数字图像处理中的常用变换

1、一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特性离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域的一种离散形式。它将时域信号的采样转换为离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。形式上，变换两端(时域和频域)的序列长度是有限的，但实际上两组序列都应被视为离散周期信号的主值序列。即使无限离散信号是离散傅立叶变换，也应将其视为周期扩展后的周期信号进行变换。快速傅立叶变换通常用于实际应用中，以有效地计算离散傅立叶变换。离散傅立叶变换将空间域转换到频率域，并且很容易知道图像的每个空间频率域的分量。密度泛函理论被广泛应用于图像特征提取、空间频域滤波、图像恢复和纹理分析等领域。2.离散傅里叶变换的性质1)线性属性2)

2、比例性3)可分性4)平移属性5)图像集中化6)周期性7)共轭对称性8)旋转不变性9)卷积定理10)平均值2.离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地处理和分析图像，通常通过正交变换将图像变换到频域，并利用频域的独特性质进行处理。传统的正交变换大多是复杂的变换，计算量大，不易实时处理。随着数字图像处理技术的发展，出现了一大类以离散余弦变换为代表的正弦实变换，它们都有快速算法。目前，DCT变换已广泛应用于数据压缩、图像分析和信号稀疏表示。由于其变换矩阵的基向量与托普里茨矩阵的特征向量非常相似，托普里茨矩阵反映了人类语言和图像信号的相关特征，因此通常被认为是语音和图像信号的最佳变换。对于长度为

3、n的给定输入序列f(x)，其离散余弦变换定义为：公式中：公式中的满意度：在数字图像处理中，通常使用二维离散余弦变换，正向变换为：它的逆变换IDCT是：在公式中：由于离散余弦变换的变换核是可分的，二维离散余弦变换可以通过两个一维变换来实现，这就是所谓的行列分离。流程如下图所示：从图中可以看出，该方法首先沿行(列)进行一维离散余弦变换计算，然后沿列(行)进行一维离散余弦变换，共需要m次n点和n次m点的一维离散余弦变换。其优点是结构简单，易于实现。在DCT变换中，我们称之为F (0，0) DC系数和其余的交流系数。下图说明了离散余弦变换系数的分布。DCT变换的一个最重要的特点是，图像变换后，主要能量

4、集中在低频系数区域，而图像细节和其他信息分布在中高频区域。因此，在压缩感知中，可以使用离散余弦变换将信号转换成稀疏信号，并且可以将具有更多能量的低频系数传输到解码端进行重构。同时，最近的研究也发现，在DCT域中，图像纹理特征也呈现出一定的分布规律。这使得DCT变换在图像压缩、特征提取、图像分析和稀疏表示中有着重要的应用。0156247123811139101415低频中频高频哥伦比亚特区(a)频带分布(b) z扫描模式图4.2离散余弦变换系数的特性(a)频带分布(b) z扫描模式2.离散余弦变换的特性离散余弦变换的变换核心是余弦变换。由于变换核是实数，所以离散余弦变换的计算速度比变换核是复数的

5、离散余弦变换要快得多。除了离散余弦变换的一般正交变换性质外，其变换矩阵的基向量能够很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。3.离散沃尔什-哈达玛变换1.离散沃尔什-哈达玛变换的特征WHT将一个函数转换成1或-1的值。也就是说，将一个函数转换成一系列值为1或-1的基本函数比快速傅立叶变换更好。同时，WHT只需要实数运算，这比快速傅立叶变换需要更少的存储空间和更快的运算速度。因此，WHT广泛用于图像传输、通信技术和数据压缩。2.离散沃尔什-哈达玛变换的性质WHT具有能量集中的特性，原始数据中的数字分布越均匀，变换后的数据就越集中在矩阵的角上。因此，它可以用来压缩图像信息。Iv .K-L变换1.

6、1的特征。K-L变换K-L变换也常被称为主成分变换或霍特林变换。它是一种基于图像统计特征的变换。它的协方差矩阵除对角线外没有任何元素，消除了数据之间的相关性，在信息压缩中起着重要作用。虽然K-L变换在均方误差意义下具有最好的性能，但是需要知道源的协方差矩阵并找到特征值。即使维数很高，找到特征值和特征向量也不是一件容易的事。即使可以用计算机解决，也很难满足实时处理的要求，从编码应用的角度来看，仍然需要将信息传输到接收端。这些因素使得K-L变换在工程实践中没有得到广泛应用。一方面，人们继续寻找快速算法来求解特征值和特征向量；另一方面，他们正在寻找一些转换方法，这些方法不是“最佳的”,但是具有更好的

