中考数学的规律性问题

1、华东地区2012年中考数学试题（53套）分类解析汇编专题14：规律性问题一、选择题1. （2012山东滨州3分）求1+2+22+23+22012的值，可令S=1+2+22+23+22012，则2S=2+22+23+24+22013，因此2SS=220131仿照以上推理，计算出1+5+52+53+52012的值为【 】A520121B520131CD【答案】C。【考点】分类归纳（数字的变化类），同底数幂的乘法。【分析】设S=1+5+52+53+52012，则5S=5+52+53+54+52013， 5SS=520131，S=。故选C。2. （2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上

2、可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【 】A32 B126 C135 D144【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x16。 x（x16）=192，解得x=24或x=8（负数舍去）。 最大数为24，最小数为8。 圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。3. （2012山东日照4分）

3、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】（A） （B） （C） （D） 【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），等腰直角三角形和正方形的性质。【分析】寻找规律：等腰直角三角形OAB中，A=B=450，AA1C1和BB1D1都是等腰直角三角形。AC1=A1C1，BD1=B1D1。又正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，AC1=C1D1=D1B。又AB=1，

4、C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，正方形AnBnCnDn的边长为。故选B。4. （2012山东烟台3分）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是【 】A3B4C5D6【答案】C。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】如图所示，断去部分的小菱形的个数为5：故选C。5. （2012山东淄博4分）骰子是6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6的小立方体，它任意两对面上所写的两个数字之和为7将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体，这个几何

5、体的三视图如图所示已知图中所标注的是部分面上的数字，则“”所代表的数是【 】(A)2(B)4 (C)5(D)6【答案】 B。【考点】分类归纳（图形的变化类），几何体的三视图。【分析】由任意两对面上所写的两个数字之和为7，相接触的两个面上的数字的积为6，结合左视图知，几何体下面5个小立方体的左边的数字是1，右边的数字是6；结合主视图知，几何体右下方的小立方体前面的数字是3，反面的数字是4；根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右下方的小立方体上面的数字只能是2（如图）。 根据相接触的两个面上的数字的积为6，几何体右上方的小立方体下面的数字是3；根据任意两对面上所写的两个数字之和为7，几何体右

6、上方的小立方体上面的数字是4。 俯视图上“”所代表的数是4。故选B。6. （2012山东济南3分）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是【 】A（2，0）B（1，1）C（2，1）D（1，1）【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，相遇问题及按比例分配的运用。【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规

7、律作答： 矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2。由题意知：第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为121，物体甲行的路程为12=4，物体乙行的路程为12=8，在BC边相遇；第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为122，物体甲行的路程为122=8，物体乙行的路程为122=16，在DE边相遇；第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为123，物体甲行的路程为123=12，物体乙行的路程为123=24，在A点相遇；此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，20123=6702，故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路

8、程为122=8，物体乙行的路程为122=16，在DE边相遇。此时相遇点的坐标为：（1，1）。故选D。7. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，同心圆与直线y=x和y=x分别交于A1，A2，A3，A4，则点A30的坐标是【 】A（30，30）B（8，8）C（4，4）D（4，4）【答案】C。【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数综合题，解直角三角形。【分析】A1，A2，A3，A4四点一个周期，而304=7余2，A30在直线y=x上，且在第二象限。即射线OA30与x轴的夹角是45，如图OA=8，AOB=45，在直角坐标系中，以原

9、点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，OA30=8。A30的横坐标是8sin45=4，纵坐标是4，即A30的坐标是（4，4）。故选C。8. （2012江苏扬州3分）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如2335，337911，4313151719，若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是【 】A43 B44 C45 D46【答案】C。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】分析规律，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解：2335，337911，4313151719，m3分裂后的第一个数是m(m1)1，共有m个奇数。45(451)11981，

