第五 章 CNC轮廓加工的数学基础.ppt

1、 数控装置的轨迹控制原理 脉冲增量法插补原理 数据采样法插补原理 插补精度与插补速度控制,第五章 数控装置的轨迹控制原理,第五章 数控插补原理,第一节 概述 一、插补的概念 轮廓的形状是由各种线形构成的，用户在零件加工程序中，一般只提供描述该线形所必须的相关参数。为了实现轨迹控制，在运动过程中要实时计算出满足线形和进给速度要求的若干中间点。 插补就是根据给定进给速度和轮廓线形的要求，在轮廓的起点和终点之间，确定一些中间的方法。 对于轮廓控制系统来说，最重要的功能就是插补功能。因为插补运算是在机床运动过程中实时进行的，即在有限的时间内，必须对各坐标轴实时地分配相应的位置控制信息和速度控制信息。

2、插补算法的优劣，将直接影响CNC系统的性能指标。,由于插补方法的重要性，不少学者都致力于插补算法的研究，使之不断有新的、更有效的插补方法应用于CNC系统。 目前，常用的插补算法大致可以分为两大类：脉冲增量插补和数据采样插补。,1、脉冲增量插补 脉冲增量插补是控制单个脉冲输出规律的插补方法。每输出一个脉冲，移动部件都要相应的移动一定距离，这个距离称为脉冲当量（0.01mm0.1um）。 通常用于步进电机控制系统。,2、数据采样插补 数据采样插补法是在规定的时间（插补时间）内，计算出各坐标方向的增量值（X、Y 、 Z）。 这些数据严格的限制在一个插补时间内（如4ms)计算完毕，送给伺服系统，再由伺

3、服系统控制移动部件运动。 移动部件也必须在下一个插补时间内走完插补计算给出的行程，因此数据采样插补也称为时间标量插补， 插补时间采用12ms、8ms、4ms、2ms等，对于运行速度较快的计算机，有的选用的更小。插补时间越短，机床的进给速度越快。现代数据机床的进给速度已超过15m/min30m/min，有些达到60m/min。它适用于直流伺服电动机和交流伺服电动机的闭环或半闭环控制系统。,第二节 脉冲增量插补,主要介绍： 逐点比较法 数字积分法 最小偏差法,脉冲增量插补就是分配脉冲的计算，在插补过得中不断向各坐标轴发出相互协调的进给脉冲，控制机床坐标作相应的移动，,一、逐点比较法插补原理,基本原

4、理：数控装置在控制刀具按要求的轨迹移动过程中，不断比较刀具与给定轮廓误差，由此误差决定下一步刀具移动方向，使刀具向减少误差的方向移动，且只有一个方向移动。,一、逐点比较法插补原理 逐点比较法插补过程可按以下4个步骤(节拍)进行：,第1节拍:偏差判别： 判别刀具当前位置相对给定 轮廓的偏差情况, 以此确定进 给方向。 第2节拍:进给: 使刀具向给定轮廓进给一步, 即向减少误差方向移动。,第3节拍: 偏差计算： 由于进给, 刀具改变了位置, 计算新位置与给定轮廓之间的偏差，作为下一步判别依据。 第4节拍: 终点判别: 判断是否到达被加工轮廓终点,若到达，结束插补；否则，继续插补。,5.2 脉冲增量

5、插补,逐点比较法既可作为直线插补，又可作圆弧插补。这种算法的特点是：运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲的速度变化小，调节方便。因此，在两坐标联动的数控机床中应用较为广泛。,1.直线插补 (1)偏差计算 第一象限直线OE，起点O为坐标原点，直线的终点坐标E（Xe，Ye），直线方程为：,动点P与直线的位置关系有三种情况： 动点在直线上; 动点在直线上方; 动点在直线下方。,YXeXYe0,若P点在直线上，则有 YXeXYe0 若P1点在直线上方，则有 Y1XeX1Ye0 若P2点在直线下方，则有 Y2XeX2Ye0时，表示刀具在OE上方，如点P1，应向X向进给. F 0

