21 三、二重积分的对称性 1.普通对称性 1 1 1 1 ,0, 2, , 0, ,0, 2, ,. 0, D D D D DyDDx f x y df x yx f x y d f x yx DxDDy f x y df x yy f x y d f x yy 设 关于 轴对称是 在的部分 则 对 是偶函数 ； 对 是奇函数 设 关于 轴对称是 在的部分 则 对 是偶函数 对 是奇函数 2.轮换对称性 ,. DD Dyxf x y dfy

35、 x d 若 关于直线对称 则 111 1 :,:0, cos sin_ 2cos sin24cos sin0 D DDD Daxa xya Dxa xya xyxy dxdy AxydxdyBxydxdyCxyxy dxdyD 例1 设有平面闭区域 则 12 12 2,: 1, 2,. DD DD f x yfy xDDyx f x y dfy x dD DDyx f x y dfy x d 例设都在 上可积, 关于直线对称 证明 （ ）其中分别为 在的上方与下方部分； （ ） 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师

36、 18 / 21 第二节 二重积分的计算法 一、 利用直角坐标计算二重积分 2 1 2 1 12 12 :,. 1 :,. 2 bx ax D dy cy D D axbxyxf x y ddxf x y dy D cydyxyf x y ddyf x y dx 1.若则（ ） 2.若则（ ） 12 , 1, 2, yxxy D DyDyx D DxDxy 公式（ ）和（ ）都是将二重积分化为累次积分, 不同的是前者是先对 积分后对 积分 后者是先对 积分后对 积分. 公式（ ）中区域 的特点是 穿过 内与 轴平行的直线交 的边界不多于两点,是适宜先对 积分后对 积分的区域； 公式（ ）中区域

37、 的特点是 穿过 内与 轴平行的直线交 的边界不多于两点,是适宜先对 积分后对 积分的区域. 每个单积分总是上限下限, 后积分的积 公式的特点 : 区域的特点 : 积分限的特点 : 分线是常数,先积分的积分限是后积分变量的函数. 22 1,11. D yxy dDyx xy 例1 计算其中 是由直线和围成的闭区域 2 ,2. D xydDyxyx 例2 计算其中 是由抛物线及直线所围成的闭区域 二、 利用极坐标计算二重积分 2 1 12 :, ,cos , sin. r r D DDrrr f x y ddf rrrdr 若 是适合极坐标表示,即 则 22 , mnmnmn yx x y f

38、xyx y fx y f xy 被积函数形如或或 且积分区域为圆域、环域、扇形时使用极坐标比较方便. 注 : 22 , xy D edDa 例3 计算其中 是由圆心在原点、半径为 的圆周所围成的闭区域. 22 222 22 4,:. D xy dxdyD xyR ab 例计算二重积分其中 配套教学视频获取，联系研梦会QQ 3250392037 研梦会QQ 3250392037 新浪微博：考研数学高老师 19 / 21 22 5,221 D xydxdyDxyxy 例计算二重积分其中 是由曲线所围成的闭区域. 2 1 441233 2 040010 111 0 6 1,2,; 3,. yyy y

39、 x x dyf x y dxdyf x y dxdyf x y dx dxf x y dy 例交换下列二次积分的次序： （ ）；（ ） （ ） 2 1111 0001 1,;3,. x x dxf x y dydxf x y dy 例7 化下列的二次积分为极坐标下的二次积分： （ ）（ ） 2 22222 22 000 81_; 2_. aax x y x dxedydxxy dy 例计算下列二次积分（ ）（ ） 第三节 三重积分（仅数一） 一、 三重积分的概念与物理意义 1. 三重积分的概念 0 1 1:, ,lim,. , , , n iiiii i f x y z dvfvv f x y zf x y z 定义其中 表示最大小区域的直径 在 上存在三重积分 也称在 上可积. 2. 三重积分的物理意义 , , ,.f x y zmf x y z dv 若物体占据空间区域其体密度为,则在它的质量 二、三重积分的性质（类比二重积分） 三、三重积分的对称性 1.普通对称性 1 1 , 2, , , , ,. 0, , ,. yozyoz f x y z dv f x y zx f