第三章立体的投影1

1、3-1 基本体的投影,概 述,3-3 相贯体的投影,第三章 立体的投影,本章内容,3-2 切割体的投影,课件目录,概 述,零件是基本立体组成。柱、锥、球、圆环等几何体称为基本体；基本体带有切口、切槽等结构时，称为切割体；两相交的立体称为相贯体。,螺栓毛坯,顶针,手柄,由基本体组成的机件,本章着重研究基本体、切割体和相贯体的形体特征、三面投影与作图方法，在立体表面上取点、取线的方法。,3-1 基本体的投影,平面立体由若干个平面围成的实体。 平面立体侧表面的交线称为棱线。 绘制平面立体的投影图： 绘制平面立体所有多边形表面的投影，即绘制各平面间交线（棱线）和顶点的投影。 轮廓线的投影可见粗实线；

2、轮廓线的投影不可见虚线； 粗实线与虚线重合粗实线。,一、平面立体,1.形成 棱柱可以看成是由一平面多边形沿某一不与其平行的直线移动而形成。 直棱柱移动方向与底面垂直，则形成直棱柱。 斜棱柱移动方向与底面不垂直则形成斜棱柱。 正棱柱顶面和底面为正多边形的直棱柱。 棱柱的特点侧棱相互平行且相等。,（一）棱柱,棱柱的形成,正六棱柱,作图:,2.棱柱的投影,分析:正六棱柱由顶面、底面和六个侧棱面组成。正六棱柱的顶面、底面为水平面，前后两面为正平面，其余侧棱面为铅垂面。,(a)直观图,(b)投影图,正六棱柱的投影,在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同，关键是利用可见性判断该点所在的平面，然后利用积

3、聚性或辅助线求出 。,3.棱柱表面上点的投影,直观图,点的可见性判别： 若点所在平面的投影可见，点的投影可见； 若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,已知六棱柱侧表面ABCD上点M的V面投影m ，求该点的H面投影m和W 面投影m。,投影图,a(d),b(c),a,d,b,c,（二）棱锥,1.棱锥的形成,棱锥可看成是由一平面多边形沿某一不与其平行的直线移动，同时各边按相同线性比例缩小而成。 棱锥底面是多边形，各棱线相交于一点。 正棱锥底面为正多边形,各侧面是全等的等腰三角形。,棱锥的形成,正三棱锥,S,c,2.棱锥的投影,分析:正三棱锥由底面和三个侧棱面组成。底面为水平面，后侧棱面为侧垂面，

4、左、右侧棱面是一般位置平面。 作图：(1)作底面的投影；(2)作锥顶的投影；(3)连接锥顶和顶点。,作图:,(a)直观图,(b)投影,正三棱锥的投影,a,b,c,a (c),b,a,b,s,3.棱锥表面上点的投影,已知棱面SAB上点M的正面投影m和棱面 SAC上点N的水平投影n，求作M、N两点的其余投影。,s,（a)直观图,(b)投影,棱锥表面取点,s,n,a,b,a,b,c,c,a (c),b,s,s,m,m,m,(n),n,作图:利用积聚性或表面取点。,过点M引平行于底边AB的平行线M，也可求得点m和m。,方法二：,a,b,a,b,c,c,a(c),b,s,s,m,m,m,n,s,s,棱锥

5、表面取点,二、回转体的投影,回转体由回转面或回转面和平面围成的立体,一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回转面。 形成回转面的动线称为母线，定线称为轴线, 母线在回转面上的任意位置都称为素线。,(a)形成,轴线,母线,回转体和回转面的形成,(b)回转体,纬圆,1.圆柱体,(1)形成,圆柱面可以看成是由一直线段绕与它平行的轴线回转而成，圆柱体的表面是由圆柱面和上、下底面围成的。,（a)圆柱体形成立体图,(b)圆柱体投影直观图,素线,轴线,(2)圆柱的投影,分析：圆柱轴线为铅垂线时，顶圆、底圆为水平面，圆柱面为 铅垂面，素线为相互平行的铅垂线。,圆柱的投影: 轴线、圆的中心线用点画线表示； 水平

6、投影积聚为圆； 正面投影和侧面投影均为矩形。,圆柱体的投影,对V面转向轮廓线,对W面转向轮廓线,(3)圆柱表面上取点,1,(2),1,(2),1,2,已知圆柱面上两点和的正面投影1和（2），求作其余两面投影。,分析：圆柱面上的点，利用投影积聚性求出一面上的投影，利用“三等”关系求另一面上的投影；特殊素线上的点，可直接利用素线求出。,圆柱体的投影,2.圆锥体,(1)形成,轴线,素线,圆锥体一直线绕与它相交的轴线回转而成。由圆锥面和底面圆围成，圆锥面上所有素线均交于锥顶。,（a)圆锥体形成立体图,(b)圆锥体投影直观图,纬圆,分析:当圆锥的轴线是铅垂线时,底面为水平面。圆锥体的水平投影为圆，正面投