6、的情况一同考虑. 下面将F 的运算采用递推算法予以简化，动点 Pi(Xi，Yi)的Fi值为,若Fi0,表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿X 向走一步,假设坐标值的单位为脉冲当量，进给后新的坐标值为（Xi+1，Yi+1）,且 Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi , 新点偏差为,即,Fi+1=Fi-Ye,若Fi0，则动点位于圆弧外侧。 若F=0，则动点在圆弧上。 若Fy时，进给方向为y方向和对角线方向； 当xy时，进给方向为x方向和对角线方向。,讨论一：最小偏差法插补原理,二、圆弧插补 2）偏差判别公式 向x方向进给一步，偏差函数为 ；向对角线方向走一步，偏差函数为：,讨论一：

7、最小偏差法插补原理,比较 ；选择小的进给方向。 进给 ，则： 进给 ，则： 令：,讨论一：最小偏差法插补原理,若 ，说明 ， 进给 ，否则，进给 。 设任一时刻加工点的坐标为 ；比较函数为：,讨论一：最小偏差法插补原理,为简化计算，用,讨论一：最小偏差法插补原理,3）坐标值的修改,讨论一：最小偏差法插补原理,4）计算公式和进给方式的修改,讨论一：最小偏差法插补原理,4）计算公式和进给方式的修改,讨论一：最小偏差法插补原理,4）计算公式和进给方式的修改,讨论一：最小偏差法插补原理（2）,第2种插补方法 1）进给规则 向x坐标轴方向进给或y方向进给。 2）偏差判别公式 向x方向进给一步，偏差函数为

8、 ；向y方向走一步，偏差函数为：,讨论一：最小偏差法插补原理,比较 ；选择小的进给方向。 进给 ，则： 进给 ，则： 令：,讨论一：最小偏差法插补原理,若 ，说明 ， 进给 ，否则，进给 。 设任一时刻加工点的坐标为 ；比较函数为：,讨论二：目标点跟踪法插补原理,直线插补 圆弧插补,讨论三：单步追踪法插补原理,单步追踪法特点： 1）运算简单，多坐标直线插补容易，速度控制方便； 2）误差小于0.73个脉冲当量。,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 在相同的时间内，令x和y方向的进给脉冲均匀分布，则可获得直线插补。 什么样的脉冲分布，能获得最小的插补误差哪？ 根据最小偏差法可以得到。,讨论三

9、：单步追踪法插补原理,一、直线插补 两个重要结论： （1）两个方向进给脉冲间隔之比等于两个方向终点坐标值的反比。即： （2）x向首脉冲至y向首脉冲的间隔等于x向末脉冲至y向末脉冲的间隔。,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 将上述两条结论推广到一般情况，则得到下图所示的脉冲分配方案。,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 它的插补误差最小，是理想的脉冲分配。两个方向首（末）脉冲之间的间隔用 表示，则：,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 脉冲的时间间隔究竟选多大，有两种方案。 方案一：取,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 方案二：取,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线

10、插补 如何实现如图所示的理想脉冲分配？ 单步追踪法就是采用计算脉冲间隔的办法，由起点开始计算，哪个方向的脉冲与起点的间隔小，就朝哪个方向进给，每次只朝一个方向进给，故称“单步”。,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 方案一：比较两个方向脉冲至起点的间隔，可用一个函数F来鉴别：,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 方案二：取,讨论三：单步追踪法插补原理,一、直线插补 方案二：取,讨论三：单步追踪法插补原理,例：插补第一象限直线OZ，直线的终点坐标为（6，4），

11、试用单步追踪法方案一进行插补。,讨论三：单步追踪法插补原理,二、圆弧插补,讨论三：单步追踪法插补原理,二、圆弧插补,讨论三：单步追踪法插补原理,二、圆弧插补,讨论三：单步追踪法插补原理,二、圆弧插补,讨论三：单步追踪法插补原理,二、圆弧插补 例：试用单步追踪法圆弧插补原理插补第二象限顺圆圆弧OZ，起点坐标Q（-6，0），终点坐标Z（0，6）。,5.3 数字 采样插补原理,随着直流伺服技术和交流伺服技术的发展，现代数控机床都采用半闭环或闭环系统。在这些系统中，通常都采用数据采样法。这种方法得出的不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。是根据计算机运算速度，确定一个时间间隔，称为插补周期（小于20

