广义逆矩阵及其在线性方程组中的应用

1、毕业论文题 目 广义逆矩阵及其在线性方程组中的应用 学 院 理学院 专 业 数学与应用数学 班 级 数学0601班 学 生 周正明 学 号 指导教师 孙红卫 二一年 五 月 三十 日摘 要线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、

2、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。关键词：广义逆矩阵；Moore-Penrose 方程；线性方程组；满秩分解ABSTRACTThe method to solve linear equations using the inverse matrix is only feasible when the coefficient matrix is reversible. But for the general system of linear equations, the coefficient matrix may be a irrever

3、sible matrix or a rectangular matrix, in this case, we can not use this method to solve the system of linear equations. In order to find solutions of this system, we promote the inverse matrix to generalized inverse matrix, and than use the generalized inverse matrix to solve the system of linear eq

4、uations.The generalized inverse matrix is important in many area, such as Data analysis, Multivariate analysis, Signal processing, System theory, Modern control theory, Network theory and so on. This paper studies the definition, properties, calculation of the generalized inverse matrix , and the ap

5、plications in soluting the system of linear equations. Utilizing the generalized inverse matrix, we study the soluting of the general system of linear equations and the minimum norm solution.Key words: generalized inverse matrix; Moore-Penrose eqations; linear equations; full rank decomposition目 录摘要

6、 ABSTRACT 第1章 前言 1第2章 广义逆矩阵 22.1 广义逆矩阵的定义 22.2 广义逆矩阵的性质 3第3章 广义逆矩阵的计算123.1 一般广义逆求解123.2 Moore-Penrose 广义逆19第4章 广义逆矩阵在线性方程组中的应用244.1 相容方程组的求解254.2 不相容方程组的极值问题解28结论33参考文献34致谢35第1章 前言逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1） 该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2） 它具有通常逆矩

7、阵的一些性质；（3） 当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义

8、逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。第2章 广义逆矩阵2.1 广义逆矩阵的定义1、 Penrose广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。定义

9、2.1 设矩阵，若矩阵满足如下四个Penrose方程（）（）（）（）中的一部分或全部方程，则称为的一个广义逆矩阵。若只满足（）式，则成为的一个-逆，可记为，所有满足-逆的构成的集合记为。若满足四个方程中的第个方程，则称为的一个-逆，记为，所有满足-逆的构成的集合记为。2、 常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有=15类，其中常见的有，。定义2.2 设有复矩阵。若有一个复矩阵存在，使下式成立，则称为的减号逆：(2.1)当存在时，显然满足上式，可见减号逆是普通逆矩阵的推广；另外，由得，即可见，当为的一个减号逆时，就是的一个减号逆。定义2.3 设复矩阵，若

10、有一个矩阵，满足：且称为的一个自反逆矩阵，记作为，满足Penrose方程的（），（）式，所以。显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵是矩阵的-逆，即, 若矩阵也是矩阵的-逆，即， 则为的一个自反逆矩阵。定义2.4 设复矩阵，若有一个矩阵，满足： 及 ，则称为的最小二乘广义逆，记作 ，满足Penrose方程的（），（）式，所以。最小二乘广义逆是用条件对减号逆进行约束后所得到的子集。定义2.5 设复矩阵，若有一个矩阵，满足： 及 ，则称为的最小范数广义逆，记作 ，满足Penrose方程的（），（）式，所以。显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若满足全部四个方程，则称为的Moore-Penrose

11、广义逆矩阵，记为。2.2 广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义2.6 设矩阵（r0），如果存在一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵使得，则称上式为的一个满秩分解。定理2.112 对任意矩阵（r0），必存在着矩阵和使。证明： 由，对进行若干次初等行变换后，可将化为行阶梯矩阵，其中。故存在若干个阶初等矩阵的乘积，使得，即，将分块为,，便有。因是可逆矩阵的前列，所以是一个列满秩矩阵，是行满秩矩阵，故是的一个满秩分解。上式是的一个满秩分解，但是的满秩分解并不是唯一的。任意取一个阶非奇异矩阵,

