测量误差与数据处理(2)

1、测量误差和数据处理，武汉大学出版社2014年1月，第二章误差传播和最小二乘法原理，方差和协方差传播的律协方差：描述两个随机变量之间的误差相关关系。 x和y不相关，彼此独立，误差不相关，、方差和协方差传播律，随机向量及其协方差矩阵的n维随机向量方差-协方差矩阵、非对角线元素、对角线元素、方差和协方差传播律， 协方差传播律观测值线性函数的方差特例：随机向量x中的各成分相互独立时，它们的协方差矩阵是对角矩阵，这时z的方差上式为，方差和协方差传播律，【例2.1】用长度为l的钢尺测量距离，连续测量了n个尺级。 众所周知，各尺级的距离是独立观测值，其中误差均为m，求出全长s的中误差。 *解：合计测量了n个

2、尺段，全长由(2.13 )知道。啊，原来是这样啊！ 已知设置了方差和协方差传播律【例2.2】观测值L1、L2和L3的函数分别是方差，并且两者之间的协方差。 求函数f的方差。 *解：从方差矩阵的定义来看，观测值的方差矩阵为：f的矩阵形式，函数f的方差，方差和协方差传播律，非线性函数的方差问题：已知变量x的方差和协方差，求出函数的方差。 核心：将非线性函数转换为线性函数。 方法：用展开函数为泰勒级数。，令：哈哈，分散和协方差的传播律，非线性函数的分散函数的全部微分，或者，由于x和dx具有相同的方差，所以z和dz，分散相同。 因此，对于非线性函数的线性化，首先列举函数式，对其求全微分。 设置了方差和

3、协方差传播律【例2.3】，获知在通过其方差矩阵获得的函数为L1=2、L2=3、L3=4时的方差。 *解：因为函数f是非线性函数，所以求其全微分，方差和协方差传播律，误差传播律在测定中的应用水平测定的精度在各站台阶测定中知道误差，在测定级AB求误差a、b两点间的总台阶：方差和协方差传播律， 水平测量的精度是通过千米台阶测量知道误差，在测量级AB中误差测量长度为s，各测量站距离s大致相等的工位数N=S/s，s，千米的台阶误差：由此：方差和协方差传播律，【例2.4】水平测量中每千米的观测台阶误差为10mm 水平路线全长的台阶如果要求误差不超过60毫米，那个水平路线的长度不能超过多少公里？ *解：因为

4、是正式的，这个水平的路线长度不能超过36公里。 众所周知，色散和协方差传播律、读取方位角的精度、读取测定图像、同精度角度观测中的误差，求出第n个读取边方位上的误差。方位角式：方位角中误差：色散和协方差传播律、同精度独立观测值的算术平均值的精度、某一量的同精度独立观测n次，其观测值为L1、L2、Ln，它们的中误差全部相等，求出平均值的中误差。n次算术平均值：方差-协方差传播式，有：方差和协方差传播式，【例2.5】某经纬仪测定的测定角误差为6，为了使各测定的平均值误差不超过2，应该至少测定多少，*解：式得到，因此至少9个测定电路第二章误差传播和最小二乘法的原理，权和定权的常用方法权的定义：设置观测

5、值，将其方差不作为零的任意常数的权，式中的方差可以是相同量的观测值的方差，也可以是不同量的观测值的方差，称为单位权中误差。 权比：权和定权的常用方法，单位权中的误差从权的定义公式来看，只是起到了比例常数的作用，其值选定后，有具体的意义，可以理解为测量误差大小的“单位误差标准”。对于所有中心误差相等的观测值，其权利必须等于1，或权重为1的观测值中的误差必然相等。 因此，通常被称为单位权重的误差，称为单位权重的方差或方差因子，将权重等于1的观测值称为单位权重观测值。 已知的三个角度观测值的误差分别为3、4和5，求出各角的权重。 如果取：则取，如果上例的说明0取的值不同，则各观测值的权重不同，但权重

6、的比率不变，即，权重和权重的常用方法，【例2.7】a角的中误差A=2)，权重PA=4，b角的权重PB=16，单位权重*解：由权的定义式得到，可以将A、PA的值代入上式来求解，另外由权的定义式得到，权和权的常用方法、水平测量权、同精度观测Ni个测量站的水平台阶hi的方差为：c个测量站的观测台阶的方差为单位权方差，即，根据权的公式已知测定站数的权(山地用)、权和权的常用方法每1公里的观测台阶的方差相等的情况下，每Si公里的观测台阶的方差，是以每c公里的观测台阶的方差为单位权重方差，即，通过定权式可以得到路线长度的定权的公式：上式是每1公里的观测台阶的方差。 使用路线长的定权(平地用)、权和定权的常

7、用方法、权和定权的常用方法、【例2.8】下图，确定水平路线观测值的权。 图2.3水准路线图：*假定每公里观测台阶的中误差，从各线路观测台阶的中误差为： 令的话：权比：权和权的常用方法，以下用路线长规定权的公式来规定权：上式中令C=1，即每公里台阶的中误差为单位权中误差：上式中令C=3，即3公里台阶的中误差为单位权中误差：权比：权比：和【例2.10】在相同观测条件下进行的四等水平测定中，将4公里的观测台阶作为单位权观测台阶，如果知道单位权观测误差0=1mm，64公里观测台阶的中间误差会是多少？ *解：根据问题意识，C=4公里，0=1mm，S=64公里，根据水平测量的权重公式求出64公里观测台阶的

