第四章 插值方法.ppt

1、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米）处的水温,本章的内容：插值法,第四章 插值方法,当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系列节点 x0 xn 处测得函数值 y0 = f(x0), yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常用的插值函数是 ?,多项式

2、。,g(x) f(x),4.1多项式插值问题的一般提法,4.2 拉格朗日(Lagrange)插值,注: 一次多项式插值 - 过两点直线。 二次多项式插值 - 过三点抛物线。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。,n = 1,可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。,称为拉格朗日插值基函数 ， 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */,二. 拉格朗日插值的基函数构造法,n 1,拉格朗日插值多项式，常记为Ln(x),拉格朗日插值基函数 与 有关，而与 无关,节点,f,是n次多项式。,三. 插值余项,注： 通

3、常不能确定 x , 而是估计 , x(a,b) 将 作为误差估计上限。,当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， , 可知 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式是精确的。,定义4.3.1 差商(亦称均差),4.3 差商与差分及其性质,差商的值与 xi 的顺序无关！,定义4.3.2 差分,当节点等距分布时:,4.4 牛顿插值公式,牛顿插值公式：,Nn(x),Rn(x),注： 由唯一性可知 Nn(x) Ln(x)， 只是算法不同，故其余项也相同，即, 实际计算过程为,f (x0) f (x1) f (x2) f (xn1) f (xn),f x0, x1 f x1, x2 f xn1, xn,

4、f x0, x1 , x2 f xn2, xn1, xn,f x0, , xn,f (xn+1) f xn, xn+1 f xn1, xn, xn+1 f x1, , xn+1 f x0, , xn+1,牛顿公式, 牛顿前插公式（一般当 x 靠近 x0 时用）, 牛顿后插公式（一般当 x 靠近 xn 时用）,将节点顺序倒置：,当节点等距分布时:,4.5 分段插值法,增加插值多项式的次数 并不一定会有更好的插值结果， 这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.,例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取,n 越大， 端点附近抖动 越大，称为龙格 （Runge） 现象,一. 分段线性插值,在每个区间 上，用

5、1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):,缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。,即用折线代替曲线。,优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。,二. 分段三次（Hermite）插值,不少实际插值问题不仅要求函数值相等，而且还要求导数值也相等。这就导致下面的Hermite插值。,并满足,从而,由此条件可求得,类似可得i+1和i+1的表达式。,4.6 三次样条插值,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,f(x),H(x),S(x)

6、,4.7 曲线拟合的最小二乘法,仍然是已知 x1 xm ; y1 ym, 求一个简单易算的近似函数 P(x) f(x)。,但是, m 很大；, yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi)。,这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) yi 总体上尽可能小。,常见做法：, 使 最小 /* 最大最小问题 */,太复杂, 使 最小,不可导，求解困难, 使 最小 /* 最小二乘法 */,考虑一般的线性无关函数族= 0(x), 1(x), , n(x), ，其有限项的线性组合 称为广义多项式。,常见多项式：, j(x) = x j 对应代数多项式。, j(x) = cos jx 、 j(x) = sin jx j(x), j(x) 对应三角多项式。, j(x) = e kj x , ki kj 对应指数多项式。,对于一组数据(xi, yi) (i = 1, 2, , m) 使得 达到极小，这里 n m。,设：,例4.7.1 用 来拟合 .,习题3.14,15,16, 4.5,4.6 解： 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x2,本章基本要求：,熟悉