三角形的高线

1、一选择题（共11小题）1（2017石家庄模拟）画abc中ab边上的高，下列画法中正确的是（）abcd【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线即可【解答】解：过点c作ab边的垂线，正确的是c故选：c【点评】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握2（2017滦南县校级模拟）下列四个图形中，线段be是abc的高的是（）abcd【分析】根据三角形高线的定义进行解答即可【解答】解：a、b、d中线段be不符合三角形高线的定义故选c【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形

2、的高是解答此题的关键3（2017春宜兴市期末）下列各图中，正确画出ac边上的高的是（）abcd【分析】根据三角形高的定义，过点b与ac边垂直，且垂足在边ac上，然后结合各选项图形解答【解答】解：根据三角形高线的定义，只有d选项中的be是边ac上的高故选：d【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键4（2017春滦县期末）如图，acbc，cdab，debc，垂足分别为c，d，e，则下列说法不正确的是（）aac是abc的高bde是bcd的高cde是abe的高dad是acd的高【分析】根据高的概念可知【解答】解：选项a的说法符合高的概念，故正确；选项b的说法符合高的概念

3、，故正确；c选项中，de是bdc、bde、edc的高，故错误；选项d的说法符合高的概念，故正确故选c【点评】三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段5（2017春黄岛区期末）如图，以ce为高的三角形有（）a9个b10个c11个d12个【分析】三角形的高是从一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高根据高的定义，以ce为高的三角形就是以c为一个顶点，再从b，f，e，d，a中任意选两个点组成的所以只需数ba上共有的线段即可【解答】解：4+3+2+1=10个答：以ce为高的三角形有10个故选b【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在

4、三角形内，所以确定三角形的高比较灵活6（2016秋江夏区期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d都有可能【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形故选c【点评】钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点7（2016秋宝塔区期中）如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段cd（）a是ac边上的高b是bc边上的高c是ab边上的高

5、d不是abc的高【分析】根据三角形高线的定义解答即可【解答】解：由图可知，线段cd是ab边上的高故选c【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键8（2016秋铜山区期中）如图，在abc中，bc边上的高为（）abebaecbfdcf【分析】根据三角形的高线的定义解答【解答】解：根据高的定义，ae为abc中bc边上的高故选b【点评】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键9（2016春工业园区期中）abc的高的交点一定在外部的是（）a锐角三角形b钝角三角形c直角三角形d有一个角是60的三角形【分析】根据三种三角形的高线所在直线的交点的位置解答即

6、可【解答】解：锐角三角形三角形的高所在直线的交点在三角形内部，直角三角形三角形的高所在直线的交点在三角形直角顶点，钝角三角形三角形的高所在直线的交点在三角形外部故选b【点评】本题考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线所在的直线的交点的位置是解题的关键10（2016春山亭区期中）三角形三条高的交点一定在（）a三角形内部b三角形外部c三角形内部或外部d三角形内部、外部或顶点【分析】根据三角形的高线的定义分情况讨论高线的交点，即可得解【解答】解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，故选d【点评】本题

7、考查了三角形的高线，熟记三种三角形的高线的交点的位置是解题的关键11（2011秋嵊州市期末）如图所示，baac，adbc，垂足分别为a，d，已知ab=3，ac=4，bc=5，ad=2.4，则点a到线段bc的距离是（）a2.4b3c4d5【分析】根据三角形高的定义可知，ad长度就是点a到线段bc的距离，根据此解答即可【解答】解：adbc，ad=2.4，点a到线段bc的距离是2.4故选a【点评】本题主要考查了三角形的高的概念，结合图形找出abc边bc上的高是解题的关键二填空题（共10小题）12（2015秋吴忠校级期中）如图，若ae是abc边bc上的高，ad是eac的角平分线交bc于d若acb=40