10、46(461)12071，第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，m45。故选C。9. （2012江苏盐城3分）已知整数满足下列条件：, ,依次类推，则的值为【 】 A B C D【答案】B。【考点】分类归纳（数字的变化类）【分析】根据条件求出前几个数的值，寻找规律，分是奇数和偶数讨论： ， ，当是奇数时，是偶数时， 。故选B。10. （2012江苏镇江3分）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形。取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形。取其各边的三等分点，顺次连接

11、又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），按此方式依次操作。则第6个正六边形的边长是【 】A. B. C. D. 【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形和判定和性质，三角形中位线定理。【分析】如图，双向延长EF分别交AB、AC于点G、H。 根据三角形中位线定理，得GE=FH=，GB=CH=。 AG=AH=。 又ABC中，A=600，AGH是等边三角形。 GH=AG=AH=。EF= GHGEFH=。 第2个等边三角形的边长为。 同理，第3个等边三角形的边长为，第4个等边三角形的边长为，第5个等边三角形的边长为，第6个等边三角形的边长为。 又相应正六边形的边长是等边三角形的

12、边长的， 第6个正六边形的边长是。故选A。11. （2012浙江丽水、金华3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，称为三角形数类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是【 】A2010B2012C2014D2016【答案】D。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项计算进行判断即可得解： 2010121676，2012121678，20141216710，201612168，2016既是三角形数又

13、是正方形数。故选D。12. （2012浙江绍兴4分）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m550m之间树与灯的排列顺序是【 】ABCD【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），解一元一次不等式。【分析】根据题意得：第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米第n个灯的里程数为10+40（n1）=（40n30）米，由，解得，n=14。当n=14时，40n30=530米处是灯，则510米、520米、540米处均是树。从此路牌起向右510m

14、550m之间树与灯的排列顺序是树、树、灯、树。故选B。13. （2012浙江绍兴4分）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；设Pn1Dn2的中点为Dn1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn1重合，折痕与AD交于点Pn（n2），则AP6的长为【 】ABC D【答案】A。【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题）。【分析】由题意得，AD=

15、BC=，AD1=ADDD1=，AD2=，AD3=，ADn=。故AP1=，AP2=，AP3=APn=。当n=14时，AP6=。故选A。14. （2012福建莆田4分）如图，在平面直角坐标系中，A(1，1)，B(1，1)，C(1，2)，D(1，2)把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按ABCDA一的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是【 】 A(1，1) B(1，1) C(1，2) D(1，2)【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后

16、的第几个单位长度，从而确定答案： A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），AB=1（1）=2，BC=1（2）=3，CD=1（1）=2，DA=1（-2）=3。绕四边形ABCD一周的细线长度为2323=10，201210=2012，细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，即点B的位置。所求点的坐标为（1，1）。故选B。二、填空题1. （2012山东菏泽4分）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和例如：，和分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即；若也按照此规律来进行“分裂”，则“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 【答案】41。【考点】分

17、类归纳（数字的变化类）。【分析】由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=21+1，由33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=32+1，由43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=43+1，由53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=54+1，由63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=65+1，63“分裂”出的奇数中最大的是65+1+2（61）=41。2. （2012山东临沂3分）读一读：式子“1+2+3+4+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求和符号

18、通过对以上材料的阅读，计算= 【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），分式的加减法。【分析】， 。3. （2012山东莱芜4分）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3、，按此规律，点A2012在射线 上【答案】AB。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】寻找规律，从图示知，各点按16次一循环： A1、A3、A10、A12、在射线AB上；A2、A4、A9、A11、在射线DC上； A5、A7、A14、A16、在射线BD上；A6、A8、A13、A15、在射线CA上。 201216=12512，点A2012与A12位置相同，即在射线AB上。4

19、. （2012山东潍坊3分）下图中每一个小方格的面积为l，则可根据面积计算得到如下算式：1+3+5+7+(2n1)= .(用n表示，n是正整数)【答案】n2。【考点】分类归纳（图形的变化类）。【分析】由图可知： 当k=1时，面积为12=1；当k=2时，面积为13=22=4；当k=3时，面积为135=32=9；当k=4时，面积为1357=42=16；当k=n时，面积为135（2n1）=n2。5. （2012山东德州4分）如图，在一单位为1的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，的等腰直角三角形若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A

