函数的单调性讲义

1、函数单调基础集成首先，使用定义方法寻找函数单调性。使用值作为差别产品编号。(这是最基本的想法。）1、方法和步骤：证明格式：取属于域d的两个数字。反之也可以。并且这说明了函数的增减。2、单调间隔写作要求函数定义在宗地的端点上，并且经常记录为封闭区间，当然也可以记录为开放区间。但是，如果未在宗地的端点上定义函数，则必须将其记录为开放区段。此外，如果函数在该定义内的两个部分是单调的增(减)函数，则通常不能识别在这些部分中被视为增(减)函数。例如，区间是递减函数，区间可以称为递减函数，但范围限定不能称为递减函数。实际使用时。示例1:用定义方法证明函数是减法函数。证明：原始函数可以转换为：是减法函数。是

2、，已知函数f(x)=ax (a1)。(1)证明：函数f(x)是(-1，)中的附加函数。(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根。经验思想：定义函数单调的证明方法。第二个问题，我们来探讨反证法的问题解决过程。经验过程：(1)设置-1 x1 x2 ，x2-X10，1和0，0和x1 10，x2 100，因此f (x2)-f (x1)=0f(x)是(-1，)中的增量函数。(2) x0 0 (x0 1)满足f(x0)=0，0 1等于0 1。也就是说，x0 2与x0 0冲突，因此f(x)=0没有负根。练习1:使用定义方法证明函数练习2，证明函数是该域内的减少函数。例2，用定义方法证明它是域内单调递增函数

3、。证明：设置，域r内的减法函数。练习3，二、函数的单调区间1.函数y=kx b(k0)。求解K 0时(-，)，是这个函数的单调增长部分。k为0时(-，)是这个函数的单调递减部分。比例函数y=(k0)。解决K 0时，(-，0)和(0，)都是这个函数的单调递减部分，k为零时，(-，0)和(0，)都是这个函数的单调递增部分。3.二次函数y=ax2 bx c(a0)。A 1点(-，-)是这个函数的单调递减区间，(-，)是单调递增区间。A 1点(-，-)是这个函数的单调递增部分，(-，-)是单调递减部分。4.指数函数y=ax (a 0，a 1)。的A 1时，(-，)是此函数的单调递增部分，0 a 1时，

4、(-，)是此函数的单调递减部分。5.对数函数y=logax (a 0，a1)。A 1时(0，)是这个函数的单调递增部分，0 a 1时(0，)是它的单调递减部分。第三，用特殊的方法判断函数单调性。(1)增加(减少)函数图像中任意两点的连续斜率(2)函数在间隔d中增加(减少)的情况(3)复合函数的单调性为“等增量递减”(4)对于递增函数，是递减函数，递增函数，递减函数(5)增量函数增量函数是增量函数。减法函数减法函数是减法函数。递增函数递减函数是递增函数。减法函数增量函数是减法函数。如果和都是减法函数，则函数单调性的说明是()A.以上是递增函数b .以上是递增函数C.向上是减法函数d .向上是递增

5、函数，向上是减法函数语法分析：是函数上的减法函数，0，函数是从上方减去函数0，现在，函数都是减法函数。函数是上面的减法函数，所以选择c。查找示例函数的最大值。分析：由，已知函数是相应域3，中的递减函数。所以最大的值是。提示显然通过简化问题，当然函数域必须考虑另一个示例是，函数的范围是。分析：在上面单调地增加，函数的范围是。就是。查找函数的范围。分析：定义区域中的增量函数。函数的范围为(6)互为反函数的两个函数具有相同的单调性。(7)对称区间上奇函数的单调性相同。对称区间上双同函数的单调性相反。(8)称为对函数。对函数是奇数函数，其图像是双曲线。函数单调地增加。向上是单调的降序。例判断函数的单调

6、性并提出证据。语法分析：在这种情况下，函数添加到上面，同样可以证明函数是上面的减法函数。另一个示例：查找函数的最小值。分析：通过证明，单调性的定义方法是上述附加函数，易求函数的最小值是要求。下例：已知函数。对于，如果 0为常量，则查找值的范围。分析：到=。 0时，显然 0设置为常量。在0中，被称为附加函数。但是，的最小值为3 0。-3。3时 0商定。、类型和方法概要问题1:基本函数的单调性(二次函数、指数函数、代数函数、比例函数、三角函数)方法：图形方法是，查找已知函数，函数的单调增量间隔。解决方案：函数的镜像轴是，函数图像如图所示函数的单调递增间隔练习5:识别函数的单调间隔问题2:复合函数单

7、调性： (等增量递减)复合函数y=fg(x)的单调性可通过以下步骤来判断：(1)将复合函数分解为两个简单函数。y=f(u)和u=g(x)。其中y=f(u)也称为外部函数，u=g(x)称为内部函数。(2)确定函数的范围。(3)分别确定两个分解函数的单调性。(4)如果该区间内两个函数的单调相同(即递增函数或全部递减函数)，则复合函数y=fg(x)是递增函数。(5)如果该区间内两个函数的单调不同(即其中一个函数是递增函数，另一个函数是递减函数)，则复合函数y=fg(x)是递减函数。yes函数在r中添加函数，并查找函数的单调递减部分。分析：从命令(-，-1减少，另一个函数是r的附加函数。函数的单调递减