8、，则dae等于25【分析】根据直角三角形两锐角互余求出cae，再根据角平分线的定义可得dae=cae【解答】解：ae是abc边上的高，acb=40，cae=90acb=9040=50，dae=cae=50=25，故答案为：25【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，是基础题，熟记定理与概念并准确识图是解题的关键13（2014秋河西区校级月考）ae是abc的角平分线，adbc于点d，若bac=130，c=30，则dae的度数是5【分析】根据角平分线的定义求出cae，再根据直角三角形两锐角互余求出cad，然后根据dae=caecad计算即可得解【解答】解：ae是abc的角平分线，ca

9、e=bac=130=65，adbc于点d，cad=9030=60，dae=caecad=6560=5故答案为：5【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念是解题的关键14（2011秋五河县期中）已知ad是abc的高，dab=45，dac=34，则bac=79或11【分析】此题分情况讨论：当高在abc内部；当高在abc外部，分别对每一种情况画图，再结合图计算即可【解答】解：当高在abc内部，如右图dab=45，dac=34，bac=45+34=79；当高在abc外部，如右图dab=45，dac=34，bac=4534=11故bac=79或11故答案为：79或11【点评】本题考查了三

10、角形内角和定理，解题的关键是注意分高在三角形内外两种情况讨论求解15（2017春宝安区校级期末）如图，在abc中，adbc，ae平分bac，若1=30，2=20，则b=50【分析】由ae平分bac，可得角相等，由1=30，2=20，可求得ead的度数，在直角三角形abd在利用两锐角互余可求得答案【解答】解：ae平分bac，1=ead+2，ead=12=3020=10，rtabd中，b=90bad=903010=50故答案为50【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得ead=10是正确解答本题的关键16（2017春崇安区期中）如图，abc中，adbc于d，点e在cd上，则图中

11、以ad为高的三角形有6个【分析】由于adbc于d，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线cb上，由此即可确定以ad为高的三角形的个数【解答】解：adbc于d，而图中有一边在直线cb上，且以a为顶点的三角形有6个，以ad为高的三角形有6个故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，可以是三角形的边，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活17（2017春高港区校级月考）在abc中，a+b=c，则abc的三条高线所在直线的交点在c点【分析】利用直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点进而得出答案【解答】解：在abc中，a+b=c，abc是直角三角形，c=90，

12、直角三角形三边上的高的交点恰是三角形的一个顶点，abc的三条高线所在直线的交点在c点故答案为：c点【点评】此题主要考查了三角形的高线，熟记三角形三边上的高的特点是解题关键18（2016春丹阳市校级期中）如图，adbc于d，那么图中以ad为高的三角形有6个【分析】由于adbc于d，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线cb上，由此即可确定以ad为高的三角形的个数【解答】解：adbc于d，而图中有一边在直线cb上，且以a为顶点的三角形有6个，以ad为高的三角形有6个故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活19（2015秋克

13、什克腾旗校级月考）如图，abc中，高cd、be、af相交于点o，则boc的三条高分别为线段of、bd、ce【分析】根据三角形高线的定义去判断推理三角形的高是指三角形的一个顶点到对边的垂线段，故一个三角形有三条高线【解答】解：由三角形高的定义，boc的高是：o到bc的垂线段of；c到ob的垂线段ce；b到oc的垂线段bd【点评】本题主要考查对三角形高线的理解掌握情况，须熟练掌握定义20（2015秋嵊州市校级月考）如图所示：在aec中，efbc，abbc，addc，ae边上的高是cd【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段根据高的概念可知【解答】解：在aec中，ae边上的

14、高是cd故答案为cd【点评】考查了三角形的高的概念，能够根据图形正确找出三角形一边上的高21（2014春陕西校级期中）如图，在abc中，adbc，gcbc，cfab，beac，垂足分别为d、c、f、e，则ad是abc中bc边上的高，cf是abc中ab边上的高，be是abc中ac边上的高，cf是abc的高，也是bfc、fgc、fac、gac的高【分析】根据高线的定义即可解答【解答】解：ad是abc中bc边上的高，是abc中ab边上的高，be是abc中ac边上的高，cf是abc的高，也是bfc、fgc、fac、gac的高故答案是：ad、cf、be、bfc、fgc、fac、gac【点评】本题考查了三