7、影和侧面投影为两个相等的等腰三角形。,画投影图： 画轴线、中心线； 画底圆的各面投影； 画锥顶各面投影； 画各转向素线的投影。,(2)圆锥的投影,s,a,b,a,s,c,d,b,d,s,c,圆锥体的投影,A,m,(3)圆锥表面上取点,m,1,m,1,1,已知圆锥面上点M的V面投影，求作其H、W面投影。,圆锥表面取点,方法一：素线法,辅助素线,过锥顶和已知点作辅助素线,辅助纬圆,m,m,1,2,1,2,过已知点作辅助纬圆,A,方法二：纬圆法,圆锥表面取点,m,3.圆球,球面可以看成是由一个半圆绕其自身直径旋转而成。圆球的表面是由球面围成。,(1)形成,（a)圆球立体图,(b)圆球体投影直观图,轴

8、线,纬圆,母线,a,a,b,a,投影：三面投影均为圆，直径等于球的直径。 画图：应先画圆的中心线，然后分别画圆。,(2)圆球的投影,c,b,c,c,b,圆球的投影,n,m,m,(3)圆球表面上取点,1,2,方法：圆球表面取点只能用纬圆法。,1,2,m,圆球表面取点,已知球面上点M、N的正面投影m 、n ，求作其水平投影m、n和侧面投影m 、n 。,(n ),n,圆环面可以看成是以圆为母线,绕与圆共面但不通过圆心的轴线旋转而成。,4.圆环,(1)形成,轴线,母线,圆环的形成,b,a,圆环的投影,(2)圆环的投影及表面取点,a,b,画投影图： 1)画中心线和轴线； 2)画V投影中平行于V面的素线圆

9、； 3)画V面上、下两条轮廓线； 4)画H面面投影中最大轮廓线圆、最小轮廓线圆和中心圆，完成作图。,圆环面取点: 圆环面取点，必须利用纬圆法求解。,5.几种常见的不完整的回转体,(c)半圆球,(d)1/4圆环,(a)半圆筒,(b)圆台,常见的不完整圆转体,小 结,(1)平面立体投影的作图可归结为绘制平面（立体表面）和（棱）线投影的作图。曲面立体要注意转向轮廓素线的投影和回转轴线。,(2)在立体表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法相同。在特殊位置平面内,可利用积聚性，在一般位置平面内，可通过作辅助线的方法。,(3)回转面上取点,在圆柱表面取点可利用积聚性求取，在圆锥表面取点，可利用辅

10、助素线或辅助纬圆法。在圆球表面取点只能利用纬圆法。,3-2 切割体的投影,概述: 切割体基本体被平面截切后的部分 截平面截切立体的平面 截断面立体被截切后的断面 截交线截平面与立体表面的交线 截交线性质： (1)截交线是截平面和立体表面的共有线； (2)截交线一般是封闭的平面图形。 截交线的形状取决于: (1)立体的形状； (2)截平面与立体的相对位置。,截平面,截交线,截断面,截交的基本概念,截交的基本概念,一、平面立体的截交线,1.平面立体截交线的性质 平面立体截交线是一个封闭的平面多边形。 多边形各边是截平面与立体相应棱面的交线。 多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点。 2.求平面立

11、体截交线的实质 求截平面与立体表面的共有点的集合。 3.求截交线的方法 求各棱线与平面的交点棱线法。 求各棱面与平面的交线棱面法。,分析：P为水平面，截交线为六边形，V面投影为一直线，H面反映实形，W面积聚为直线；Q、R面为侧平面，H面投影积聚为直线，W面反映实形，为重合的四边形。,例3-1 求四棱柱被截切后的侧面投影。,(b)已知,RV,PV,QV,(a)立体图,P,Q,R,求四棱柱被截切后的侧面投影,6 (4 ),1(3 ),1(3 ),5 ,10 (4),8 (10 ),6 (4 ),7 (9 ),(c)求平面与各棱线的交点,(d)连线、整理轮廓，完成全图,5,2,5,2,7(8),9(

