直线和圆的方程对称问题

1、题目 第七章直线和圆的方程对称问题高考要求 1掌握求已知曲线的轴对称曲线和中心对称曲线方程的方法：结合曲线对称的定义，用求曲线方程的方法求对称曲线的方程(归结为点的对称)2掌握判断曲线关于几种特殊直线对称的方法:y=x; x轴;y轴知识点归纳1点关于点对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设p（x0，y0），对称中心为a（a，b），则p关于a的对称点为p（2ax0，2by0）2点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点p（x0，y

2、0）关于直线y=kx+b的对称点为p（x，y），则有，可求出x、y特殊地，点p（x0，y0）关于直线x=a的对称点为p（2ax0，y0）；点p（x0，y0）关于直线y=b的对称点为p（x0，2by0）3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点a（a，b）的对称曲线的方程是f（2ax，2by）=0（2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法：设曲线f（x，y）=0上任意一点为p（x0，y0），p点关于直线y=kx+b的对称点为p（y，x），则由（2）知

3、，p与p的坐标满足从中解出x0、y0，代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程4两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：（1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，y）；（2）点（x，y）关于y轴的对称点为（x，y）；（3）点（x，y）关于原点的对称点为（x，y）；（4）点（x，y）关于直线xy=0的对称点为（y，x）；（5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（y，x）题型讲解 例1 求直线a：2x+y4=0关于直线l：3x+4y1=0对称的直线b的方程分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线

4、l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点a在直线a上，那么a关于直线l的对称点b一定在直线b上，这时abl，并且ab的中点d在l上；总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程解：由 ，解得a与l的交点e（3，2），e点也在b上方法一：设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为2，直线l的斜率为则 =解得k=代入点斜式得直线b的方程为y（2）=（x3），即2x+11y+16=0方法二：在直线a：2x+y4=0上找一点a（2，0），设点a关于直线l的对称点b的坐标为（x0，y0），由解

5、得b（，）由两点式得直线b的方程为=，即2x+11y+16=0例2 光线从点a（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点b（2，6），求射入y轴后的反射线的方程分析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称解：a（3，4）关于x轴的对称点a1（3，4）在经x轴反射的光线上，同样a1（3，4）关于y轴的对称点a2（3，4）在经过射入y轴的反射线上，k=2故所求直线方程为y6=2（x+2），即2x+y2=0点评：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透例3 已知点m（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点p和q，使mpq的周长最小分析：如下图，作点m关于直线l的对称点

6、m1，再作点m关于y轴的对称点m2，连结mm1、mm2，连线mm1、mm2与l及y轴交于p与q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的mpq的周长最小解：由点m（3，5）及直线l，可求得点m关于l的对称点m1（5，1）同样容易求得点m关于y轴的对称点m2（3，5）据m1及m2两点可得到直线m1m2的方程为x+2y7=0令x=0，得到m1m2与y轴的交点q（0，） 解方程组得交点p（，）故点p（，）、q（0，）即为所求点评：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果学生练习 1已知点m（a，b）与n关于x轴对称，点p与点n关于y轴对称，点q与点p关于直线x+y=0对称，则点q的坐标为

7、解析：n（a，b），p（a，b），则q（b，a）2曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是解：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为c，在曲线c上任取一点p（x，y），则p（x，y）关于直线x=2的对称点为q（4x，y）因为q（4x，y）在曲线y2=4x上，所以y2=4（4x），即y2=164x3已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是a= bp=5 cm=n且p=5 d=且p=5解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（x）+my+5=0，即xmy5=0，与l2比较，m=n且p=5反之亦验证成立4点a（4，5）关于直线l的对称点为

8、b（2，7），则l的方程为_解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线答案：3xy+3=05设直线x+4y5=0的倾斜角为，则它关于直线y3=0对称的直线的倾斜角是_答案：6一个以原点为圆心的圆与圆x2+y2+8x4y=0关于直线l对称,则直线l的方程是 答案：2xy+5=07直线y=3x4关于点p(2,1)对称的直线l的方程是 答案：3xy10=0 用求方程的方法或几何性质(平行)均可8与直线x+2y1=0关于点（1，1）对称的直线方程为a2xy5=0 bx+2y3=0 cx+2y+3=0 d2xy1=0解：将x+2y1=0中的x、y分别代以2x，2y，得（2x）+2（2y）1=0，即x+

9、2y+3=09两直线y=x和x=1关于直线l对称，直线l的方程是_解：l上的点为到两直线y=x与x=1距离相等的点的集合，即=x1，化简得x+y2=0或3xy2=010自点a(3,3)发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x2+y24x4y+7=0相切，求光线与m所在的直线的方程解：圆c：(x2)2+(y2)2=1关于x轴的对称圆c/的方程是(x2)2+(y+2)2=1设光线所在的直线方程是y3=k(x+3),依题意,它是圆c/的切线，从而点c/到直线的距离为1,=1,解得：k=3/4或k=4/3, 的方程是3x+4y3=0或4x+3y+3=0,同理求过点a/(3,3)的圆c的切线方程,得m的方程为3x4y3=0或4x3y+3