数学实验——线性规划

1、实验5线性编程1号黄湖一、实验目的掌握如何使用MATLAB工具箱解决路线编程。2.实际问题的线性规划模型的建立实践二、实验内容1.数学实验第一版(问题6)问题说明：一位银行经理计划用资金投资有价证券，可购买的有价证券及其信用评级、到期期限和收益如下表所示。按照规定，地方自治团体的收益可以免税，其他证券的收益要以50%的税率征税。此外，还存在以下限制：(一)政府及代理机构的证券共需购买400万元以上。(2)购买的证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小，信用度越高)。(三)购买证券的平均到期期限不超过5年证券名称证券种类信用等级到期期间/年到期税前利润/%a纠正294.3b代理公司215

2、5.4c政府145.0d政府134.4e纠正524.5I .如果经理有1000万元，如何投资？二.如果2.75%的利率能借到100万元以下的资金，管理者该怎么办？三.在1000万元的融资中，证券a的税前利润增长了4.5%，投资是否需要改变？证券c的税前利润下降了4.8%，需要改变投资吗？模型转换和实验过程：I .这五种证券a、b、c、d、e的经理投资额分别为x1、x2、x3、x4、X5(万元)，到期总额为z万元。您可以根据主题的已知条件列出约束条件。x2x3x 44002 xx3 x4 5x 51.4(x1x2x 3 x4x 5)9x 115x 24x3x 42x 55x x2x 3x 4x

3、5 1x2x 4x 51000决定变数x=(x1，x2，x3，x4，x5)T的上限和下限约束为Xi0，1000目标函数z=0.043 x1 0.027 x20.025 x 0.022 xx 4 0.045 x 5将上述条件改为MATLAB要求形式。min-z=-0.043 x1-0.027 x2-0.025 x3-0.022 x4-0.045 x X5s . t .-x2-x3-x4-4000.6 x1 0.6 x2-0.4x 3-0.4x 4 3.6 X504x 12 x2-x3-2x4-3x 50x 1x2x 3x 440Xi1000使用Matlab解决上述线性编程问题(请参见步骤4.1)

4、，然后将其整理到表中。名字证券a证券b证券c证券d证券e总利润金额(万韩元)218.180736.36045.4529.836下结论。如果管理者在5个a、b、c、d、e证券上分别投资218.18、0、736.36、0、45.45万元，则整体回收时可以获得29.836万元的税后利润，这种投资方式能获得的利润最大。讨论：在此约束下，我想输出拉格朗日乘数。=0，0.00618，0.00236，0.02984T此乘数表示，当第一个约束条件对目标函数的值没有影响，而其他三个约束条件严格取等号时，目标函数达到最佳解决方案。验证如下：以下四个约束中的x值由解决：-x2-x3-x4=-736.36-4000.

5、6 x1 0.6 x2-0.4x 3-0.4x 4 3.6 X5=0.016 x767；04x 110 x2-x3-2x4-3x 5=0.01；0x1x2x4x 5=999.99 1000由于决定变量x的值被舍入，因此最后三个约束条件“大致相等”，但已经非常接近，因此，如果使用更精确的x，则这三个表达式可以严格相等。以上内容从实验角度表明，拉格朗日乘数的数学意义非0分量之一对应于运行的约束，并且在这些约束完全相同的情况下，目标函数达到了最佳解。二.如果2.75%的利率能借到100万元以下的资金，也可以将这部分投资于有价证券，并将贷款金额设定为X6。定线计画准则变更如下：min-100 z=-4

6、.3 x1-2.7 x2-2.5 x3-2.2 x4-4.5 X5 2.75 X6s . t .-x2-x3-x4-4000.6 x1 0.6 x2-0.4x 3-0.4x 4 3.6 X504x 12 x2-x3-2x4-3x 50x 1x2x 3x 440Xi1100，i=1，2，3，4，5 0X6100使用Matlab解决方案(请参阅程序4.2)组织到表中：名字证券a证券b证券c证券d证券e借款金额总利润金额(万韩元)240081005010030.07下结论。经理以2.75%的利率贷款100万元，在a、b、c、d、e 5种有价证券上分别投资240、0、810、0、50万元，投资全额回收