20、2（1，1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为 【答案】（2，1006）。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，等腰直角三角形的性质。【分析】2012是4的倍数，A1A4；A5A8；每4个为一组，A2012在x轴上方，横坐标为2。A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，A2012的纵坐标为2012=1006。A2012的坐标为为（2，1006）。6. （2012山东东营4分） 在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，和B1，B2，B3，分别在直线和x轴上OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2，那么点的纵坐标是 【

21、答案】。【考点】一次函数综合题，分类归纳（图形的变化类），直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，等腰直角三角形的性质。【分析】利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律：A1（1，1），A2在直线y=kx+b上， ，解得。直线解析式为。如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为A、D。当x=0时，y= ，当y=0时，解得x=4。点A、D的坐标分

22、别为A（4，0 ），D（0，）。作A1C1x轴与点C1，A2C2x轴与点C2，A3C3x轴与点C3，A1（1，1），A2，OB2=OB1+B1B2=21+2=2+3=5，。B2A3B3是等腰直角三角形，A3C3=B2C3。同理可求，第四个等腰直角三角形。依次类推，点An的纵坐标是。7. （2012山东泰安3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）根据这个规律，第2012个点的横坐标为 【答案】45。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标。【分析】观察图形可知，到每一横坐标结

23、束，经过整数点的点的总个数等于最后点的横坐标的平方，并且横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为横坐标减1的点结束，根据此规律解答即可：横坐标为1的点结束，共有1个，1=12，横坐标为2的点结束，共有2个，4=22，横坐标为3的点结束，共有9个，9=32，横坐标为4的点结束，共有16个，16=42，横坐标为n的点结束，共有n2个。452=2025，第2025个点是（45，0）。第2012个点是（45，13），即第2012个点的横坐标为45。8. （2012山东威海3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA1=1，OA1与x轴的夹角为300。线段A

24、1A2=1，A1A2OA1，垂足为A1；线段A2A3=1，A2A3A1A2，垂足为A2；线段A3A4=1，A3A4A2A3，垂足为A3；按此规律，点A2012的坐标为 .【答案】。【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标和图形。含30度角直角三角形的性质。【分析】寻找规律：如图，过点A1，A2作x轴的垂线于点B，D，过点A1作y轴的垂线于点C，A1C和A2D相交于点E。 由已知可知，OA1B和A2EA1都是含300角的直角三角形。 OB=EA2=，EA1= BA1=DE=。 A2的横坐标为，纵坐标为。 由已知可知，点A4的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的2倍；点A6的横坐标和纵坐标分

25、别是点A2的横坐标和纵坐标的3倍；点A8的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的4倍； 点A2012的横坐标和纵坐标分别是点A2的横坐标和纵坐标的1006倍， 即横坐标为，纵坐标为。 点A2012的坐标为。9. （2012江苏泰州3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：， ，【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类）。【分析】寻找规律，代数式的系数为1，3，5，7，9，是奇数排列；代数式字母的指数为1，2，3，4，5，是自然数排列。所以在横线上的代数式是。10. （2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .【答案】36

26、5。【考点】分类归纳（图形的变化类）。寻找规律，【分析】画树状图：记第n个图案中黑色小正方形地砖的块数是an，则 anan1=4（n1）（n=2，3，4，）， （a2a1）（a3a2）（a4a3）（anan1）=484（n1）， 即ana1=4123（n1）= an=a1=。 当n=14时，a14 =。11. （2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形ABC，则点A的对应点A的坐标是 【答案】（16，）

27、。【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】先由ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A的坐标： 如图，作BC的中垂线交BC于点D，则 ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1）， BD=1，。A（2，）。 根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n2，），当n为偶数时为（2n2， ）。 把ABC经过连续9次这样的变换得到ABC，则点A的对应点A的坐标是：（16，）。12. （20

