2015-2016学年河北唐山一中高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

1、2015-2016学年河北唐山一中高一下学期期末数学（理）试题一、选择题1设是等差数列的前项和，若,则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据等差数列的前项和公式和，选A【考点】1.等差数列前项和公式；2.等差数列的性质2从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则直线不经过第三象限的概率为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：直线不经过第三象限即，设点为，则一共有九种情况，符合的有：两种情况，所以概率为：，选A【考点】古典概型3在等比数列中,若,则这个数列的公比为（ ）A B C或 D或【答案】C【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，两者相比得：，解得

2、：或，所以选C【考点】等比数列4在中, 角所对边分别为,且,则角的大小为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据已知条件和正弦定理得：，化简得：，根据余弦定理：，即，选A【考点】1.正弦定理；2.余弦定理5在中, 角所对边分别为,且,面积,则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由已知得：，则，由余弦定理得：，即，选B【考点】1.三角形的面积；2.余弦定理6若 满足约束条件,则的最大值为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：可行域如图，可化为，则需求直线在轴上截距的最小值，根据图象，在直线的交点处取得最小值，解方程组得：，所以，选A【考点】线性规划7某校三个年级

3、共个班，学校为了了解学生心理状况，将每个班编号，依次为到,现用系统抽样方法，抽取个班进行调查，若抽到编号之和为，则抽到的最小编号（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：设抽到的最小编号为，组距为：，所以抽取的编号依次为：，根据已知条件得：，解得：，选B【考点】系统抽样8运行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：根据程序框图：；，此时输出结果，选B【考点】1.程序框图；2.裂项相消法9若圆上有且仅有两点到直线的距离等于, 则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：圆心到直线的距离为：，当时，有且只有一点到直线的距离等于，

4、随着的增大，当时，有三个点到直线的距离等于，所以，选B【考点】直线与圆的位置关系10已知过定点的直线与曲线相交于两点,为坐标原点,当的面积取最大值时，直线的倾斜角为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由题意知直线的斜率必然存在，设直线的斜率为且，则直线方程为，曲线表示的是以原点为圆心，为半径的上半圆，当直线与半圆相切时，解得，画图可知若使直线与半圆有两个交点则直线的斜率必须满足条件，即倾斜角要满足，只有选项A满足【考点】1.直线与圆的位置关系；2.数形结合的思想【一题多解】本题考查的是直线与圆的位置关系及利用数形结合的思想解决问题，属于中档题由题意知直线的斜率必然存在，设直线的斜率

5、为且，则直线方程为，设圆心到直线的距离为，则，属于，根据基本不等式（当且仅当即时等号成立），此时三角形的面积最大，且，解得，则倾斜角为，选A11设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：直线过定点，若直线直线与线段有交点，根据图象可知或，若直线与线段没有交点，则，即，解得：，选B【考点】直线间的位置关系【易错点晴】本题考查的是直线间的位置关系，属于中档题解题时一定要注意两点：第一，本题要求的是直线与线段没有交点的范围；第二，本题可以从其反面考虑即若直线与线段有交点，求出其范围。由题意易得和，此时一定要注意和图象结合，否则其范围容易表示错误12已知

6、是圆的互相垂直的两条弦,垂足为,则四边形面积的最大值为,最小值为,则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：设点到直线和直线的距离分别为，如图，做,则四边形为矩形，又，所以，则四边形的面积为：，又，所以，令，则，从而对于函数，其对称轴为，根据一元二次函数的性质，即，所以，选D【考点】1.勾股定理；2.一元二次函数的最值；3.数形结合的思想和方法【方法点晴】本题考查的是勾股定理和一元二次函数的最值，属于中档题本题首先根据已知条件可得：和，从而转化为利用圆中三角形勾股定理求弦长表示出面积后，利用前面条件，把面积表示为关于的二次函数，利用换元法令，此时注意，转化为一元二次函数在闭区间上

7、的最值问题，确定对称轴即可求解二、填空题13已知,若向区域随机投一点，则点落入区域的概率为 【答案】【解析】试题分析：集合表示的区域为：；集合表示的区域为：；，所以概率为：【考点】1.线性规划；2.几何概型14已知样本数据如表所示，若与线性相关，且回归方程为,则 【答案】【解析】试题分析：由已知得：，则，解得：【考点】线性回归直线方程15若,则的最小值是 【答案】【解析】试题分析：因为，根据基本不等式：，则，令，不等式转化为：，解得：，即的最小值为【考点】1.基本不等式；2.一元二次不等式【方法点晴】本题考查的是基本不等式和解一元二次不等式，属于中档题首先利用基本不等式建立与的关系，将其代入已