7、时将产生30万07元的税后利润，这种投资方式的收益最大。讨论：在本制中，借款的利率2.75%设定为与借入时间无关的量。也就是说，不管贷款期限是多少，最终只支付0.0275倍贷款额的利息，显然是不符合实际的。在这种情况下，借款额X6的值确定为100(万韩元)，其他5种证券的收益率比贷款利率(同样是负的收益率)高，所以贷款越多，其他高收益证券的本金越多，收益也越大，所以在这种情况下贷款就越好。实际上，贷款利率是按年计算的，在这种情况下，还需要考虑偿还时间。三.如果证券a的税前利润增加4.5%，则目标函数为：z=0.045 x1 0.027 x20.025 x0.022 xx 4 0.045 X5使

8、用Matlab解决上述线性编程问题(请参见步骤4.3)，然后将其整理到表中。名字证券a证券b证券c证券d证券e总利润金额(万韩元)218.180736.36045.4530.273因此，如果证券a的税前利润增加4.5%，则不改变投资方式，整体收益将增加到30.273万韩元同样，如果证券c的税前利润减少了4.8%，则目标函数为：z=0.043 x1 0.027 x20.024 x0.022 xx 4 0.045 X5使用Matlab解决上述线性编程问题(请参见4.4过程)，然后将其整理到表中。名字证券a证券b证券c证券d证券e总利润金额(万韩元)336006481629.424因此，随着证券c的

9、税前利润减少到4.8%，投资方式发生了很大变化，证券a和e发生了少量变化，证券c完全报废，原来c的资金大部分由证券d变更，总收益也从29.836万韩元减少到了29.424万韩元。下结论。如果证券a的税前利润为4.5%，则投资无需改变。总收入增加到30.273万韩元。证券c的税前利润减少到4.8%，需要改变投资的话，5个证券的投资额将为336，0，0，648，16万韩元。总利润下降到29.424万韩元。2.数学实验第一版(问题8)问题说明：一位牧场主人知道，对平均年龄的马来来说，最低的营养需求是40磅蛋白质，20磅碳水化合物，45磅粗饲料。这些营养成分是从其他饲料中获得的，饲料及其价格见下表。建

10、立以最低成本确定如何满足最低营养要求的数学模型。蛋白质/磅碳水化合物/磅粗饲料/磅价格/美元干草/捆0.5251.8燕麦/包1423.5饲料区块/区块20.510.4高蛋白浓缩液/包612.51每匹马的需求/天数402045-模型转换和实验过程：以每只牧场主一捆干草、x2袋燕麦、x3块、高蛋白浓缩液x4袋供给牧场主。每匹马消耗z美元。您可以列出以下约束条件：0.5x 1 2x 3 6 x4402 x14x 2 0.5x 3 x4205 x12 x2x 3 2.5x 445和确定变量x=(x1，x2，x3，x4)T，xi0目标函数：z=1.8x1 3.5x2 0.4x3 x4更改为Matlab要

11、求的格式：Min z=1.8x1 3.5x2 0.4x3 x4s . t .-0 . 5 x 1-x 2-2 x 3-6 x 4-40-2 x 1-4 x 2-0 . 5 x 3-x 4-20-5 x 1-2 x 2-x 3-2 . 5 x 4Xi0如果使用MATLAB解决上述线性编程问题(请参见4.5过程)，结果将整理为表格。项目干草/捆燕麦/包饲料区块/区块高蛋白浓缩液/包资金/美元数量5020017下结论。牧场主每匹马配备5捆干草，20捆饲料，以每匹马17美元的最低成本满足最低营养需求。讨论：和第一个问题一样，尝试输出约束下的拉格朗日乘数。=0，0.4，0.2T对蛋白质的需求不是有效限制