28、12江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中CD的坐标分别为（1，0）和（2，0）若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点ABCDE、F中，会过点（45，2）的是点 【答案】B。【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。【分析】由正六边形ABCDEF中CD的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。 正六边形滚动一周等于6。如图所示。当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点ABCDE、F的纵坐标为2。位置1时，点A的横坐标也为2。又（452）6

29、=71，恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。会过点（45，2）的是点B。13. （2012浙江台州5分）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（3）（4）=（4）（3）=，（3）5=5（3）=，你规定的新运算ab= （用a，b的一个代数式表示）【答案】。【考点】分类归纳（数字的变化类），新定义。【分析】寻找规律： ， ， 。14. （2012福建三明4分）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是 【答案】900。【考点】分类归纳（数字变化类）。【分析】寻找规律： 上面是1，2 ，3，4，；左下是1，

30、4=22，9=32，16=42，； 右下是：从第二个图形开始，左下数字减上面数字差的平方：（42）2，（93）2，（164）2，a=（366）2=900。三、解答题1. （2012山东青岛10分）问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图，显然，此时可把ABC分割成3个互不重叠的小三角形探究二：以ABC的3个顶点和它内部的2个点P

31、、Q，共5个点为顶点，可把ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图分割成的某个小三角形内部不妨设点Q在PAC的内部，如图；另一种情况，点Q在图分割成的小三角形的某条公共边上不妨设点Q在PA上，如图显然，不管哪种情况，都可把ABC分割成5个互不重叠的小三角形探究三：以ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把ABC分割成 个互不重叠的小三角形，并在图中画出一种分割示意图探究四：以ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m3)个点为顶点，可把ABC分割成 个互不重叠的小三角

32、形探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m4)个点为顶点，可把四边形分割成 个互不重叠的小三角形问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶点，可把原n边形分割成 个互不重叠的小三角形实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)【答案】解：探究三： 7。分割示意图如下（答案不唯一）：探究四：三角形内部1个点时，共分割成3部分，3=3+2（11），三角形内部2个点时，共分割成5部分，5=3+2（2-1），三角形内部3个点时，共分割成7部分，7=3+2（3-1），所以，三角形内部有

33、m个点时，共分割成32（m1）=2m+1部分。探究拓展：2m2。问题解决： 2mn2。实际应用：把n=8，m=2012代入上述代数式，得2mn2=2201282=402482=4030。【考点】分类归纳（图形的变化类），作图（应用与设计作图）。【分析】探究三：分三角形内部三点共线与不共线两种情况作出分割示意图，查出分成的部分即可。探究四：根据前三个探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，根据此规律写出（m+3）个点分割的部分数即可。探究拓展：类似于三角形的推理写出规律整理即可得解。问题解决：根据规律，把相应的点数换成m、n整理即可得解。实际应用：把公式中的相应的字母，换成具体

34、的数据，然后计算即可得解。2. （2012山东日照10分）在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，AB=5.（)探究新知：如图 O是ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.（1）求证内切圆的半径r1=1; （2）求tanOAG的值；（）结论应用（1）如图若半径为r2的两个等圆O1、O2外切，且O1与AC、AB相切，O2与BC、AB相切，求r2的值；（2）如图若半径为rn的n个等圆O1、O2、On依次外切，且O1与AC、AB相切，On与BC、AB相切，O1、O2、On均与AB相切，求rn的值.【答案】解：（）（1）证明：在图中，连接OE，OF。 点E、F、G是O的切点 四边形CEOF

35、是正方形， CE=CF=r1。又AC=3，BC=4，AB=5，AG=AE=3r1，BG=BF=4r1，AG+BG=5。（3r1）（4r1）=5，解得r1=1。 （2）连接OG，OA在RtAOG中，OG=r1=1， AG= 3r1=2，tanOAG=。（）（1）连接O1A、O2B，作O1DAB交于点D、O2EAB交于点E。则 AO1、BO2分别平分CAB、ABC。由（）tanOAG=，知tanO1AD=，同理可得：tanO2BE=。 AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2。ADDEBE=5，。（2）如图，连接O1A、OnB，作O1DAB交于点D、O2EAB交于点E、OnFAB交于点F。 则AO

