计算药物分析药学与生物信息学第二章

1、第2章 化学中常用的计算方法,矩阵及其基本运算 线性方程组和回归分析 高次方程的求解 插值和拟合,一、矩阵概念,1. 矩阵的定义,简记为,实矩阵: 元素是实数,复矩阵： 元素是复数,例如：,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,是一个 矩阵,2.一些特殊的矩阵,零矩阵(Zero Matrix):,注意：,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如：,元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 .,行矩阵(Row Matrix):,列矩阵(Column Matrix):,方阵(Square Matrix):,只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(

2、或列向量).,例如：,是一个 3 阶方阵.,对角阵(Diagonal Matrix):,方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。,数量矩阵(Scalar Matrix):,方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。,单位矩阵(Identity Matrix):,记作:,行列式与矩阵的区别:,1. 一个是算式 ，一个是数表,2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.,3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为:,方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。,系数矩阵,个变量,与,个变量,之间的,关系式,其中,为常数.,系数矩阵,二、矩阵的基本运算,1. 矩阵相等,矩阵相等:,例：,同型

3、矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,2. 矩阵的加减法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,加法:,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如：,3. 数与矩阵相乘,数乘:,注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.,数乘矩阵满足的运算规律：,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,定义：,并把此乘积记作,4. 矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中,例：,例2：,求AB,故,解:,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时， 两个矩阵才能相乘.,例如:,不存在.,

4、矩阵乘法满足的运算规律：,（其中 为数）;,矩阵乘法不满足交换律,例 : 设,则,注意：,5. 矩阵的转置,定义: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例:,转置矩阵满足的运算规律：,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明：,例:,设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵.,对称阵:,6.方阵的行列式,定义：由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或,运算规律：:,MatLab 概述与运算基础,Matrix Laboratory,20世纪70年代中期，美国New mexico 大学计算机系主任的Cleve Moler和其同

5、事在美国国家科学基金的资助下研究开发了调用LINPACK和EISPACK子程序库。并于1984年编写了便于使用LINPACK和EISPACK的接口程序，并将该程序取名为MATLAB。由美国 MathWorks 公司推向市场以来，现已成为国际公认的最优秀的工程应用开发环境。 MATLAB功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。,MatLab 概述与运算基础,2001年初推出了MATLAB6.0(R12)正式版，不仅在数值计算、符号运算和图形处理等功能上进一步加强，而且又增加了一些工具箱。目前MATLAB已拥有数十个工具箱，控制系统工具箱、信号处理工具箱、神经网络工具箱、最优化工

6、具箱、金融工具箱偏微分方程工具箱等 。 MATLAB语言的算法先进，许多功能函数都带有算法的自适应性，且运算速度快捷。 MATLAB编程容易、效率高，调试方便、简单，人机交互性强。,MatLab 概述与运算基础,MATLAB的数值计算功能包括：矩阵运算、多项式和有理分式运算、数据统计分析、数值积分、优化处理等。符号计算可以得到问题的解析解。,MATLAB除了命令行的交互式操作以外，还可以程序方式工作。使用MATLAB可以很容易地实现C或FORTRAN语言的几乎全部功能，包括Windows图形用户界面的设计。,MATLAB提供了两个层次的图形命令：一种是对图形句柄进行的低级图形命令，另一种是建立

7、在低级图形命令之上的高级图形命令。利用MATLAB的高级图形命令可以轻而易举地绘制二维、三维，并可进行图形和坐标的标识、视角和色彩精细控制等操作。,逗号或空格用于分隔某一行的元素，分号用于区分不同的行。除了分号，在输入矩阵时，按Enter键也表示开始一新行。输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列。 例 m=1 2 3 4 ；5 6 7 8；9 10 11 12 p=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3,1、矩阵的建立,MatLab,特殊矩阵的建立：,d=eye(m，n) 产生一个m行、n列的单位矩阵,c=ones(m，n) 产生一个m行、n列的元素 全为1的矩阵,b=zeros(m，n

8、) 产生一个m行、n列的零矩阵,a= 产生一个空矩阵，当对一项操作无结 果时，返回空矩阵，空矩阵的大小为零.,MATLAB 程序： 矩阵的建立,m=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12 p=1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 a= b=zeros(2,3) c=ones(2,3) d=eye(2,3) e=eye(3,3),2、矩阵中元素的操作,（1）矩阵A的第r行：A（r，：）,（2）矩阵A的第r列：A（：，r）,（4）取矩阵A的第i1i2行、第j1j2列构成新矩阵:A(i1:i2, j1:j2),（5）以逆序提取矩阵A的第i1i2行，构成新矩阵:A(i2:-1：

9、i1，：）,（6）以逆序提取矩阵A的第j1j2列，构成新矩阵:A(:, j2:-1：j1 ）,（7）删除A的第i1i2行，构成新矩阵:A(i1:i2，：)= ,（8）删除A的第j1j2列，构成新矩阵:A(：， j1:j2)= ,（9）将矩阵A和B拼接成新矩阵：A B；A；B,（3）依次提取矩阵A的每一列，将A拉伸为一个列向量：A（：）,MATLAB 程序： 矩阵元素的操作,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9 a1=a(2,:) a2=a(:,2) a3=a(:) a4=a(1:2,2:3) a5=a(2:-1:1,:) a6=a(:,3:-1:2) a7=a;a7(1:2,:)= a8=a