12、，而是对碳水化合物和粗饲料的需求是有效限制，只有在两者严格相同的情况下才会出现最佳解决方法。拉格朗日乘数的另一个数学意义是：阴影价格，是当相应约束的右端增加一个单位时目标函数的增加(最大化问题)或减少(最小化问题)。对一匹马的蛋白质、碳水化合物、粗饲料需求加1，使用MATLAB解决这三种线性编程的目标函数的最佳解决方案如下：Z1=17Z2=17.4Z3=17.287这表明，Z1没有变化，蛋白质的需求不是有效的约束，z2的增加为2=0.4，影子价格的特性也得到验证。但是奇怪的是，z3没有像预期的那样增加0.2，而是增加了0.287个单位。粗饲料的附加值为0.1，其他附加值为0，重复实验，则z3=

13、17.02，即目标函数的增加为0.1*2，与预期一致。但是，当附加值设置为1时，为什么得不到目标函数的预期增量呢？拉格朗日乘数仅表示一定范围内的阴影价格，即=dzdb，因此，当约束更改达到一定级别时，拉格朗日乘数不再表示准确的阴影价格。Matlab不能调用函数操作输出拉格朗日乘数的使用范围，仅在lingo或lindo中提供。三、实验摘要本实验解决了两个实际的线性编程问题，与之前的实验相比，内容少，操作简单。除了MATLAB在线性编程问题的标准格式方面需要注意的点外，还可以看到min和max之间的区别，以及大于和小于。与这两个问题的实际情况相比，更关注这次实验中拉格朗日乘数这个数学概念的深层意义

14、。通过进一步的实验证明了拉格朗日乘数的两个数学意义：0分量对应于不起作用的约束，非0分量对应于起作用的约束，是严格的方程约束，分量值表示约束右端改变单位时目标函数的变化量，即影子价格。当然，拉格朗日乘数在约束右端发生了一定的变化，在每个约束之间的优缺点发生变化时，原始条件的拉格朗日乘数具有不能表示当前阴影价格的范围。四、进程列表1.第一个问题C=-0.043，-0.027，-0.025，-0.022，-0.045；A1=0，-1，-1，-1，0；0.6，0.6，-0.4，-0.4，3.6；4，10，-1，-2，-3；1，1，1，1；B1=-400；0；0；1000；V1=0，0，0，0，0；V

15、2=1000，1000，1000，1000，1000；Opt=optim set (largest、off、simplex、on)；x，Fv，ef，out，lamda=Lin Prog(c，a1，B1，v1，v2， opt)2.第一个问题IIC=-0.043，-0.027，-0.025，-0.022，-0.045，0.0275；A1=0，-1，-1，-1，0，0；0.6，0.6，-0.4，-0.4，3.6，0；4，10、-1、-2、-3，0；1，1，1，1，1；B1=-400；0；0；1000；V1=0，0，0，0，0；V2=1100，1100，1100，1100，1100，100；Opt=o

16、ptim set (largest、off、simplex、on)；x，Fv，ef，out，lamda=Lin Prog(c，a1，B1，v1，v2， opt)3.第一题III小问题A的税前利润增加到4.5%C=-0.045，-0.027，-0.025，-0.022，-0.045；A1=0，-1，-1，-1，0；0.6，0.6，-0.4，-0.4，3.6；4，10，-1，-2，-3；1，1，1，1；B1=-400；0；0；1000；V1=0，0，0，0，0；V2=1000，1000，1000，1000，1000；Opt=optim set (largest、off、simplex、on)；x，Fv，ef，out，lamda=Lin Prog(c，a1，B1，v1，v2， opt)4.第一题III小问题C的税前收入减少到4.8%C=-0.043，-0.0