36、1、BO2分别平分CAB、ABC。tanO1AD=，tanOnBF=, AD=2rn，DE=2rn，,FB=3rn。又AD+DE+FB=5，2rn+2rn+3rn=5，即(2n+3) rn=5，。【考点】分类归纳（图形的变化类），切线的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。 【分析】（）（1）由切线的性质可得四边形CEOF是正方形，从而由AG=AE=3r1，BG=BF=4r1，AG+BG=5可证得内切圆的半径r1=1。（2）根据锐角三角函数定义直接求得。（）（1）由（）的结论得tanO1AD=，同理可推得tanO2BE=，从而由AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2和ADDEBE=5可

37、求得r2的值。（2）由（）（1）有tanO1AD=，tanOnBF=,从而由AD=2rn，DE=2rn，,FB=3rn和AD+DE+FB=5，2rn+2rn+3rn=5可求得rn的值。3. （2012山东济宁6分）问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解解决问题：根据以上步骤，请你解答“问题情境”【答案】解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为

38、纵坐标，描点：（1，4）、（2，7）、（3，10）、（4，13）依次连接以上各点，所有各点在一条直线上， 设直线解析式为y=kx+b，把（1，4）、（2，7）两点坐标代入得，解得。y=3x+1。验证：当x=3时，y=10；当x=4时，y=13，（3，10）、（4，13）也在这条直线上。当x=2012时，y=32012+1=6037。答：第2012个图有6037枚棋子。【考点】分类归纳（图形的变化类），一次函数的应用。【分析】画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进而把x=2012代入可得相应的棋子数目。4. （2012安徽省8分）在由mn（mn1）

39、个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，（1）当m、n互质（m、n除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：mnmnf123213432354256357猜想：当m、n互质时，在mn的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是_（不需要证明）；（2）当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立，【答案】解：（1）如表：mnmnf12321343235425763576f=mn1（2）当m、n不互质时，上述结论不成立，如图24：24【考点】作图（应用与设计作图），分类归纳（图形的变化类）。【分析】（1）通过题中所给网格图形，先计

40、算出25，35，对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m、n的关系式。（2）根据题意，画出当m、n不互质时，结论不成立的反例即可。5. （2012江苏淮安12分）阅读理解如图1，ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC是ABC的好角。小丽展示了确定BAC是ABC的好角的两种情况。情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿ABC的BAC的平分

41、线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合。探究发现（1）ABC中，B2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？ （填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了BAC是ABC的好角，请探究B与C（不妨设BC）之间的等量关系。根据以上内容猜想：若经过n 次折叠BAC是ABC的好角，则B与C不妨设BC）之间的等量关系为 应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为150，600，1050，发现600和1050的两个角都是此三角形的好角，请你完成，如果一个三角形的最小角是40，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的

42、好角【答案】解：（1）是。（2）B=3C。如图所示，在ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则BAC是ABC的好角。证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C。根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1A1 B1C=BAC+2B2C=180，根据三角形ABC的内角和定理知，BAC+B+C=180，B=3C。故若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C（不

43、妨设BC）之间的等量关系为B=nC。（3）由（2）知，B=nC，BAC是ABC的好角，C=nA，ABC是ABC的好角，A=nB，BCA是ABC的好角。如果一个三角形的最小角是4，三角形另外两个角的度数是88、88。【考点】分类归纳（图形的变化类），新定义，翻折变换（折叠问题），折叠的性质，三角形的内角和外角定理。【分析】（1）理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，沿BAC的平分线AB1折叠，B=AA1B1。又将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，A1B1C=C。AA1B1=C+A1B1C（外角定理），B=2C。故答案是。（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C；根据四边形的外