高中数学必修1函数单调性和最值专题

1、函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1 随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3.增函数的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。注意： 函数的单

2、调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 二、函数的单调性如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性例1、 如图是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【针对性练习】下图是借助计算机作出函数y =x2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间2利用定义证明函

3、数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x11时 (抽象函数证明单调性)（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f(x)在(0, )上是增函数；（3）解不等式=【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论针对性练习1.函数的单调区间是（ ）A（-，+） B.（-，0） （1，） C.（-，1） 、（1，） D. （-，1）（1，）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A B CD 3函数的增区间是（）。A-3

4、，-1 B-1,1 C D 4、已知函数，判断在区间0，1和（1，+）上的单调性。变形(K0)5、定义在（1，1）上的函数是减函数，且满足：，求实数的取值范围。6、函数f(x)=x31在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论复合函数的单调性1、定义：设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为 y=f(u)=fg(x)称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数) 2、复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(

5、x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下： 函数 单调性 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增例1、已知，求的单调性。例2、已知，求函数的单调性。针对性训练1、已知，求函数的单调性。2、已知，如果，那么（ ）A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数三、函数的最大（小）值1函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有； （2）存在，使得那么，称M是函数的最大值2）最小值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于

6、任意的，都有； （2）存在，使得那么，称M是函数的最小值注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有2利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法配方法 换元法 数形结合法例1、求函数 例2、求函数的最大值例3、求函数在区间2，6 上的最大值和最小值【针对性练习】一、选择题1函数y4xx2，x0，3的最大值、最小值分别为( )(A)4，0(B)2，0(C)3，0(D)4，32函数的最小值为( )(A)(B)1(C)2(D)43、函数 在区间0，5上的最大值、最小值分别是（ ）A. B. C. D. 最大值，无最小值。二、填空题1函数y2x24x1 x(2，3)的值域为_2函数的值域为_3、函数的值域是 。4、函数的值域是 。三、解答题1求函数的值域2设函数f(x)(xa)2对于任意实数tR都有f(1t)f(1t)(1)求a的值；(2)如果x0，5，那么x为何值时