2017_18学年高中数学第一章1.1.1正弦定理课件.pptx

1、1.1.1 正弦定理,一,二,一、正弦定理 【问题思考】 1.填空:,2.在ABC中,若已知三个内角A,B,C,可以确定其他元素吗? 提示:不可以,因为没有边长的数据,不能确定三角形的大小.,一,二,答案:B,一,二,二、正弦定理的适用范围 【问题思考】 1.填空: 利用正弦定理,可解决两类解三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其他的边和角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求出其他的边和角.,一,二,2.如何判断三角形解的个数? 提示:(1)代数法 在ABC中,已知a,b,A,由正弦定理可得sin B= sin A=m. 当sin B1时,这样的B不存在,即三角形无

2、解. 当sin B=1时,B=90,若A180时,三角形无解;当A+180时有一解.,一,二,(2)几何法 根据条件中A的大小,分为锐角、直角、钝角三种情况,通过几何作图,得出解的情况.作出已知A,以点A为圆心,边长b为半径画弧交A的一边于点C.使未知的边AB水平,顶点C在边AB上方,以点C为圆心,边长a为半径作圆,该圆与射线AB交点的个数,即为解的个数,如下表所示:,一,二,一,二,答案:1,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)正弦定理仅适用于解锐角或钝角三角形. ( ) (2)已知三角形的两角和一边,这样的三角形是唯一的. ( ) (3

3、)已知三角形的两边和一角,这样的三角形至多有两解. ( ) (4)在ABC中,若AB,则sin Asin B. ( ) (5)在ABC中,若A+B ,则有sin Acos B成立. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,正弦定理的简单应用 【例1】 (1)在ABC中,B=30,C=45,c=1,求b的长及ABC外接圆的半径. (2)在ABC中,a= ,b=6,A=30,解此三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,反思感悟1.解三角形第一类问题(即已知两角和一边,求另两边和一角)的方法步骤,即先利用内角和公式求

4、得第三角,再由正弦定理求得已知角的对边,最后用正弦定理求第三边. 2.解三角形第二类问题(即已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角及其他的角和边)的方法步骤,即先由正弦定理求得已知边的对角,再利用内角和公式求得第三角,最后求得第三边.解答此类问题应注意对解的个数的讨论.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,若将本例1(2)中的条件改为“b=4,c=8,B=30”,结果如何?,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,判断三角形的形状 【例2】在ABC中,若sin2A=sin2B+sin2C,sin A=2sin Bcos C,试判断ABC的形状. 思路分析:本题考查了利

5、用正弦定理判断三角形的形状问题.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,答案:(1)等边三角形 (2)等腰直角三角形,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,判断三角形解的个数 【例3】 判断下列三角形是否有解,若有,则作出解答. (1)a=7,b=8,A=105; (2)b=10,c= ,C=60. 思路分析:结合三角形中大边对大角以及前面总结的有解、无解的结论来确定. 解:(1)a=7,b=8,a90,本题无解.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,反思感

6、悟已知两边及其中一边的对角时,三角形的解的情况不确定(见下表).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,用正弦定理证明问题 【例4】 在ABC中,求证: 思路分析:求证的等式左边既有边又有角,而右边只有角,可利用正弦定理将左边的边化成角. 证明:由正弦定理,得,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,反思感悟在含有边角关系的等式中,若含有a,b,c及sin A,sin B,sin C的形式,则可利用正弦定理并结合已知条件及目标完成边角转化,在转化过程中往往会用到三角变换公式,还要注意ABC中的隐含条件A+B+C=180.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,

7、变式训练2在ABC中,已知a2tan B=b2tan A,求证:ABC为等腰三角形或直角三角形.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,正弦定理与三角函数知识的综合应用,思路分析:本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换,以及正弦定理. (1)利用辅助角公式将f(x)化简后可求得周期和值域; (2)由f(A)= 可求得角A,先利用正弦定理可求得角B,再利用三角形内角和定理求得角C.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,反思感悟1.高考中解三角形的知识往往与三角函数知识进行交叉考查,涉及解三角形的问题,求最值或取值范围是一

8、种常见题型. 2.解决三角形中的有关最值问题或取值范围问题的关键在于:利用正弦定理、三角恒等变换将有关问题转化为某一个角的三角函数或某一边的函数,进而求出其最值或取值范围.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,变式训练3在锐角三角形ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围. 思路分析:先将cos A+sin C转化成关于A或C的三角函数,再求三角函数的取值范围. 解:在锐角三角形ABC中,根据正弦定理,a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为ABC外接圆的半径),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,探究

9、一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,1.在ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( ) A.b=10,A=45,C=70 B.a=30,b=25,A=150 C.a=7,b=8,A=98 D.a=14,b=16,A=45 解析:对于A项,由三角形全等的判定知识得只有一解; 对于B项,ab,AB, 又A=150,只有一解; 对于C项,a90,无解;,有两解. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,当堂检测,2.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B =asin A,则ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析:bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理,得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A, sin(B+C)=sin2A,即sin A=sin2A. 又sin A0,s