中国矿业大学工程数学第三章

1、1,第三章 复变函数的积分,第1节 积分的概念,2,有向曲线 在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念， 如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称 该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的： (1) 如果曲线L 是开口弧段，若规定它的端点P 为起点，Q为终点，则沿曲线 L 从 P 到Q 的方向为曲 线L的正方向（简称正向），把正向曲线记为L或L+. 而 由Q到P的方向称为L的负方向（简称负向），负向曲线记 为 .,3,(2) 如果 是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向,(3) 如果 是复平面上某一个复连通域的边界曲 线，则 的正方向这样规定：当人沿曲线

2、行 走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分 取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向,4,复变函数的积分,设在复平面C上有一条连接z0及z两点的简 单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续 函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.,把曲线C用分点z0 ,z1 ,zn-1, ,zn=z 分成n个更小的弧，在这里分点 是在曲线C上按从z0到z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式,都存在且唯一，,则称此极限为函数,沿曲线弧C的积分.,5,6,将各函数代数化,7,当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,(2)求极限,8,在

3、形式上可以看成是,9,如果C是简单光滑曲线： ，并且 ，那么上式右边的 积分可以写成积分的形式，,因此，我们有,10,我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有,11,复变函数的积分的性质：,复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有 （1） （2）,（3）,其中曲线C是由光滑的曲线 连接而成； （4）,积分是在相反的方向上取的。,12,如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。 （5）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，,证明：因为

4、两边取极限即可得结论。,13,例1,解,14,这两个积分都与路线C 无关,15,例2,解,(1) 积分路径的参数方程为,y=x,16,(2) 积分路径的参数方程为,17,(3) 积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,18,例3,解,积分路径的参数方程为,19,例4,解,积分路径的参数方程为,20,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,21,第2节 积分基本定理,通过前面的例题我们发现， 例1中的被积函数，它沿连接起点及终点的任何路径 的积分值都相同， 换句话说，积分与路径无关 例2 中的被积函数积分与路径是有关的 我们自然要问：函数在什么条件

5、下，积分仅与 起点和终点有关，而与积分路径无关呢？ 我们可以证明下列定理:,22,柯西定理,定理3.1 设f(z)是单连通区域D的解析函数， （1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么 其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。,（2） C是在D内连接 及z两点的任一条简单曲 线，那么沿C从 到z的积分值由 及z所确定， 而不依赖于曲线C，这时，积分记为.,23,24,或者： 设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么,25,定理3.3 设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么在D内有函数,其导数为f(z) 。 证明：取定 ，由定理3.1，得,是在D内确定的一个函数。取

6、,26,D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其 中一条是另一条曲线与连接 及z的线段的并 集。于是有,这里积分是沿及z的联线取的，,27,于是,即,证毕。,28,【另证】 令 则 因为 和 是与路径无关的，因此,29,可见,的实部和虚部可微且满足C-R条件，,30,设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内， 有 ， 那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数； 除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。 事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有,31,

7、引理1 设f(z)单连通区域D内处处解析，并且在D内有原函数G(z)。如果 ，并且C是D连接 的一条曲线，那么,32,【证明】注意到函数,是,的一个原函数， 故,33,典型应用实例,34,例5 计算积分,因而积分与路径无关，可用分部积分法得,【解】 由于,在复平面内处处解析，,35,36,37,不失一般性，取n1进行证明. 有下述定理：,38,定理3.6 设 L和 为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图3.5所示， 在L内部且彼此不相交，以 和L为边界所围成的闭区域 全含于D则对于区域D内的解析函数 有,39,40,41,例如本章例3中，当L为以 为中心的正向圆周时： ，根据闭路变形原理，对于包

8、含 的任何一条简单闭曲线 ,都有 成立,42,例6 计算 ，其中 为圆周 ，且取正向 【解】 要注意 在 内只有一个奇点 ，将 分成为 则由闭路变形定理,43,44,45,46,第三章 复变函数的积分,第3节 柯西公式,设f(z)在以圆,为边界的闭圆盘上解析，f(z)沿C的积分为零。考虑积分,则有：(1)被积函数在C上连续，积分I必然存在；,（2）在上述闭圆盘上 不解析，I的值不一定为0，,例如：,由闭路变形定理，得,现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr，,由于I的值只与f(z) 在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有,即,定理3 .3(柯西公式),设f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D 。那么在C内任一点z0，有,f(z)在正向简单闭曲线C所围成的区域内解析,由于由f(z)在点z0的连续性，所以,使得当,事实上，当r趋近于0时，有,因此,因此，结论成立。,注解、对于某些有界闭区域上的解析函数，它 在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的 值表示出来。,例1 计算积分,解：由柯西公式,（2）注意到函数,在,内解析，而,在,内，由柯西积分公式得,【解】根据柯西积分公式，得到,故得到,设