15、角形的高线的定义，是三角形的顶点到对边所在直线的垂线段三解答题（共9小题）22（2016秋宁海县期中）如图，在abc中b=30，acb=110，ad是bc边上高线，ae平分bac，求dae的度数【分析】根据三角形的内角和等于180列式求出bac，再根据角平分线的定义求出bae，根据直角三角形两锐角互余求出bad，然后根据dae=badbae计算即可得解【解答】解：b=30，acb=110，bac=18030110=40，ae平分bac，bae=bac=40=20，b=30，ad是bc边上高线，bad=9030=60，dae=badbae=6020=40【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和

16、高，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键23（2015春邢台校级期中）如图，在abc中，b=60，c=30，ad和ae分别是abc的高和角平分线，求dae的度数【分析】先根据三角形的内角和定理得到bac的度数，再利用角平分线的性质可求出bae=bac，而bad=90b，然后利用dae=baebad进行计算即可【解答】解：在abc中，b=60，c=30bac=180bc=1803060=90ad是的角平分线bae=bac=45，ae是abc的高，adb=90在adb中，bad=90b=9060=30dae=baebad=4530=15【点评】本题考查了三角形内角和定理关键是利

17、用三角形内角和定理求解24（2010春阜宁县校级期中）如图在abc中，cd是高，点e、f、g分别在bc、ab、ac上，且efab，1=2，试判断dg与bc的位置关系？并说明理由【分析】由cd是高且efab可知，cdef，所以dcb=2，再由1=2知dcb=1，所以dg与bc平行【解答】解：dg与bc的位置关系为平行，理由如下：cd是abc的高，cdab，又efab，cdef，dcb=2，又1=2，dcb=1，dgbc，dg与bc的位置关系为平行【点评】本题通过三角形的高线考查线段平行的性质及判定，是基础题25如图ad是abc的角平分线，点p为ad上一点，pmac交ab于m，pnab交ac于n，

18、求证：pa平分mpn【分析】先根据角平分线的定义得到bad=cad，由pmac，pnab，根据两直线平行，内错角相等得到apm=pan，apn=pam，然后经过等量代换即可得到apm=apn【解答】证明：ad是abc的角平分线，bad=cad，pmac，pnabapm=pan，apn=pam，apm=apn，pa平分mpn【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线也考查了

19、平行线的性质26如图所示，ad，ce是abc的两条高，ab=4cm，bc=8cm，ce=6cm，求ad的长【分析】利用三角形的面积列式计算即可得解【解答】解：sabc=abce=bcad，ab=4cm，bc=8cm，ce=6cm，46=8ad，解得ad=3cm【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的面积列出等式是解题的关键27如图，bd、ce是abc的高，bd和ce相交于点o（1）图中有哪几个直角三角形？（2）图中有与2相等的角吗？请说明理由（3）若4=55，acb=65，求3，5的度数【分析】（1）根据直角三角形的定义，从直角顶点找出即可；（2）根据同角的余角相等解答；（3

20、）根据直角三角形两锐角互余求出3，再根据三角形的内角和定理求出boc，然后根据对顶角相等可得5=boc【解答】解：（1）直角三角形有：boe、bce、ace、bcd、cod、abd；（2）与2相等的角是1理由如下：bd、ce是abc的高，1+a=90，2+a=90，1=2，与2相等的角是1；（3）acb=65，bd是高，3=90acb=9065=25，在boc中，boc=18034=1802555=100，5=boc=100【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记三角形的高线的定义以及直角三角形的定义是解题的关键28（2016春高密市期末）如图，abc中，ad是高，ae、bf是角平分线，它们相交于点o，cab=50，c=60，求dae和boa的度数【分析】先利用三角形内角和定理可求abc，在直角三角形acd中，易求dac；再根据角平分线定义可求cbf、eaf，可得dae的度数；然后利用三角形外角性质，可先求afb，再次利用三角形外角性质，容易求出boa【解答】解：a=50，c=60abc=1805060=70，又ad是高，adc=90，dac=18090c=30，ae、