12、ms），在一个插补周期内完成一次插补运算，为各坐标方向提供一组数据，使机床在各坐标方向上同时完成一次微小的运动。 在一个插补时间内，也要对机床各坐标方向上的实际运动增量值进行采样，提供给计算机进行比较。 数字增量插补法在现代CNC系统中得到广泛的应用，在采用这类插补算法的CNC系统中，插补周期是一个重要参数。下面先就插补周期进行讨论，然后再以时间分割法为例，说明直线和圆弧插补原理。,一、插补周期的选择 1、插补周期与精度、速度的关系 在直线插补时，这类插补算法是用小直线段逼近直线,它不会产生逼近误差。在曲线插补中，当用内接弦线逼近曲线时，其逼近误差为 、插补周期为T、进给速度为F以及与该曲线在

13、该处的曲率半径 的关系为：,因为： 所以：,在实际CNC系统中，T是固定的，而F、 是用户给定的，因而 就可能超差，这是不允许的。在实际的系统中，通过对F进行限制来保证 在允许范围内。,2、插补周期与插补运算时间的关系 一旦系统各种线形的插补算法设计完毕，那么该系统插补运算的最长时间就确定了。显然，插补周期必须大于该时间。插补周期一般应为最长插补运算时间的两倍以上，这是因为系统除进行插补运算外，CPU还要执行诸如位置控制、显示等其他任务。 3、插补周期与位置控制周期的关系 由于插补运算的输出是位置控制的输入，因此，插补周期要么与位置控制周期相等，要么是位置控制周期的整数倍，只有这样才能使整个系

14、统协调工作。 例如：FANUC 7M系统的插补周期是8ms，而位置控制周期是4ms；华中1型数控系统的插补周期是8ms，而位置控制周期是2ms。,二、直线插补算法,在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插补直线的起点，如图所示，设有一直线OPe， O(0,0)为起点，Pe (Xe,Ye)为终点，要求以速度F(mm/min)，沿OPe 进给。,设插补周期为T(ms)，则在T内的合成进给量L为： 式中：,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi，即：,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi，即：,上述两个式子究竟哪个较优？ 由算式（1）

15、、（2）分别可得：,对上两式分别求微分并取绝对值得：,对式（3）有： 该算法对误差有收敛作用 对式（4）有： 该算法对误差有放大作用,（3） （4）,由此可知：,通过上面得分析可以得出插补公式的选用原则为： 这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增量，后计算小的坐标增量。,公式的归一化处理,若考虑不同的象限，插补公式将有8组，为程序设计的方便，引入引导坐标的概念，即将进给增量值较大的坐标定义为引导坐标G，进给增量值较小的定义为非引导坐标N。这样便可将八组插补公式归结为一组：,在程序设计时，可将上公式设计成子程序，并在其输入输出部分进行引导坐标与实际坐标的相互转换。这样可大大简化程序的

16、设计。,三、圆弧插补算法,采用时间分割插补法进行圆弧插补的基本方法是用内接弦线逼近圆弧。设计圆弧插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插补圆弧的圆心上，如图所示，以第一象限顺圆（G02）插补为例来讨论圆弧插补原理。,图中Pi(Xi，Yi)为圆上某一插补点A ，Pi+1(Xi+1，Yi+1) 为圆上下一插补点C，直线段AC（=L）为本次的合成进给量，D为AC的中点，辅助线DYm垂直于Y轴，为本次插补的逼近误差。由图的几何关系可得：,则有：,由于YI ，未知，可进行下列近似替换： Yi-1Yi R ，RR -； 则有： cosi =（Yi-Yi-1/2）/ R 上式中Yi-1是上一次插补运算中自动生成的。但是在开始时没有Y0，可采用DDA法求取该值： X0 = L * Y0 / R Y0 = L * X0 / R,同直线插补一样,上述算法是先计算Xi后计算Yi，同样还可以先计算Yi后计算Xi，即： 这两个公式的选用原则同直线类似。,公式的归一