同济第七版高等数学总复习.ppt

1、1,一阶微分方程,第七章,2,1 可分离变量的微分方程,分离变量法,2 齐次方程,3,4,3 一阶线性微分方程,5,高阶微分方程,1、可降阶的高阶微分方程的解法,型,接连积分n次，得通解,型,代入原方程, 得,6,型,代入原方程, 得,7,2、线性微分方程解的结构,（1） 二阶齐次线性方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,8,解的叠加原理,9,特征方程为,3、二阶常系数齐次线性方程解法,二阶常系数齐次线性方程,10,特征方程为,推广： 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程的根,通解中的对应项,11,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法 待定系数法.

2、,12,13,向量的分解式：,在三个坐标轴上的分向量：,向量的坐标表示式：,向量的坐标：,1、向量的坐标表示法,（一）向量代数,第八章 空间解析几何与向量代数,14,向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,15,向量模长的坐标表示式,向量方向余弦的坐标表示式,16,它们距离为,两点间距离公式:,17,2、数量积,(点积、内积),数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,18,3、向量积,(叉积、外积),向量积的坐标表达式,19,方程特点:,1. 旋转曲面,（二）空间解析几何,20,旋转单叶双曲面,旋转双叶双曲面,21,旋转抛物面,22,旋转椭球面,23,（2）圆锥面,（1）球面,（3

3、）旋转双曲面,24,2. 柱面,定义：,平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.,这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.,25,从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面 母线 / 轴,双曲柱面 母线 / 轴,抛物柱面 母线/ 轴,26,27,3. 二次曲面,定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,（1）椭球面,（2）椭圆抛物面,28,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,29,（3）马鞍面,（4）单叶双曲面,（5）圆锥面,30,4.空间曲线,1 空间曲线的一般方程,2 空间曲线的参数方程,3

4、1,C,C关于 的投影柱面,C在 上的投影曲线,设曲线,则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：,所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：,3 空间曲线在坐标面上的投影,32,5.平面,1 平面的点法式方程,2 平面的一般方程,3 平面的截距式方程,33,4 平面的夹角,5 两平面位置特征：,/,重合,34,6.空间直线,1 空间直线的一般方程,35,3 空间直线的参数方程,2 空间直线的对称式方程,36,直线,直线,两直线的夹角公式,4 两直线的夹角,37,5 两直线的位置关系：,/,6 直线与平面的夹角,/,38,直线与平面的夹角公式,7 直线与平面的位置关系,/,39,8点到平面距

5、离公式,比较中学所学的点到直线的距离公式:,40,6.平面束,定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束.,设平面,41,1、偏导数概念,第九章 多元函数微分法及其应用,42,43,2、全微分公式,用定义证明可微与不可微的方法,可微,不可微,44,多元函数连续、可导、可微的关系,有极限,3、关系,45,4、多元复合函数求导法则,定理1 若函数,在点 处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,中间变量均为一元函数的情形,在点t处可导，,公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.,46,5、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的

6、.,47,定理1 设函数,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式), 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,的某一邻域内满足,满足条件,导数,在点,6、隐函数的求导法则,48,定理2,的某邻域内具有连续偏导数 ;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,满足, 在点,若函数 满足:,某一邻域内可唯一确,49,定理3,的某一邻域内具有连续偏导数,设函数,则方程组,的单值连续函数,计算偏导数按直接法求解., 在点,的某一邻域内可唯一确定一组满足条件,满足:,在点,50,7、微分法在几何上的应用,切线方程为,法平面方程为,(1)

7、 空间曲线的切线与法平面,(关键: 抓住切向量),51,1）空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,(取 为参数),52,2）空间曲线方程为,(取 为参数),切线方程为,法平面方程为,53,() 曲面的切平面与法线,切平面方程为,法线方程为,(关键: 抓住法向量),54,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,则,（特殊情形）,55,8、方向导数,记为,（1）方向导数的定义及存在的充分条件,56,三元函数方向导数的定义,方向导数的存在性及其计算方法:,定理,那么函数在,该点沿任一方向 的方向导数存在,且有,57,说明:,可微,沿任一方向的方向导数存在.,反之不一定成立.,(2)

8、梯度的概念,记为,58,梯度与方向导数的关系,59,则称函数在该点取得极大值,极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的,(极小值).,（1)二元函数极值的定义,点称为极值点.,9、多元函数的极值,60,定理1 (必要条件),偏导数,且在该点取得极值 ,则有,（2）多元函数取得极值的条件,函数 在点 存在,说明:,驻点,极值点(可导函数),注意：,使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,1.驻点,2.偏导中至少有一个不存在的点.,所以,可疑极值点是:,61,时, 具有极值,定理2 (充分条件),一阶和二阶连续偏导数,且,令,则: (1) 当,A0 时取极小值.,(2) 当,(3) 当,时, 没有极