7、去相关和能量集中性能，并且易于实现。K-L变换通常被用作这些变换性能的评估标准。2.k-l变换的性质1)去相关特性。K-L变换意味着变换后的矢量信号的分量彼此不相关。2)能量集中。所谓的能量集中是指在N维向量信号的K-L变换之后集中在前m个低阶分量中的最大方差。3)最佳特性。K-L变换是在均方误差测度下失真最小的变换。4)没有快速算法，变换矩阵随不同的信号样本集而变化。这是K-L变换的一个缺点，也是其实际应用中的一大障碍。5.离散小波变换1.离散小波变换的特性小波变换是近几十年来发展起来的，已经成为世界上一个非常活跃的研究领域。它的主要优势之一是能够提供本地分析和改进。小波变换在时域和频域都具

8、有良好的局部化特性。此外，由于高频的逐渐精细的时域或空域阶跃，它可以聚焦于分析对象的任何细节，这被称为小波变换的“数学显微镜”特性。与传统的信号分析技术相比，小波变换能够对信号进行压缩和去噪，并且没有明显的损失。图像信息处理是通过二维离散小波变换实现的，在实际应用中是以水平和垂直两个方向上的两个一维小波变换的形式实现的，在具体实现过程中通过滤波器实现离散小波变换。如下图所示：S代表原始输入信号。通过两个互补的滤波器组，其中一个是低通滤波器，通过该滤波器可以获得信号的近似A，另一个是高通滤波器，通过该滤波器可以获得信号的细节D，然后通过下采样可以获得小波分解系数。离散小波变换具有以下优点：1)小

9、波变换可以根据图像特征自适应选择小波基，从而提高压缩比。离散余弦变换是不适应的。2)可以充分利用小波变换系数之间的空间相关性对系数进行建模，进一步提高压缩比。3)小波变换生成的子带可以灵活处理。2.离散小波变换的性质1)可分性、规模可变性和流动性。2)多分辨率一致性。3)正交性。六、双树复小波变换传统的二维离散小波变换不具有平移不变性。另外，它的方向选择性非常有限，在每个尺度空间只能分解成三个方向的细节信息，即水平方向、垂直方向和对角线方向。然而，在某些特定情况下，有必要在图像的某些方向上描述纹理或边界。此时，传统的二维小波变换由于缺乏方向选择性而不能满足要求。为了克服二维离散小波方向选择性差

10、的缺点，英国剑桥大学的Kingsbury等人在1998年提出了双树复小波变换。它是在复小波变换的基础上发展起来的。它不仅具有传统小波变换的优良特性，而且能够更好地描述图像的方向信息。双树复小波变换是由实小波变换实现的复小波变换。它将复小波的实部和虚部分开，通过两个并行的实滤波器组获得小波变换系数的实部和虚部，从而通过实小波变换实现复小波变换。双树复小波变换由两个并行的实滤波器组实现。上图为一维双树复小波变换的分解图。其中，下采样表示下采样，树a和树b分别表示复小波的实部和虚部，它们分别使用不同的滤波器组。二维双树复小波变换与二维离散小波变换的相似之处在于它是由小波张量积展开的。对图像进行二维双

11、树复小波变换时，方法与二维离散小波变换相同，即先对图像的行进行一维双树复小波变换，然后对列进行变换。双树复小波变换具有良好的方向选择性，其幅度无振荡特性，成本低。由于双树复小波变换显著提高了离散小波变换的平移灵敏度和方向选择性，因此双树复小波变换已被应用于信号降噪、图像分割、增强、分类、特征提取、纹理分析、运动估计、编码、水印和图像稀疏表示等领域。七、轮廓波变换杜和维泰尔利在2003年提出了轮廓波变换。经过几年的丰富和完善，已经形成了比较成熟的理论和方法。目前，该领域的主要研究力量仍然是由do主导的研究小组。它已经开始在图像处理及其传统应用领域受到青睐。国内外研究成果不断涌现，并呈现出不断增长

12、的趋势。CT是一种新的多尺度几何分析方法。它通过多尺度分解和多方向分解来实现。拉普拉斯金字塔将图像分解成多尺度/捕捉零奇点。方向滤波器组(DFB)将沿同一方向分布的奇异点合成为CT系数。CT也被称为金字塔方向滤波器组。其基本思想是在多尺度的基础上提取方向信息。CT是小波变换的新扩展。它具有多分辨率、局部定位、多方向和各向异性的特性。它的基本功能是多尺度、多方向分布的。少量的系数可以有效地捕捉图像中的边缘轮廓，而边缘轮廓是自然图像中的主要特征。此外，它的冗余度也很低，使得该变换适用于许多图像处理领域。CT首先利用小波类多尺度分解捕获奇异点，然后根据方向信息将位置相似的奇异点集合成CT系数。拉普拉斯分解将原始图像分解成低频子带和高频子带。由于自然图像中物体的方向信息和纹理信息可以通过变换域的基函数有效而简单地表达，并且可以快速逼近，同时也避免了置乱现象，因此适合于描述自然图像。由线性规划和DFB组合而成