8、权重，可以从权重的定义公式得到，因此64公里观测台阶的中央误差为4mm。 设距离量的测量权、1、钢尺距离的权、单位长度距离的测量的方差为2，测量距离Si的方差，设测量长度c的方差为单位权的方差，则用常数式求出，如上式所述，单位长度距离的测量精度相同时，距离的测量权与长度成反比。权和定权的常用方法、测距权、测距仪测距的权可以用定权式直接求出，也就是说，式中任意单位权的分散即测距分散包含固定误差和比例误差两部分。 即，mmkm，2，光电测距的权，权和权的常用方法，等精度观测技术平均值的权，等精度观测的独立观测值(方差全部为2 )算术平均值的方差是：如果把c次观测值的算术平均值作为单位权观测值，就可

9、以用权的公式得到算术平均值的权，如上式说明的算术平均值的权是观测的、权与定权的常用方法、共系数、单位权方差与观测值方差之比可以作为测量精度的相对指标，相反，观测值方差与单位权方差之比也可以作为测量精度的相对指标，我们称为共系数，用符号Qii表示，即可以与权的定义式进行比较，根据共系数定义式共系数和共系数传播律、共系数矩阵、1、n维随机向量x的共系数矩阵伪共系数的定义定义了两个随机变量的互共系数，将n维随机向量x的方差矩阵的定义式相乘为：将上式矩阵称为共系数矩阵，记为QX。 也就是说，在上式矩阵中Qij=0(ij )时，Xi和Xj相互独立。另外，对于共同系数和共同系数传播律，共同系数矩阵，以及向

10、量z为向量x和y的块向量，即，在方程式中，QX和QY分别为x，y向量的自共同系数矩阵，QY和QYX分别为x向量为y向量的互共同系数矩阵，且QY和QYX彼此反置如果QXY=0，则x和y是独立的。 2、块向量的协系数矩阵、协系数与协系数传播律、权重矩阵、差分计算中，经常使用协系数矩阵的逆矩阵来参加运算，为了便于表示，用符号p表示逆矩阵，即观测值的权利通常通过反求权重矩阵来当权利阵列为对角阵列时，对于Qii=1/Pii，并且根据权利和协系数的关系获得的协系数和协系数的传播规律、协系数和协系数的传播规律、协系数和协系数的传播规律、协系数的传播规律，设置有随机向量x的线性函数为在随机向量x中的两个分量之

11、间是相互独立的情况下，它们之间的共因子为零，此时z的共因子为：或：共因子和共因子传播规律，共因子传播规律：共因子和共因子传播规律，【例2.13】在站o中a、b、c这三个方向如果各方向的值间相互独立且等精度，则该权重逆矩阵求出角度=(12)T的权重逆矩阵q。 因为，解：解释了当一个站具有多个方向时，上式在根据方向观测值获得的角度之间具有相关性。 已知谐振因子和谐振因子传播的规律【例2.14】独立观测值Li的权重是pi (I=1，2，n )，并获得了加权平均值x=PL/P的权重Px。 解：基于共系数传播式，根据权重和共系数的关系式，设置在一个三角网上，以同精度独立观测n个三角形的三个内角时，第I个

12、三角形的闭合差根据真误差计算中误差，费洛罗式，(I=1，2，n )，三角形的内角和的中误差，根据三角形的闭合差计算中心误差，根据真误差计算中心误差，使用不同精度的真误差来计算单位权的误差，将一系列不均匀精度的观测值、观测值的真误差、观测值的权重分别设为L1、L2、Ln、1、2、n、P1、P2、Pn，观测值的列真正的误差通过协同系数传播律(即，I=1，2，n )获得，并且所有权重等于1。 根据真误差计算中的误差，等精度观测计算中的误差的公式，代入上式，上式是根据不均匀精度的观测值的真误差求出单位权重中的误差的公式。 如果求第I个观测值中误差，则只根据权重的定义式进行变换就能得到计算式，即，根据真

13、误差计算中误差，根据两观测列之差求中误差，1，根据两观测列之差求单位权重的中误差，把一组的两观测列分别作为第I个量的往返观测值如果全部为Pi，则等量两观测的差，利用真误差或权重的倒数传播式得到的双观测的差的权重的倒数，根据真误差计算中的误差，根据双观测列的差计算中的误差，根据真误差计算中的误差，根据双观测列的差求出中的误差2、根据协方差传播式求出双观测列的单观测中的误差，根据真正的误差求出中的误差，根据双观测列的差求出中的误差，根据协方差传播式求出双观测列平均值的中误差，3、在等精度观测时求出双观测列平均值的中误差，根据任一观测值平均值中求出平均值的函数式、根据真误差计算中误差【例2.15】，

14、在a、b两水准点之间分5段进行水平测定，对各段进行往返观测，并表示其结果。 (1)每公里观测台阶的误差(2)第二级观测台阶中的误差(3)第二级台阶平均值中的误差(4)全长一次观测台阶的误差(5)全长台阶平均值中的误差。 根据、真正的误差计算误差，解： C=1，即把1km的观测台阶作为单位权观测值。(1)每公里观测台阶的中误差(2)第二级观测台阶的中误差：(3)第二级往返观测台阶的平均值的中误差：(4)全长一次观测台阶的中误差(5)全长观测台阶的平均值的中误差：最小二乘原理，测定台阶的基准，下表的三角形内角之和与其理论值(180 )之间不存在为了消除观测值间的不匹配，应该在各观测值上分别加上修正数Vi来满足，满足上述理论关系的修正数多，哪个组是最佳的？ 的条件下求出未知参数和观测值的评价的方法称为最小二乘法。 这就是