12、10),2(5),3(4),1(6),3(4),1(6),7(8),9(10),2(5),8 (6),7 (1),9 (3),8 (6),7 (1),10 (4),9 (3),2 ,8 (10 ),7 (9 ),2 ,5 ,四棱柱被截切后,作图：(1)求平面P的截交线； (2)求平面Q、R的截交线； (3) 检查,判断可见性，将各点依次连接。 注意：两截平面间交线 。,例3-2 完成三棱锥被截后的水平投影，并求作其侧面投影。,PV,分析：三棱锥被正垂面所截，截交线为三角形，V面投影积聚为一条直线段；H面、W面均为类似形。,（b）已知,（a）立体图,三棱锥被截切后的投影,3,2,1 ,1,求三角

13、形各顶点的H面、W面投影； 判断可见性，依次连线； 检查,整理轮廓，加深，完成全图。,2,1 ,2 ,3 ,1,3,1,2,3,2 ,3 ,Pv,1,2,3,三棱锥被截切后,(3)求交点,（4）连线、整理,二、回转体截交线性质、求法,性质：回转体截交线一般为封闭的平面曲线。 实质：求截交线就是求截平面与回转体表面一系列的共有点，最后将这些点的同面投影光滑连接起来。 作图步骤： 1)求出截交线上的特殊点； 2)作出若干个一般点； 3)将求出的点依次光滑连接。 特殊点是指特殊素线点、确定大小、范围的点，极限位置点，椭圆长、短轴的端点，以及抛物线、双曲线的顶点等。,圆柱截交线三种情况圆、椭圆和矩形,

14、1.圆柱的截交线,例3-3 求正垂面与圆柱的截交线。,分析：截平面与轴线斜交，截交线为椭圆。截交线的V面投影积聚于一条线，W面投影积聚圆上，求H面投影。,(a)立体图,斜切圆柱体的投影,(b)已知,(c)求特殊点,Y1,1 ,Pv,3 ,7(8),Y2,1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,3(4),5(6),1 ,2 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,Y1,Y2,2,3(4),1,4 ,2 ,步骤：(1)求特殊点、。 (2)求一般点、 。 (3)连接，整理轮廓，完成全图。,例3-3 求正垂面P与圆柱的截交线。,斜切圆柱体的投影,(d)连接整理,3 ,Pv,Y,作图步骤： (1)根据“宽相等”

15、，画P面截交线的W面投影。 (2)根据“高平齐、宽相等”，画Q面的W面投影。 (3)整理轮廓，按规定线型加深 。,例3-4 求中间开槽圆柱的作W面投影。,开槽圆柱体的投影,（二）圆锥的截交线,平面与圆锥体相交的五种形式,例3-5 求圆锥被正垂面P截切的截交线。,分析：截交线为椭圆，V面投影与截平面的Pv重合，H面投影和W面投影均为椭圆，但不反映实形。,(a)立体图,斜切圆锥体的投影,(b)已知,Pv,截切,1 ,5 ,3(4),1,2,3,4,5,6,7,8,y1,5(6),7(8),y1,3(4),1,2,5(6),7(8),2 ,3 ,4 ,6 ,7 ,8 ,作图: (1)求特殊点。特殊素

16、线上的点、 、，椭圆长、短轴的端点 、。 (2) 求一般点 、。 (3)光滑连接 ，整理轮廓，完成全图 。,(c)求特殊点和一般点,斜切圆锥体的投影,(d)连接整理,Pv,Pv,例3-6 求圆锥被截后的水平投影和侧面投影。,(a)立体图,圆锥被侧平面截切,(b)已知,分析：截交线为双曲线。截交线V面、H面投影分别积聚为一条线，需求反映实形的W面投影即可。,Pv,4 ,3 ,2 ,1 ,2(3 ),作图过程：,2 ,5 ,3 ,1 ,4 ,Y1,Y2,Y1,5 ,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,2(3 ),1,4(5 ),1,4(5 ),(1)求特殊点、 ； (2)求一般点、 ； (3)

17、光滑连接、整理轮廓。,(c)求特殊点和一般点,圆锥被侧平面截切,(d)连接整理,Y1,Y2,Pv,Pv,圆球截交线均为圆，但根据截平面相对投影面的位置不同，截交线的投影可以是圆、直线或椭圆。,（三）圆球的截交线,圆球的截交线,例3-7 求作开槽半圆球的水平和侧面投影。,Q,P,(a)立体图,求开槽半圆球的投影,(b)已知,分析:圆球被侧平面P和水平面Q所截。侧平面P的W面投影反映实形圆弧，H面积聚成线；水平面Q的H面投影反映实形圆弧，W面积聚成线。,作图: (1)完成平面P的投影； (2)完成平面Q的投影； (3)整理轮廓，完成全图。,(c)求P、 Q的投影,求开槽半圆球的投影,(d)整理轮廓