12、若是一个满秩分解，则显然也是的一个满秩分解。一、1-逆的性质定理2.21 设，则的Moore-Penrose逆存在且唯一。证 设 .若r=0，则是零矩阵，可以验证零矩阵满足四个Penrose方程。若r0，则有满秩分解分解,取，则满足4个Penrose方程，所以，是Moore-Penrose广义逆矩阵。设，均满足四个Penrose方程，则综上所诉，存在且唯一。满足四个Penrose方程的所有方程，所以，属于15类广义逆矩阵中的任意一类。上面我们证明了的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。对任意的，定义为（2.4）下面给出1-逆的一些性质。定理2.31 设，则（1） ；（2） ；（3） 若

13、S和T非奇异，则；（4） ；（5） 和均为幂等矩阵且与A同秩；（6）（7） 的充要条件是， 的充要条件是；（8） 的充要条件是， 的充要条件是。证 （1）由， 有， 两边同时求共轭转置得 ， 即， 由定义知。 （2）, 由1-逆定义得，。 （3）, 由1-逆定义得， 。 （4）, 故 .。 （5）， 故为幂等矩阵，又由， 故为幂等矩阵， 所以，也即。 同理，。 （6）由, 得 ，类似的，由，得。又因为， 所以 。（7）充分性：，所以，由为幂等矩阵且非奇异， 易知 。 必要性：由，故。 另一式同理可证明。（8）充分性：， 所以，。所以存在矩阵，使，从而。必要性：，故。另一式同理可证明。性质（5）

14、逆命题仍然成立，即定理2.4 设复矩阵，若存在矩阵， 使为幂等矩阵，且，则矩阵。证明： 幂等，则，而,又， 所以， 存在矩阵, 使得，有，即 。2、 -逆的性质因为在Penrose方程（1）（2）中，和的位置是对称的，所以与是等价的，即和总是互为-逆。这与通常矩阵的逆的逆是本身是一样的。定理2.53 设矩阵, 又设， 则。证明：，则，由上2式得，。定理2.61 给定矩阵，若，则的充要条件是。证明： 充分性：若，则，且和幂等，又，所以，。由定理2.3得，所以，。 必要性：，则，又，根据X为自反广义逆，有，则所以，。三、Moore-Penrose 广义逆矩阵定理2.2已证明对任意矩阵，Moore-

15、Penrose 广义逆矩阵存在且唯一。Moore-Penrose 广义逆矩阵是满足全部Penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出Moore-Penrose 广义逆矩阵的一些性质：定理2.79 设矩阵，则有（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。证明： （1） 由定义，和的位置是对称的，即是的Moore-Penrose 广义逆矩阵，那么就是的Moore-Penrose 广义逆矩阵，又因为唯一，所以，。（2） 令，则有，根据定义，。（3） 令,则有，根据定义及Moore-Penrose 广义逆矩阵的唯一性知 。同理可证明，。（4） 令，则有，根据定义及Moore-Penr

16、ose 广义逆矩阵的唯一性知。同理可证明 。（5） ，故。定理2.81 给定矩阵，则有，其中，。证明： 设，则由定理2.5知，又因为， ， 所以，。 又因为只有一个元素，所以，。第3章 广义逆矩阵的计算广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。3.1 一般广义逆的求解一、1-逆的求解定理3.19 设矩阵，有矩阵且，则。（3.1）证明： 因为对任意，令，于是有，所以，。反之，任取，于是有取，则M有（3.1）式的表示。所以，。定理3.214 设矩阵，存在可逆矩阵和，使，则中的任一矩阵可写成的形式，其中，为任意矩阵。证明： 设，则是矩阵，