9、值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,(按极值定义来判定),62,第四步 求出极值.,63,(3)多元函数的最值,a.最值的存在性：,如函数,b.有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤：,（1）找最值可疑点,D内的驻点及不可导点,边界上的可能极值点,（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值 .,（假定函数在D有有限个可疑点）,定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m .,64,特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小值,为最小值,(大),(大),求二元函数在闭区域D上的最值,往往比较复杂.但如果

10、根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,又知函数在D内可微,且只有唯一驻点,则该点处的函数值就是所求的最值.,函数的最值应用问题的解题步骤：,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),65,（4）条件极值：对自变量有附加条件的极值,66,则 （ ）,处连续；,例 设 处的两个偏导数都存在，,(3),67,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.,1、二重积分的定义,第十章,68,3、二重积

11、分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,69,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,70,求二重积分的方法步骤:,1.作图求交点；,2.选择积分次序；,4.计算.(先内积分后外积分;计算内积分时把,在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序.,(把D写成不等式形式)；,外积分变量看成常数),3.确定积分限,71,1、选择积分次序,(1)首先被积函数要易积分，能积分；,(2)积分区域D尽量少分块.,2、确定积分限,计算二重积分的两个关键：,内限平行线穿越法.,外限 投影法；,72

12、,（2）极坐标系下,73,2、定限方法,内限（ 的限）射线穿越法.,外限（ 的限）看 夹在那两条射线之间；,利用极坐标计算二重积分应注意：,何时用极坐标？,1、当积分区域为圆域或其一部分时 ；,2、被积函数中含有 或 时.,3、用直角坐标求不出的积分.,74,4、二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积,设 上连续，,(3)求质量,75,6、三重积分的几何意义,7、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,5、三重积分的定义,76,8、三重积分的计算,() 直角坐标,（截面法）,（先一后二法）,77,() 柱面坐标,78,积分次序：,定限方法,内限平行线穿越

13、法；,外积分区域投影法.,（ 可用极坐标计算时的定限法）,79,9、三重积分的应用,(3) 质心,(1)求体积,(2)求质量,80,弧微分,设L：,（1）对弧长（第一类）,1.曲线积分的计算化为定积分计算,第十一章曲线、曲面积分,81,（2）对坐标（第二类）,设L：,有方向,82,2曲面积分的计算（化为二重积分）,若,（1）对面积（第一类）的曲面积分,向xoy面的投影为 则,投影,投影,83,（2）对坐标（第二类）的曲面积分,若 上侧，则,有方向,84,3.格林公式 - 平面上曲线积分与二重积分的关系,4.曲线积分与路径无关的条件,L取正向.,以及等价关系.,设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围

14、成,85,5.高斯公式 曲面积分与三重积分的关系,86,6.两类积分之间的关系：,的法向量,L的切向量,曲线:,曲面:,87,三.两类曲线(曲面)积分的典型问题,一般曲线积分化成定积分计算，,一般曲面积分化成二重积分计算，,封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.,封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.,88,第一类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式求出弧微分元素，,定积分定限：下限小于上限.,将积分曲线代入被积函数，,89,2.利用积分性质:,解,3.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性,90,因为积分曲线L关于y轴对称，函数 2xcosy是,例 设L为椭圆,其周长为a，求

15、,解 原式=,x的奇函数，因此有,而,所以,91,第二类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量，,将积分曲线代入被积表达式，,定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.,92,2.利用格林公式,(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分,（满足定理条件）,(2)积分曲线为非封闭曲线,添加曲线(较简单),使之成为封闭曲线, 原曲线积分化为一个,二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.,93,记L所围的区域为D，易知 D是边长为 的正方形区域.,例1 设L为,的反时针方向，则,(A)0； (B)2； (C)4； (D)1,解,由已知，,则由格林公式，得,B,94,解 为用

16、格林公式,它与L所围区域为D , 则,原式,添加辅助线段,95,原式,96,3.利用曲线积分与路径无关的条件,(1)改变原积分路径，使得原积分简化.,(2)已知 是某函数的全微分，,求出该函数，即,97,98,4. 有奇点的曲线积分,例4 设,取逆时针方向，,求,解 取,构造l：,顺时针,已知,99,于是，,由格林公式,100,第一类曲面积分的求法,由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面投影，,将积分曲面代入被积函数，,求出曲面面积元素,向xoy面投影：,1.基本方法：,101,2.计算中注意利用对称性:奇偶性、轮换性,关于xoy面对称，被积函数是z的偶函数.,102,103,解 由对称性（轮换性）,104,问题：,105,第二类曲面积分的求法,上侧取“+”,下侧取“ ”,对坐标 x,y 的积分：,积分曲面向xoy坐标面投影，,将积分曲面代入被积函数，,由积分曲面的侧确定二重积分的符号.,分三项计算,1.,106,前侧取“+”,后侧取“ ”,右侧取“+”,左侧取“ ”,对坐标 y,z 的积分：,对坐标 x,z 的