10、;a8(:,1)= a9=a a2 a10=a;a1,（2）矩阵-矩阵运算 1 元素对元素的运算，同数组-数组运算。,3、矩阵的运算,（1）标量-矩阵运算 同标量-数组运算。,2矩阵运算： 矩阵加法：A+B 矩阵乘法：A*B 方阵的行列式：det（A） 方阵的逆：inv（A）,MATLAB 程序：矩阵元素的操作,a=1 2 3 4 5 6 b=1 2 1 2 1 2 c1=a+a c2=a*b c=2 7 3;3 9 4;1 5 3 c3=det(c) c4=inv(c),矩阵的基本运算,转置: AT或A (矩阵的行与列互换),对称矩阵（A=AT）,求逆: A，B均为方阵，如AB=BA，则A是

11、可,逆的，记为B=A-1,矩 阵 解 法,正规方程组 （m=n，方阵） AX=B A-1AX=A-1B （ A-1A=In ） InX=A-1B （ InX=In ） X=A-1B,例 解：,超定方程组 （ ） AX=B (ATA) X=ATB (ATA)-1 (ATA) X= (ATA)-1 ATB InX =(ATA)-1 ATB X= (ATA)-1 ATB,矩 阵 解 法,应用示例：（光谱分析中的多组分测定 ） A=ECL A=A1+A2+An,应努力建立条件数小的方程组，避免因解病态方程组造成的误差。 由于方程组的条件数取决于系数矩阵，根据研究体系的特征，选择适当的实验点，是避免产生

12、病态方程组的关键。 如计算分光光度法中当各组分光谱完全相同，将得到无解的奇异矩阵；但假如虽然有差别，可差别很小，则条件数必然很大，则将得到病态方程组。 分光光度法中波长的选择十分重要。,二、 线性方程组和回归分析,克莱姆公式 高斯消去法 矩阵解法,矩阵解法,系数矩阵-A,未知数矩阵-X,常数矩阵-B,矩阵形式：AX=B X=inv(A)*B=AB,一元线性回归及有关计算,一元线性回归 - 二变量间x和y的线性关系,y,x,*,*,*,*,*,线性相关系数的求算,总 变 差 平 方 和,0,S=Q(残差平方和)+U(回归差平方和),三、高次方程的求解,迭代法,三、高次方程的近似求解,对方程f(x

13、) = 0 求近似解，使f(x*)0,设初值x0，按一定规则生成新值x1 依次计算生成数列: x0,x1,x2,x3xn lim xn =x*, xn-xn-1 ,弦截法,基本原理,迭代通式,收敛指标,牛顿-雷扶生法的基本思想,设 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 处作泰勒展开 若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程 设 ，令其解为 ，得 这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。,牛顿-雷扶生法,切线逼近法,特点：一个初始值；收敛速度快，求根方便,x0=1, x1 = 1- (1-2-5)/(3*1-2) =7 x2=4.7655 x3=3.3487 x4=

14、2.5316 x5=2.1739 x6=2.09788 x7 =2.094552 x8=2.094552,注意点： 1、 收敛标准： 2、 初始值： 3、 可能有多个解,设函数 在区间 上有定义，且已知在点,上的,函数 ，,成立，就称 为 的插值函数，点 称为插,值节点，包含节点的区间 称为插值区间，求插值函数,若存在一简单,使,的方法称为插值法。,四、插值和拟合,若 是次数不超过 的代数多项式，,其中 为实数，就称 为插值多项式，,若 为分段的多项式，就称为分段插值.,若 为三角多项式，就称为三角插值.,即,相应的插值法称为多项式插值.,从几何上看，插值法就是就曲线 ，使其通过 给定的 个点

15、 ，并用它近似已知曲线 .,见图,对表2-2 的数据，如仅用末两列数据，则只能用线性插值得到正确的结果。 上式中x应为滴定剂体积V, y为对应的电位二次微商值(2E/V2)，这里要求结果为0。 Ve=interp1(x,y,0,method,) 0可为数组，method为linear（缺省），nearest(最近邻点插值)，cubic (三次插值)。,polyfit可广泛用于各种拟合,设初始剂量为D0，每次注射剂量为D，注射间隔时间为，给药方案为D0,D,。 血药浓度 应保持在1025 ug/mL之间, 则 D0 =vc2 = 375 mg, D=v(c2-c1)=225 mg 可制定给药方案首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的间隔时间为4小时。,help polyfit POLYFIT Polynomial curve fitting. POLYFIT(x,y,n) finds the coefficients of a polynomial p(x) of degree n that fits the data, p(x(i) = y(i), in a least-squares sense. p,S = POLYFIT(x,y,n) returns the polynomial coefficients p and a matrix S f