17、将分块为：，其中，则，因为，所以，所以，即中的任一矩阵可写成，即中的任一个矩阵可写成，其中，为任意矩阵。由定理3.2知，要想计算出一个矩阵的1-逆，必须首先求出可逆矩阵和，使成为标准形，所以可先构造分块矩阵，用行和列初等变换把中的化简成，同时，化成了，化成了，即，故，于是中的矩阵可写成。例3.1 求矩阵的1-逆。解 对进行化简，所以，当时，得到一个最简单的，。所以， 2、 1,3-逆的求解定理3.39 设矩阵，那么（1） 若是行满秩矩阵，则；（2） 若是列满秩矩阵，则；（3） 若且有满秩分解，则 或。证明： (1)若是行满秩矩阵，则，有，所以，。 (2)若是列满秩矩阵，令，又，所以，。 (3)

18、，又，所以，。令，于是，又，所以，。例3.2 求矩阵的。解 求出的一个1-逆3、 1，4-逆的求解定理3.49 设矩阵，那么（1） 若是行满秩矩阵，则；（2） 若是列满秩矩阵，则；（3） 若且有满秩分解,则 或 。证明： （1）令,则，又，所以，。 （2），所以，,有，所以，。（3）又，所以，。令，则，又，所以，。例3.3 求矩阵的。解 3.2 Moore-Penrose 广义逆定理3.51 设矩阵（r0）的满秩分解为，其中，则（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。证明： （1），分别为列满秩和行满秩矩阵，有，所以，；所以，；所以，。综上，。（2），分别为列满秩和行满秩矩阵，有，所

19、以，；，；，所以，综上，。（3）由（2）知，成立；由（1）知，。（4）由知，又因为，即，所以，又由的唯一性，。同理可证明。所以，。（5） 由（4）式，又，由的唯一性知。由定理2.7之（4）知，而矩阵和可逆，显然，且，所以，。例3.4 求矩阵的Moore-Penrose 逆矩阵。解 ，可求得第4章 广义逆矩阵在线性方程组中的应用考虑非齐次线性方程组（4.1）其中，给定，而为待定向量。如果存在向量x使方程组（4.1）成立，则称方程组相容，否则称为不相容或矛盾方程组。关于方程组求解问题，常见的有以下几种情况（1） 方程组（4.1）相容时，求出其通解；（2） 如果方程组相容，其解可能有无穷多个，求出具

20、有极小范数的解，即（4.2）其中为欧氏范数，满足该条件的解是唯一的，称为极小范数解。（3） 如果方程组（4.1）不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出极值问题（4.3）的解x，其中为欧氏范数，称这个极值问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x称为矛盾方程组的最小二乘解。（4） 一般说来，矛盾方程组的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有极小范数的解（4.4）是唯一的，称之为极小范数最小二乘解。广义逆矩阵与线性方程组的求解有着极为密切的关系，利用广义逆矩阵可以求出上述诸多问题的解。4.1 相容方程组的求解1、 相容方程组的通解与1-逆对于线性方程组（4.1）

21、，若系数矩阵非奇异，则就是方程组的唯一解，但当是奇异方阵或长方矩阵时，它的逆不存在或无意义，但是我们可以利用广义逆矩阵来求方程组的解。定理4.11 线性方程组（4.1）相容的充要条件是（4.5）且其通解为（4.6）其中任意。证明： 若方程组（4.1）相容，则设x是方程组的任意解，有，反之，若，则显然就是方程组的解，所以，线性方程组（4.1）相容的充要条件是。当方程组（4.1）相容时，显然，即式（4.6）是方程组的解。设x是方程组的任意解，则是方程组的解，因此，方程组的任意解都可以改写成式（4.6）的形式，所以，式（4.6）是方程组（4.1）的通解。2、 相容方程组的极小范数解与1,4-逆定理4

22、.21 相容方程组（4.1）的极小范数解唯一，且这个唯一解在中。证明： 设的极小范数解为，假设，则由，知，且，于是，与时方程组的极小范数解矛盾，所以，假设不成立，极小范数解在中。若且，则，即，又，故，即，所以，极小范数解唯一。定理4.31 设方程组（4.1）相容，则是极小范数解，其中。证明： 方程组（4.1）相容，则，由定理4.1知，对任意的，都是方程组的解，由，则存在使，所以，根据定理4.2，是方程组（4.1）的唯一极小范数解。例4.1 求方程组的通解及极小范数解，其中，。解 显然矩阵A为行满秩矩阵通解为而极小范数解为。4.2 不相容方程组的极值问题解1、 最小二乘解与1，3-逆定理4.41