8、知条件，转化为：，即关于的一元二次不等式，利用换元法，令，转化为关于的一元二次不等式：，此时一定注意的取值范围，否则容易出错，解不等式即可16若不等式组的整数解只有，则的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：不等式的解集为：，不等式可转化为：，根据已知条件不等式组的整数解只有，不等式的解集为：，再借助数轴可得的取值范围为：，解得：【考点】解一元二次不等式【方法点晴】本题考查的是解一元二次不等式和数形结合思想应用，属于中档题本题首先求出不等式的解集，把不等式转化为，此时一定注意根据已知条件确定解集的表示，这是本题易犯错误的地方，再利用数形结合的方法，借助于数轴确定的取值范围三、解答题17已知等差

9、数列 满足：,前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若,求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式得到方程组，求解即可；（2）可得，即，所以试题解析：（1）由已知条件,解得,.（2）由可得.【考点】1.等差数列；2.观察法在数列中的应用18在锐角中, 分别为角所对的边, 且.（1）求角；（2）若且的面积为,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，已知条件可化为：，因为为三角形的内角，所以得到即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理得到两个方程组，解出即可本题需要注意与之间的转化试题解析：（1）由及正弦定理得， 是

10、锐角三角形，.（2）,由面积公式得,即, 由余弦定理得,即, 由变形得,故.【考点】1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积公式19某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为）进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在的数据）.（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；（2）在选取的样本中，从高度在厘米以上（含厘米）的植株中随机抽取株，求所取的株中至少有一株高度在内的概率.【答案】（1）；（2）；【解析】试题分析：（1）由茎叶图可知中的样本有个，其频率为，由此可求出，因为有个，其

11、频率为，则，根据频率之和为，可求出；（2）根据（1）可知高度在内株数为，高度在内的株数为，列出所有情况共种，符合的有种，即可求出。理解题意后列举出所有情况即可试题解析：（1）由题意可知, 样本容量,.（2）由题意可知, 高度在内株数为,记这株分别为,高度在内的株数为,记株分别为.抽取株的所有情况有种, 分别为,其中株的高度都不在内的情况有种分别为,所抽取的株中至少有一株高度在内的概率.【考点】1.频率直方图和茎叶图的应用；2.古典概型【易错点晴】本题主要考查的是频率直方图和茎叶图的应用和古典概型，属于容易题解题时一定要注意频率直方图与茎叶图的结合解题，否则很容易出现错误解古典概型的试题时一定要

12、万分小心，特别是列举所有的情况时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，防止出现错误另外一定要注意步骤的规范性，一定要利用列举法，不要值写一个数值，从而产生不必要的失分20某厂家拟在2016年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售只能是万件.已知2016 年生产该产品的固定投入为万元.每生产万件该产品需要再投入 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）将2016 年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2016 年的促销费用投

13、入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先需要确定的值。根据题意当时,，可求得，从而，再求出每件产品的销售价格为，销售价格去掉投入即为利润；（2）根据基本不等式求解即可；因为本题为实际应用题，所以注意变量的范围试题解析：（1）由题意知, 当时,( 万件),每件产品销售价格为(元), 年的利润.（2）时,当且仅当(万元) 时, (万元). 故该厂家2016 年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大为万元.【考点】1.函数的应用；2.基本不等式21已知数列是首项为,公比的等比数列，设,数列满足.（1）求数列前项和；（2）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围.【

14、答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）根据等比数列的通项公式可得：，根据对数的运算性质，从而，再利用错位相减法求解即可；（2）若满足题意，则需要求出数列的最大值，所以就需要确定数列的单调性，利用与的关系确定满足，所以其最大值为，再解一元二次不等式即可试题解析：（1）由题意知, 故,于是,两式相减得,.（2）,所以当时, 当,即,所以当时, 取最大值是,又对一切正整数恒成立, 所以,即,得或.【考点】1.等比数列；2.错位相减法；3.数列的单调性；4.解一元二次不等式【易错点晴】本题考查的是等比数列的通项公式、错位相减法以及数列的单调性的判断等，属于中档题本题的易错点有两个：第一，应用错位相减法时，方法易得，计算正确却很难所以这就要求学生在做本题时一定要细心、认真；第二，第二问必须首先判断数列的单调性，保证步骤的规范性，另外保证计算的正确性22已知直线,半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）过点的任意直线与圆交于两点(在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点,使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（