8、间隔为(-，-1 .提示查找复合函数的单调性并包含抽象函数的示例。只要知道函数的单调，的单调和单调区间是相同的。如果变量函数在r中是递减函数，则函数的单调性与函数的单调性增长部分为(-1)的函数的单调性相反。还有一种方法，把函数设定为r减函数，找出函数的单调区间。将函数设置为r的附加函数，然后选择 0，则函数从r单调递减。示例6，查找函数的单调部分。解决方案：命令、所以上面的单减，上面的单增，所以在顶行，在顶行，在底行因为是减法函数，所以在上行增产，在上行减产。范例y=的单调间距。解决方案：y=。设定为ur。U=x2-2x-1，原始复合函数的范围是xr。Y=是域r内的减法函数，因此辅助函数u=

9、x2-2x-1的单调性与复合函数的单调性相反。如您所知，u=x2-2x-1=(x-1) 2-2在x1下单调递减。X/r，(复合函数域)X1，(u减)X1。因此，(-，1)是复合函数的单调增长部分。同样，1，是复合函数的单调递减部分。寻找函数单调部分的示例解原函数是由外层函数和内层函数的复合构成的。容易知道的是外函数的单调增长间隔。命令，解决方案的值范围为：因为是内部函数的单调递减部分，所以是原始函数的单调部分。根据复合函数“等增量减少”的复合原理，是原始函数的单调减少部分。寻找函数的单调区间。解原函数是由外层函数和内层函数的复合构成的。容易知道，外部函数的单调递减间隔。命令，解决方案的值范围为

10、：可以看出，结合二次函数的图像不是内部函数的单调区间，但是可以将区间分为内部函数的两个单调的子区间之和，其中是单调的减法区间，而区间是单调的增长区间。因此，根据复合函数“等增量减少”的复合原理，原始函数的单调递增区间，原始函数的单调递减区间。同样，可以求出原函数的单调递增区间，原函数的单调递减区间。摘要本函数的单调增长区间是和，单调减少区间是和。例(1)查找函数的单调区间；(2)单调区间和单调性确认后已知。解决方案：(1)单调递增部分：单调递减部分，(2)、而且，命令、或，命令，或单调递增区间是；单调减法区间是如果范例y=log(2-ax)是0，1到x的减法函数，则a的范围为A.(0，1) b

11、. (1，2) C. (0，2) D. 2，分析：这个问题有很多解决方法，但无论用哪种方法，都必须确认。使log(2-ax)有意义。即a 0和a1，2-ax 0。使log(2-ax)成为0，1到x的减法函数。给定函数可以分解为y=logu，u=2-ax。其中u=2-ax是a 0中的减法函数，因此a 1；0，1必须是y=log(2-ax)域的子集。解决方案1: f(x)是0，1到x的减法函数，因此f (0) f (1)、Log2 日志(2-a)。解法2:因为对数概念显然有a 0和a1，所以u=2-ax是0，1中的减法函数，y=logu必须是加法函数，得到a 1，除了a，c之外，使用a=3是范围，

12、但0，1所以除了d，选择b。示例函数在上面添加函数并查找值范围。分析：在函数上方添加函数可以获得两种信息：对于任意合计；当时，一定的成立。解决方案：函数是上面的附加函数。对任意人来说，是，是也就是说，和为了一定的成立，而且函数是上面添加的函数。也就是说，总值的范围为。其他解决方案： (微分解决)命令，函数是上面的附加函数。上面是额外的函数，和商定成立，是问题3:抽象函数单调性方法：定义方法(注：无法直接比较时的匹配方法；立即或)是的，已知的函数对都是，当时，证明是r减函数。证明：设置和，r减函数在例子中，众所周知有所有的功能，这时请判断上面的单调。解法：指令，范例；再来，好的。所以奇函数。好，

13、那么。因此单调地增加。例如，已知函数的范围为r，所有实数都有，此时，0 .(1)追求；(2)共计；(3)判断并证明函数的单调性。8.(1)解决方案：命令(2) 数列是以1为基础，以1为公差的等差=随便拿的话2=函数是r的单调递增函数。例如，f(x)是在一组实数中定义的，x0为f(x)1，任意实数x，y为f(x y)=f(x)f(y)，验证：f(x)是r中的附加函数。证明：在X11上设置r。F (x2)=f (x2-x1)=f (x2-x1) f(x1)，(f(x1)的正值和负值尚未确定，因此在此不能直接大于f(x1)。)。如果X=y=0，则f(0)=0或f(0)=1，F(0)=0，x0，y=0

14、，则f(x)=0和x0时，f(x)1会相互碰撞也就是说，f (x)是r中的附加函数。例如，函数f(x)表示正x，y表示f(xy)=f(x)f(y)和f(x)0，x1表示f(x)1。判断(0，)的f(x)的单调性，并说明原因。解决方案：F(x1)F(x2)，因此f(x)是r中的减法函数。示例已知函数f(x)的域为r，m，对于n/r，f (m n)=f (m) f (n)-1，f (-)=0，对于x-，则为f(x)验证：f(x)是单调递增函数。证明：x1 x2，x2-x1-，问题f (x2-x1-) 0，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)=ff (x)是单调递增函数。是，r中定义的函数f(x)满足： 任意实数