23、 若方程组（4.1）不相容，则方程组存在最小二乘解其中。证明： 因为，而，所以，(4.7)其中是欧氏范数。显然，式(4.7)取得极小值的充要条件是，（4.8）任取，根据定理2.3之（6）知，所以，故当时，即式（4.8）成立。2、 极小范数最小二乘解与定理4.6 方程组（4.1）不相容，则方程有唯一的极小范数最小二乘解。证明： 取，由定理4.5和式（4.8）知，方程组（4.1）的最小二乘解是（4.9）的解。因而方程组（4.1）的极小范数最小二乘解就是方程组（4.9）的极小范数解。由定理4.3和定理2.8得，方程组（4.9）的极小范数解是。例4.2 求方程组的最小二乘解和极小范数最小二乘解，其中，

24、。解 这里 ，所以方程组不相容。最小二乘解为极小范数最小二乘解为定理4.7 若存在矩阵，且，可逆，则，的充要条件为。证明： “” 若，则等号两边同时左乘，右乘，得，即。 “” 若，则等号两边同时左乘，右乘，得，即。我们知道若方程组（4.1）相容，则是方程组的极小范数解，因为对任意-逆，有是方程组的极小范数解，而，所以是方程组的极小范数解。而若方程组（4.1）不相容，则是方程组的极小范数最小二乘解。对于相容方程组（4.1），极小范数解满足是使方程组成立的所有x构成的集合中范数最小的一个。对于不相容方程组（4.1），极小范数最小二乘解，是使方程组成立的所有x构成的集合中范数最小的一个，即满足条件：

25、，其中。对给出的一个大于0定值，我们设一个，使，则定理4.8 设为极小范数最小二乘解， 则 。证明： 若在处最小，则对任意，对t在0时求导，得，对任意的，有（4.10）在式（4.10）中，替代y为iy，则有 ，即， （4.11）由式（4.10），（4.11）知，由y的任意性知，即，而可逆，所以，。对进行满秩分解，则。由，所以，而对给定的方程组，为定值，所以，。结 论我们对逆矩阵进行得到广义逆矩阵的概念，不同于非奇异矩阵的逆，广义逆矩阵并不唯一，而且广义逆矩阵的种类也不唯一，我们对广义逆矩阵进行分类定义，主要研究常见及常用广义逆矩阵，探讨广义逆矩阵的性质，从而对一般矩阵进行其各种广义逆矩阵的求解

26、，然后利用广义逆矩阵解线性方程组。本论文主要目标为线性方程组的求解，利用常见广义逆矩阵-逆，-逆，-逆和Moore-Penrose 广义逆矩阵对线性方程组求解，分别利用上述广义逆矩阵求相容方程组的通解、极小范数解和不相容广义逆矩阵的最小二乘解、极小范数最小二乘解。参 考 文 献1高等学校教材.程云鹏,张凯院,徐仲.矩阵论M.西北工业大学出版社,2000,西安.2高等学校研究生系列教材.韩世勤,彭放,罗文强.矩阵理论及应用M.武汉:中国之地大学出版社,2005.3王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用M.北京工业大学出版社,1996.4研究生数学教学系列.徐仲,张凯院,陆全,冷国伟.矩阵论简明教程M.北京科学出版社,2001.5研究生教育书系.吴昌悫,魏洪增.矩阵理论与方法M.北京:电子工业出版社,2006.6西昌学院.张礼平,喻惠波.广义逆矩阵表达式及计算J.西昌学院学报自然科学报,2008.7中央财经大学应用数学学院.尹钊,贾尚晖.Moore-Penrose广义逆矩阵与线性方程组的解J.数学的实践与认识,2009.8尹钊,钟卫民,赵丽君.线性方程组的广义逆矩阵解法J.哈尔滨师范大学自然科学学报,1