数学人教版八年级下册玩转含60°角的菱形.ppt

1、玩转含60角的菱形,哲理中学数学组叶林建,定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质四条边都相等；对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角,知识驿站,知识链接,菱形既是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在直线,在60的菱形中,短对角线等于边长.,如图，菱形ABCD中，B=60，AEBC，点F在边CD上，AEF=60，求证：BE=DF；,证明：连接AC，菱形ABCD中，B=60，AB=BC=CD，BCD=180-B=120，ABC是等边三角形，AEBCAEF=60，FEC=90-AEF=30，CFE=180-FEC-C=180-30-120=30，FEC=CFE，EC=CF，BE=DF；,例,如图，菱

2、形ABCD中，B=60，点E在边BC上，点F在边CD上。若EAF60，求证：AEF是等边三角形。,证明：连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60AB=BC，D=B=60，ACB=ACF，ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=60，B=ACF=60，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD，AEB=AFC，在ABE和AFC中，B=ACFAEB=AFCAB=ACABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60，AEF是等边三角形,变式1：,变式2：,在菱形ABCD中，B=60，点E在射线BC上运动，EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段B

3、C上时(如图1)，求证：EC+CF=AB；(2)当点E在BC的延长线上时(如图2)，线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明,答案：（1）证明：连接AC，如下图所示：在菱形ABCD中，B=60，EAF=60，ABC和ACD为等边三角形，ACE=ADF=60，AD=AC，CAE=DAF，AECAFD（ASA），EC=DFEC+CF=DF+CF=CD=AB（2）解：线段EC、CF、AB的关系为：CF-CE=AB,已知菱形ABCD中ADC=60，对角线AC、BD交点O,等边AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点求证：OE

4、=OF=OA；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动如图2猜想AEF的三边垂直平分线交点P落在哪一直线上，并加以证明；,变式3：,解：（1）证明：如图I，分别连接OE、OF四边形ABCD是菱形ACBD，BD平分ADCAO=DC=BCCOD=COB=AOD=90ADO=ADC=0.560=30又E、F分别为DC、CB中点OE=CD，OF=BC，AO=ADOE=OF=OA（2）猜想：P一定落在直线DB上。证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PICD于I，PJAD于JPIE=PJD=90，ADC=60IPJ=360-PIE-PJD-JDI=120点P是等边AEF的外心，EPA=120，PE=PA，IPJ=EPA，IPE=JPAPIEPJA，PI=PJ点P在ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。,1.含60角的菱形常见的辅助线；2.含60角的菱形与等边