18、，完成全图,（四）同轴复合回转体的截交线,同轴复合回转体的截交线，必须分析形体是由哪些回转体组合而成，截平面与被截切的各个回转体的相对位置，截交线的形状及其投影特性，然后逐个画出各回转体的截交线，最后将其依次连接起来。,例3-8 求作图示立体的水平投影图。,同轴复合回转体的截交线,(a)立体图,(b)已知,2,10,3,6,9(10 ),10,8,1,7,3,2,6,9,2(3 ),1,4,5,7,8,9,1,8,1,8,4(5 ),6(7 ),4(5 ),6(7 ),9(10 ),1,3 (7 ),8 ,9 ,10 ,2 (6 ),1,2 ,3 ,8 ,9 ,10 ,5 (7 ),4 (6

19、),分析：立体由圆锥和圆柱组合后，被水平面和正垂面截切。水平面截交线为双曲线、两条平行的素线；正垂面截交线为椭圆弧。V面、W面投影有积聚性，需求其H面投影。,作图：(1)求水平面截圆锥的截交线双曲线； (2) 求水平面截圆柱的截交线两条平行的素线； (3)求正垂面截圆柱面的截交线椭圆弧 ； (4)整理轮廓，完成全图。,同轴复合回转体的截交线,(c)求各面截交线,(d)整理轮廓，完成全图,求截交线的解题方法与步骤: (1)空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。 分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特征。 (2)求截交线 当截交线的投影为非圆曲线

20、时，要先找全特殊点，再补充一般点，最后光滑连接曲线，并完善轮廓的投影。,小 结,3-3 相贯体的投影,一、相贯线的概述,相贯线概念： 两立体相交称为相贯，两立体表面交线称为相贯线 相贯线性质： (1)相贯线是两个立体表面的共有线; (2)相贯线一般为封闭的空间曲线。 截交线的形状取决于: (1)立体的形状； 2.截平面与立体的相对位置。 立体相贯三种情况： (1)平面体与平面体相贯 (2)平面体与曲面体相贯 (3)曲面体与曲面体相贯,二、两回转体相贯,相贯线的性质： (1)相贯线为相交立体表面的共有线； (2)相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线，也可能为不封闭的空间曲线。 求

21、相贯线的步骤： (1)求相贯线上的特殊点，如两立体外形轮廓线上的特殊点、极限位置点等等； (2)求两曲面体表面上一系列一般点； (3)判别可见性，光滑连接，整理轮廓 。 求相贯线的方法： (1)表面取点法; (2)辅助切平面法。,两曲面体相贯线的不同情况,相贯线为封闭 的空间曲线,(b)相贯线为不封 闭的空间曲线,(d)相贯线为直线,(c)相贯线为平 面曲线,两曲面体相贯线的不同情况,1.表面取点法,当回转体表面的投影具有积聚性时，可利用积聚性投影，通过表面取点的方法，求出相贯线其它投影。,例3-9 求作两正交圆柱的相贯线的投影。,两圆柱正交的相贯线,(a) 立体图,(b) 已知,5(6 ),

22、3,y1,y1,2,3(4 ),1,6 (8 ),7(8 ),1,2,4,1 (2 ),5 (7 ),4 ,3,空间及投影分析: 两圆柱正交，相贯线为一前后、左右对称的封闭的空间曲线。相贯线的W面投影与大圆柱面重合，为一段圆弧；H面投影与小圆柱面重合，为一个圆；需求V面投影。,两圆柱正交的相贯线,作图: (1)求特殊点、； (2)求一般点、； (3)光滑连接，整理轮廓 。,两非等径圆柱正交相贯线的相似画法,两圆柱正交直径相差较大时，在与两圆柱轴线所确定的平面平行的投影面上的相贯线投影可以采用圆弧代替。作图时，以较大圆柱的半径为圆弧半径，其圆心在小圆柱轴线上，相贯线弯向较小的立体。,两圆柱正交相贯线的近似画法,(a),(b),两圆柱正交的形式：,不同结构内、外表面的相贯线画法相同，只是其可见性要根据情况正确判断处理。,两圆柱相贯的三种形式,（a)两外表面相交,（b)内表面与外表面相交,（c)两内表面相交,2辅助切平面法,辅助切平面法的作图原理： 设有甲、乙两立体相交，根据三面共点的原理，作适当的辅助切平面（图示为水平面），同时与甲、乙两立体相交，分别得到截交线A和B，A、B两截交线的交点K、L，即为相贯线上的点。,辅助切平面法作图原理,辅助切平面选择原则： 辅助切平面可以是平面，也可以是曲面（如球面），但为使作图简便，应使辅助切平面与两立体表面交线的投影为简单易画的图形：直线或圆。