广东省东莞市南城中学2013届高三第四次月考数学理

1、命题人： 审核人： 审定人： 南城中学2013届高三第四次月考试卷数学（理科）2012.12本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟注意：考生必须保持答题卷的整洁考试结束后，只交回答题卡一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（ ）A B C D2设集合，集合, 则（ ）A B C D3下列命题中，假命题为（ ）A存在四边相等的四边形不是正方形B若R，且则至少有一个大于1C对于任意都是偶数D的充分必要条件是4执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）开始S=4i=1i=i+1结束是否输出SA

2、B C D45图甲3456783456789环数环数频数频数112233图乙甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差高三数学（理科）试卷 第1页 共4页6函数在区间内的图象是（ ）A B C D 7定义在上的函数满足.当时，当时，则（ ）A335 B338 C1678 D201285位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知5位同学之间共进行了8次

3、交换，则收到3份纪念品的同学人数为（ ）A或 B或 C或 D或二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题.）ABCM（一）必做题：第913题为必做题。9函数的定义域为 10在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_11在的二项展开式中，常数项等于 _12已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的求面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_13小明家的晚报在下午5：306：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：007：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是 （二）选做题（

4、1415题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆经过点， 圆心为，则圆的极坐标方程为 15（几何证明选讲选做题）如图，过点P的直线与圆O相交于A，高三数学（理科）试卷 第2页 共4页B两点.若PA=1，AB=2，PO=3，则圆O的半径等于_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）函数（）的最大值为3，其图像相邻两个最高点之间的距离为，（1）求函数的解析式；（2）设，则，求的值17（本小题满分12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名

5、。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计（2）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.参考公式和数据: 随机变量,其中为样本容量； 独立检验随机变量的临界值参考表：0.050.0103.8416.635高三数学（理科）试卷 第3页 共4页18（本小题满分14分）

6、设其中，曲线在点处的切线垂直于轴（1）求的值；（2）求函数的极值19（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面，（1）求证平面；（2）求二面角的余弦值20（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知(nN*)（1）求数列的通项公式；（2）令，数列的前项和为求证：当nN*且n2时，.21（本小题满分14分）若函数定义域为，满足对任意，有，则称为“形函数”；若函数定义域为，恒大于0，且对任意，有，则称为“对数形函数”（1）当时，判断是否为形函数，并说明理由；（2）当时，证明：是对数形函数；高三数学（理科）试卷 第4页 共4页（3）若是形函数，且满足对任意，有，问是否为对数形函数

7、？证明你的结论南城中学2013届高三第四次月考理科数学参考答案一、BADC；CDBA二、9、；10、；11、；12、；13、；14、；15、16、（1）由题意，得，2分函数图像的相邻两个最高点之间的距离为， 最小正周期，。4分故函数的解析式为。5分（2），即，6分，7分，10分故12分（或），9分故12分17解（1）非体育迷体育迷合计男301545 女451055合计7525100将列联表中的数据代入公式计算，得 3分因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. 6分 （2）由频率分布直方图知，“超级体育迷”有5人，表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2，从而一切可能的结果所组成的基本事件

8、有：，等10个基本事件组成，10分其中“从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众”组成的基本事件有：，等7个随即事件，11分所以从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众的概率为.12分18：解：（1）因，故3分曲线在点处的切线垂直于轴，该切线斜率为0，即，5分从而，解得6分（2）由（1）知（）， 7分令，解得，或（舍去），9分当时，故在上为减函数；11分当时，故在上为增函数；13分故在处取得极小值。14分19、（1）因为四边形为等腰梯形，又，3分又，且，平面，5分平面6分（2）由（1）知，所以，又平面，因此 ，两两垂直以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，9分设平面的一个法向量为，则，取，则11分又平面的法向量可以取为，12分，13分二面角为锐二面角，二面角的余弦值为14分（传统方法）取的中点，连结，由于，所以又平面，平面，所以由于，平面，所以平面，故所以为二面角的平面角11分在等腰三角形中，由于，因此，又，所以，故,因此 二面角的余弦值为14分20、解（1）由，得（）两式相减，得，即（） 于是，所以数列是公差为1的等差数列. 5分又，所以. 所以，故. 6分（2）因为，则当